考慮設施失效的應急物資多階段分配研究

蘇清華，李曉萍 SU Qinghua, LI Xiaoping

（江蘇科技大學 經濟管理學院，江蘇 鎮江 212100）

0 引 言

大規模的自然災害會造成眾多人員傷亡，短時間內產生大量救災物資需求。災后救援初期，是應急救援的黃金時間。該時期災區對應急物資的需求較為緊迫，且物資需求的種類繁多，需求量動態變化。因此，如何在救援初期，將應急物資在公平性較大的情況下，以較短的時間和較大的經濟效益分配到災區，對于災害前期的應急救援尤為重要。

對于應急物資分配問題，已被國內外眾多專家學者研究。宋英華等[1]考慮了以系統運行總成本最小和物資滿足率最大為目標，建立了多情景、多物資、多周期的動態應急物流配送模型。Zhong 等[2]考慮了在保證公平性滿意度的同時，建立洪澇災害應急救援物資分配模型。Wang 等[3]以時間最短、成本最低、風險最低為目標，建立了不確定條件下應急物資分配的多周期優化模型。Chen 等[4]考慮了多基地、多受災區，建立了具有效用優先經濟分配策略的應急物資分配多目標優化模型。林勇等[5]以損失攀比效應之和最小及時間攀比效應總和最小為目標，構建了應急物資分配-運輸優化模型。

以上研究未考慮設施失效這一現象，由于自然災害或人為因素影響，設施可能會失效。設施一旦失效將會影響整個物流系統的運行效率。Zhalechian 等[6]考慮運營風險和失效風險，建立了最小化期望成本，最大化供應鏈網絡的可靠水平的雙層二階段混合規劃模型。Li 等[7]考慮制造商具有中斷風險，建立了一個制造商-客戶供應鏈網絡，通過列舉所有可能中斷的場景進行指派決策。在針對應急設施失效風險的研究方面，李志等[8]考慮了中斷情景、設施設防等因素，建立應急物資儲備庫的選址與庫存雙目標優化模型。Rayat 等[9]提出了考慮中斷風險的多產品多周期選址分配與庫存集成問題，建立了雙目標優化模型。周愉峰等[10]考慮震后救援初期的設施中斷情景、多品種模糊需求等因素，建立了震后救援初期的應急設施選址與物資分配模型。李政祥等[11]考慮物流設施中斷，構建了大規模震后可靠性應急物流設施選址與分配模型。

綜上所述，關于應急物資分配及設施失效等方面的研究已較為豐富，但有以下方面可以深入研究，主要體現在：綜合考慮多配送點、多需求點、多種類物資及應急設施失效且修復后可繼續提供服務等方面來對應急物資多階段分配問題的研究相對較少。在考慮設施失效的研究方面，多是針對常規設施，針對應急物流設施失效的應急物資多階段分配研究較少，且現有的應急物資分配研究，多是將配送點每階段分配之后的物資庫存量作為已知量?；诖?，本文綜合考慮災后設施失效且修復后繼續提供服務、多需求點、多配送點、多種物資每階段物資庫存量動態變化等特征，對災后初期應急物資的分配進行研究，建立考慮設施失效，以應急物資分配公平性最大、應急物資配送總時間最短和應急物資分配總成本最小為目標的多階段應急物資分配模型。運用增廣ε 約束法對模型進行求解，并對相應的參數進行敏感性分析，對目標函數進行均衡分析，驗證了模型的有效性。

1 模型研究

1.1 問題描述

為快速響應災后救援初期的緊急需求，需制定合理的應急物資分配計劃，快速的將應急物資從配送點分配到需求點，從而達到緩解災情的目的。災后初期在物資量相對不足的情況下，要考慮物資分配的公平性，本文以配送點分配到需求點的分配量與需求點的實際需求量的比值，來衡量物資分配的公平性。此外還要快速響應災區的需求，本文以應急物資分配的及時度較高為優化目標，以預期需求量加權距離最短，用來表示物資分配的及時度。同時也要考慮救災的經濟性，經濟性目標通過系統總成本最小來實現，系統總成本包括設施的運營成本、設施發生失效后的修復成本、需求點未滿足需求的懲罰成本及應急物資的運輸成本?；诖耍疚目紤]了設施失效、配送點每階段庫存量動態變化，構建了多配送點、多需求點、多種物資、多階段的多目標數學模型。要解決的問題是：配送點對需求點的指派、每個需求點應該分配多少物資量，所研究的應急物資多階段分配問題如圖1 所示。

