單元結構視域下初中數學課堂教學模式研究*
--以“三角形的內角和”教學為例

袁良同

(廬江縣樂橋鎮初級中學 安徽合肥 231500)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱課標)在“課程理念”“學業質量”“課程實施”中強調“教學內容的結構化”,為一線數學教師實施新課程教學指明方向:建議“推進單元整體教學設計”,幫學生“用整體的、聯系的、發展的眼光看問題,形成科學的思維習慣,發展核心素養”。據此,課題組針對數學教材以章(單元)節(小單元)編排的結構特征,在初中“圖形與幾何”領域進行單元結構化教學實踐研究,進而提煉出“三階段六環節”教學模式。下面簡介該模式,并以人教版八上“三角形的內角和”一課為例,說明該模式的具體實施。

一、單元結構化教學內涵

單元結構化教學是站在系統的高度,跳出知識點的“散點”式課時框架,基于教材知識序、學生認知序將零散的知識進行結構化關聯,并選擇適切的方法和路徑予以實施。具體實施時,教師指導學生從整體上把握教材結構,講清楚知識的來龍去脈(教結構);在“單元-課時”教學實踐中,學習概念、定理、公式、法則及彼此間聯系,掌握學習的方法(學結構);再讓學生根據已有的知識儲備和學習經驗,用已掌握的方法去自主學習其他內容(用結構)。

二、“三階段六環節”課堂教學模式簡介

“三階段”指一節課的實施過程,在信息技術環境下進行課前學情研判、課中新知生成、課后鞏固復習的一體化教學。課前,教師根據課標和對學情的預判,提前設計教學目標和教學草案,利用班級小管家或問卷星發布預習任務和檢測練習,再根據課前檢測來分析學情,調整教學目標,完善教學設計。課中,教師實施以學習者為中心的“六環節”教學,在框圖啟學、情境誘導、建構活動、鞏固運用、歸納總結和作業布置六個教學環節進行師生合作、生生交流,注重課堂的生成性。課后,教師根據作業反饋來評估教學效果,針對出錯較多的知識點設計補償性練習,利用課后延時服務時間進行精準輔導;對于個別性錯誤,教師利用課余碎片時間實施個性化指導。

三、教學實施案例

人教版八上第十一章三角形由3個小單元組成,教材計劃用6課時進行三角形的概念和性質學習,再用2課時通過類比三角形來探究四邊形的相關概念、內角和與外角和。本章是前面所學知識的延伸,又是后續學習全等三角形、四邊形、相似三角形、三角函數的基礎。本章重點是三角形有關的線段及角;難點為三角形內角和、外角和定理的證明與多邊形內角和、外角和的探究,綜合運用所學解決角的計算與證明問題。

本節課所授“三角形的內角和”是三角形內角的一個重要性質,也是后續進一步學習平面幾何的基礎,到了高中將推廣到空間多面體平面角內角和、多面角截面上閉折線的方向改變量的探索。課標要求“理解三角形及其內角、外角等概念,探索并證明三角形的內角和定理”,能夠運用結論來解決問題。知識結構上,遵循“概念(定義、表示、分類)→性質與判定→圖形關系”的圖形與幾何研究的一般路徑;方法和素養上,滲透類比、化歸等思想方法,發展數學抽象、數學運算、數學推理和幾何直觀能力。根據以上分析,課堂教學具體實施如下。

(一)課前學情研判

發布預習任務和課前檢測練習。

(2)畫一任意△ABC,剪下∠B、∠C,分別拼到∠A的左右拼成平角,你能想到哪些拼法?

(3)將“三角形的內角和是180°”這一命題寫成已知、求證和證明的形式,試著證一證。

設計意圖:學情分析是課堂教學的水之源、木之根。課前借助班級小管家或問卷星進行學情調研,同時幫學生養成自主預習的習慣。教師根據檢測反饋來了解學情,調整預定的教學目標,確定課堂教學思路和流程。通過學情研判,教師確定本節課教學的重點是“探索并證明三角形的內角和定理,在規范證明中體會證明的必要性”,教學的難點為“學習輔助線的添加方法及作用”。

(二)課堂教學流程

1.框圖啟學,把握知識結構

課件出示單元知識框圖(圖1),重溫已學習的三角形的相關概念、三邊之間關系和三角形的穩定性,本節課將學習三角形內角的一個重要性質。(揭題板題)

有時再談得遠一點，就是表姊表妹之類訂了婆家，或是什么親戚的女兒出嫁了?；蚴鞘裁炊劦?，聽說的，新娘子和新姑爺鬧別扭之類。

圖1

設計意圖:在單元整體中把握新舊知識間的邏輯關聯,發揮知識框圖的“導學”功能,讓學生站在系統的高度去掌握教材的邏輯、結構和體系;后續在結構框架下推進課堂,讓學生對已學習的內容、正在學習的內容和將要學習的內容做到心中有數,滲透單元整體思想。