圖1 設施失效下的災后初期應急物資多階段分配問題

1.2 研究假設

（1） 需求點和配送點的位置以及配送點的供應量已知；（2） 配送點到需求點的運輸單價相同；（3） 災害發生的前一天，需求點的物資需求量及配送點的物資供給量為0；（4） 物資配送點一旦失效，則不能給任何需求點提供應急物資；（5） 物資配送點失效后的修復時間為一天，修復后可繼續提供服務。

1.3 模型構建

（1） 集合。I 為需求點i 的集合（i=1,2,…,I ）, ?i∈I；J 為候選配送點j 的集合（j=1,2,…,J ）, ?j∈J；C 為應急物資種類c 的集合（c=1,2,…,C ）, ?c∈C；T 為階段t 的集合，?t∈T= ｛0,1,2,3 ｝，t=0 時表示災害發生的前一天，t=1 表示災害發生的第一天，t=2 表示災害發生的第二天，t=3 表示災害發生的第三天。

（2） 參數。uj為單位物資下配送點j 的運營成本；mj為單位物資下配送點j 失效后的修復成本；p 為單位物資量的運輸成本；dji為配送點j 與需求點i 之間的距離；kict為需求點i 在t 階段對應急物資c 的需求量；ξi為需求點i 未滿足需求時的懲罰成本；sjct為在t 階段，配送點j 提供c 類物資的數量；α 為最小物資滿足率；φjt=1 為配送點j 在t 階段沒有發生失效，φjt=0 為配送點j 在t 階段發生失效。決策變量zjict表示在t 階段配送點j 對需求點i 的c 類物資的分配量。

（3） 應急物資需求估算。文中把應急物資分為兩類，第一類是災民每天必需的日需類物資，如食品、飲用水等。第二類是非日需類物資，如衣物。本文參考了溫與同等[12]建立的基于洪澇災害的應急物資需求預測模型，建立了如下模型對需求點的物資需求量進行估算。

對于日需類應急物資，其需求點的需求量估算如下：

對于非日需類應急物資，其需求點的需求量估算如下：

式中：kict為需求點i 在階段t 內（單位天），對物資c 的需求量；αc為需求點i 在階段t 內，每位災民對于日需類物資c 的單位時間需求量；βc為需求點i 在階段t 內，每位災民對非日需類物資c 的單位時間需求量；bit為需求點i 在時間t 內的受災人數；Dic（t- h ）為時間t-h 內，需求點i 需要的非日需類應急物資c 的數量。

公式中每人單位時間內物資需求數量[13]如表1 所示。

表1 每人單位時間內物資需求數量

（4） 模型構建。災后初期配送點的物資供不應求，物資的分配結果更要體現出公平，因此本文以配送點給受災需求點的分配量與受災需求點的實際需求量的比值，來衡量物資分配的公平性。

災后初期應急救援要快速響應災區的需求，以預期需求量加權距離最短，用來表示設施網絡中物資分配的及時度這一目標。

經濟性目標通過系統總成本最小來實現。系統總成本包括設施的運營成本、設施發生失效后的修復成本、需求點未滿足需求的懲罰成本及應急物資的運輸成本。

約束條件如下：

約束條件中式（6） 表示在災害發生的前一階段，配送點不為需求點提供服務；式（7） 表示每個需求點接收到的每類物資的數量不小于其物資最小滿足量；式（8） 表示每個配送點，在總的配送階段為需求點提供的每類物資量不超過配送點可提供每類物資的最大可用量，且在配送點失效時不能為需求點提供服務，修復后可繼續為需求點提供服務；式（9） 表示每個需求點接收到的物資總量不超過其需求量；式（10） 為非負約束。

2 多目標優化

本文建立的是多目標模型，考慮的目標依次是使物資分配公平性最大，物資配送總時間最短，系統總成本最小。因此本文采用增廣ε 約束法對建立的多目標混合整數規劃模型進行求解。運用增廣ε 約束法[14]，在目標函數和約束條件中加入適當的松弛變量λ1和λ2，從而保證了解的有效性。采用此方法將原多目標函數轉化為：