2.實驗操作,創設推理情境

(1)學生匯報小學時采用的實驗驗證方法,感知度量、剪拼的局限性,達成共識:實驗所得結論沒有說服力,需要通過嚴謹的推理進行證明。

(2)希沃視頻展臺展示剪拼方法,學生結合拼圖匯報:共有6種拼法,以下3種拼法能給證明提供思路(圖2)。

圖2

師生活動:引導學生認真觀察并分析,剪拼的目的是改變∠B和∠C的位置,將三個內角在頂點A處拼成一個平角,現在可以利用平行線的性質實現角的位置變換。認真觀察拼圖,從中找尋證明的思路和方法,抽象得到3種添加輔助線的方法。(圖3)

圖3

圖4

設計意圖:七年級下學期到八年級上學期是實驗幾何到論證幾何的過渡階段,學生以小學階段的具體形象思維為主逐步過渡到以抽象思維為主,七年級下冊“命題、定理、證明”的學習為演繹推理、培養數學思維奠定基礎。課堂注意中小學銜接,學生在直觀形象的動手操作中認識到度量法、剪拼法均存在誤差,感悟演繹證明的必要性、嚴謹性和普適性。學生在動手實踐中獲得經驗,在反思操作過程中上升到理論高度進行深層探究,自然生成添加輔助線的思路和方法,感悟輔助線在幾何證明中的重要性,破解課堂教學的難點。

3.新知構建,訓練規范證明

追問1:結合圖3中(1)的輔助線添加方法,你能寫出已知、求證和證明過程嗎?

師生活動:學生口頭回答,教師板書示范,合作完成推理過程,知曉這是古希臘數學家畢達哥拉斯所采用的方法。

追問2:你能根據圖3中(2)、(3)的輔助線添加方法,條理清晰地寫出證明過程嗎?

師生活動:學生借鑒板書,自行完成歐幾里得證法證明過程,教師投影展示規范書寫。

追問3:看到“180°”,你還能想到什么角?你還能用其他方法來證明此定理嗎?

師生活動:學生獨立思考、組內交流怎樣將三個內角轉化為同旁內角,匯報不同的輔助線添加方法和證明思路,教師適時點撥克萊羅和普羅克拉斯的證法。

(板書三角形內角和定理,結合圖形將定理轉化為符號語言。)

小結:添加平行線的方法大致相同,初中各版教材多采用畢達哥拉斯和歐幾里得的證法;有興趣的同學課后可查閱與三角形內角和有關的數學史,自主探究其他證明方法。

設計意圖:將數學史融入課堂,與數學家們隔空對話,感受定理發現的曲折歷程,體驗豐富的人文與歷史底蘊。經歷嚴格的邏輯推理證明,幫學生感悟幾何證明的意義,在規范的書寫表達中體會證明的邏輯性和規范性,學習輔助線的不同添加方法,鼓勵學生在活動探究中積極思考、交流表達。在輔助線的添加和證明方法的學習中,訓練學生用符號語言規范表述,建立文字、符號和圖形三種語言之間的聯系,培養學生的數學素養。

4.歸納總結,提升數學素養

師生對照板書,共同回顧本節課所學,請學生回答以下問題:

(1)回顧本節課的教學流程。

(2)梳理所學知識和方法。

(3)提煉數學思想和核心素養。

(4)回歸知識結構框圖,明確已經學習了哪些內容,下節課將要學習什么。

設計意圖:歸納總結是課堂教學的關鍵一環,起到梳理課堂所學和激起學生思維高潮的作用,激發學生對后續學習的強烈渴望。該環節放手讓學生自主進行結構化梳理,從“學習過程”中獲得“知識方法”,再提煉出“思想觀念”,最后回到“結構導圖”,在單元整體中構建學生認知系統,提醒學生預習直角三角形的兩銳角之間關系,進行知識的類比遷移。如此處理,課堂教學始終在結構框架下推進,學生能夠把握知識的整體脈絡和走向。

5.布置作業,課后鞏固深化

基礎性作業:書本16頁習題11.2的第1題,第2題中(1)(2)小題,第10題。

提高性作業:如圖5(1),將△ABC的一角折疊,點A落在△ABC內點A′處。

圖5

(1)若∠1=50°,∠2=40°,則∠A=;

(2)猜想∠1、∠2、∠A之間關系并加以證明;

(3)如圖5(2),當點A′落在△ABC外部時,請直接寫出∠1、∠2、∠A間的關系。

實踐性作業:請同學們查閱與三角形內角和有關的數學史,并與其他同學交流。

設計意圖:精選少而精的習題,避免機械重復性練習,確保學生在20～30分鐘能完成任務,發揮作業的鞏固、診斷和教學評估功能。根據學生的年齡、心理特點及認知規律,所設計的課時作業有面向全體學生的基礎題,又有個性化、探究性、創新性的提高題,還有涉及數學文化、數學思想、數學閱讀、數學實踐的作業,其中基礎題要求人人過關,提高題和實踐性作業讓學有余力的學生選擇性完成。

數學知識有著完整的結構系統,學生的認知亦有潛在結構,單元結構化教學反映了教育家杜威所倡導的“關注學生生活和實踐”的哲學思想,踐行“學生主體、教師主導”的教學理念。回顧本節課的學情調研和課堂教學過程,師生在單元整體中把握教材內容,在實驗和說理中構建知識體系,掌握基礎知識和基本技能,獲得基本思想和基本活動經驗,落實“四基四能”目標,促進數學核心素養的發展,收獲良好的教學效果。