新增約束條件為：

δ 是一個足夠小的數，一般取值范圍在10-6至10-3之間。

（1） 采用字典優化法，得到ε1和ε2的取值范圍。字典優化方法要先根據目標函數的優先級對其進行排序，具有最高優先級的目標函數位于頂部。在本文中，應急物資分配公平性的優先級最高，其次是物資分配的及時度和系統的總成本。具體步驟如下：

第一步：以式（3） 為目標函數，式（6） 至式（10） 為約束條件，得到最優解y*,z*,x*和最優值，將最優解分別代入目標函數式（4） 和式（5），求得最優值和。

第二步：以式（4） 為目標函數，式（6） 至式（10） 為約束條件，添加約束條件z1=-?1，其中?≥0，得到最優解y**,z**,x**和最優值，將得到的最優解分別代入目標函數式（3） 和式（5），求得最優值和。

第三步：以式（5） 為目標函數, 式（6） 至式（10） 為約束條件, 添加約束條件z1=z21-?2，其中?2≥0 和z2=+?3，其中?3≥0，得到最優解y***,z***,x***和最優值，將得到的最優解分別代入目標函數式（3） 和式（4），求得最優值和。

（2） 加入適當的松弛變量后的增廣ε 約束法。此方法具體步驟如下：

第一步：利用字典優化法，得到ε1和ε2的取值范圍。

第三步：當ii=0, jj=0 時，令ε2=，將ε1與ε2代入求解，若求得的解為有效值，則將該值加入到集合A。

第四步：令jj=jj+1, ε2=ε2-Δε2，將ε1與ε2代入求解，若求得的解為有效值，則將該值加入到集合A。

第五步：重復第四步，直到jj>L 時停止，執行第六步。

第六步：令ii=ii+1, jj=0, ε1=ε1-Δε1, ε2=，將ε1與ε2代入求解，若求得的解為有效值，則將該值加入到集合A，重復第四步和第五步，直到ii>L 時停止，結束計算。

3 實例分析

3.1 數據來源

以河南鄭州“7·20”暴雨事件為例進行分析，此次事件使鄭州二七區及其所下屬的鞏義市、登封市、新密市、滎陽市成為重災區，選取這些區域作為需求點，選取竹林鎮、金水區、上街區、崔廟鎮、大治鎮等地為配送點。此次救援的應急物資有食品、飲用水、衣服三類，通過搜集相關新聞消息得到需求點的受災情況。以7 月20 日作為災害發生的第一天，配送點到需求點的單位物資單位距離的運輸成本為2 元/公里，配送點到需求點的運輸距離如表2 所示，需求點對應急物資的需求量如表3 所示。

表2 配送點到需求點的距離 m

表3 需求點物資需求量

3.2 實例求解

3.2.1 求解結果

用IBM CPLEX 12.10 進行問題的求解，各配送點在三個階段分別向需求點分配的物資量如表4 所示，表4 中每個單元格的數字依次表示食品（kg）、飲用水（kg）、衣服（件）。

表4 每階段需求點的應急物資分配方案

上述的物資分配方案，考慮了配送點每階段的物資動態庫存量，建立的模型會根據每階段配送點向需求點分配的物資量，實時更新配送點每階段的庫存量，即將前一天的物資庫存量自動轉化為下一天的供給量，從而節約人工統計物資庫存量的時間，也可以避免人工統計出差錯。

3.2.2 參數敏感性分析

對模型中的關鍵參數進行敏感性分析，觀察不同需求點物資分配的最小滿足率及配送點每類物資供應量的改變對應急物資分配方案的影響，本文的首要目標是保證在整個過程中應急物資分配的公平性最大，所以在分析需求點物資最小滿足率對最優解的影響時，選取各參數變化下的應急物資分配公平性最大的物資分配方案進行分析比較。

（1） 需求點物資最小滿足率對最優解的影響

保持配送點每類物資供應量不變，通過改變需求點物資最小滿足率，觀察需求點在物資最小滿足率不同時的目標值變化情況，如表5 所示（“-”表示無解），在物資最小滿足率為0.1 時，該模型的總體物資分配公平性最大，主要是因為物資最小滿足率越小，在保證各需求點的需求量滿足最小物資需求量后，物資會優先分配給需求量較少的需求點，從而保證模型的整體公平性最大。當最小物資滿足率大于或等于0.8 時，由于配送點缺少可供應的物資，無法同時滿足所有需求點的最小物資需求量，所以模型無解。在實際制定應急物資分配方案時，決策者應該對物資最小滿足率進行合理的設置，既要保證有物資可供分配，又要保證物資分配的公平性及配送過程的高效經濟性。

表5 不同物資最小滿足率下的目標函數值

（2） 配送點每類物資供應量改變對最優解的影響

當需求點最小物資滿足率為0.5 時，通過改變配送點每類物資的供應量，即將配送點每類物資的供應量依次減小35%、減小10%、保持不變、增加10%、增加35%，觀察配送點每類物資在不同供應量下的目標函數值的變化情況，如表6 所示（“-”表示無解）。當配送點每類物資的供應量減小35%時，物資供應量不能滿足需求點最小物資滿足率的要求，所以模型無解；當配送點每類物資的供應量減小10%、增加10%和35%時，在滿足需求點最小物資滿足率的基礎上，剩余可供分配給需求點的物資量逐漸增加，災區物資未滿足需求量的數量逐漸減少，所以應急物資分配總體公平性逐漸增大。因此，對于分配方案決策者來說，應時刻注意配送點物資供應量的情況，當配送點物資供應量減小過多時，應及時采取措施，使配送點的物資能順利被分配到需求點。

表6 供應點每類物資供應量改變下的目標函數值

3.2.3 多目標均衡分析

在需求點物資最小物資滿足率為0.5 的情況下，對目標函數進行均衡分析。

（1） 不同物資分配總成本下物資分配總體公平性與物資配送總時間的關系。設置不同的物資分配總成本，觀察在同一個給定的物資分配總成本下，物資分配總體公平性與物資配送總時間之間的關系。由圖2 可知，在給定物資分配總成本的條件下，物資分配總體公平性與物資配送總時間之間存在正相關關系，即隨著物資配送總時間的增大，物資分配總體公平性也隨之增大。在給定的物資分配總成本下，隨著物資配送總時間的增加，配送點分配到需求點的物資數量逐漸增多，需求點的物資滿足率也逐漸增大，所以物資分配總體公平性也隨之增加。

圖2 不同物資分配總成本下的物資分配總時間與物資分配總體公平性的關系

在給定的物資分配總成本下，當物資配送總時間較長時，大部分應急物資已經被分配到需求點，為了滿足增加的物資配送總時間限制，會對部分物資數量較多的物資進行重新分配，此時應急物資分配的總體公平性變化較小，即在圖2 中，隨著之后物資分配總時間的增加，曲線的變化形狀較為平緩。因此，對于物資分配方案的決策者而言，在對物資配送總成本有限制的情況下，應該在考慮可用于分配的物資數量的條件下，適當增加物資分配的總時間，如增加運輸物資的車輛，將物資盡可能多的送到災區，使物資分配公平性較大。

（2） 不同物資配送總時間下物資分配總體公平性與物資分配系統總成本的關系。設定不同的物資配送總時間，觀察在同一個給定的物資配送總時間下，物資分配總體公平性與物資分配總成本之間的關系。由圖3 可知，在給定物資配送總時間下，物資分配總體公平性與物資分配總成本之間存在正相關關系，即隨著物資分配總成本的增大，物資分配總體公平性也隨之增大。當物資公平性大于39.6 的時候，帕累托曲線的形狀較為平坦，這表明隨著物資分配總成本的增大，物資分配總體公平性的變化較為緩慢。

圖3 不同物資配送總時間下的物資分配總成本與物資分配總體公平性的關系

在物資配送總成本較小的情況下，隨著物資分配總成本的增加，配送點分配到需求點的物資數量逐漸增加，此時物資分配總體公平性隨之增大。在物資配送總成本較大時，隨著大部分物資在配送過程中已全部被分配到需求點，為滿足增加的物資配送總成本限制，會對物資配送成本較高的物資重新進行分配，此時物資分配總體公平性變化較小，即在圖3 中隨著之后物資分配總成本的增加，曲線的形狀變化較為平緩。因此，對于物資分配方案決策者來說，在對物資分配總時間有限制時，應該在考慮可用于分配的物資數量的條件下，適當增加物資分配的成本，來達到較大的物資分配公平性，降低災民不滿的情緒。

4 結 論

本文針對災后初期物資供不應求下的應急物資分配問題，在分析現有研究的特點和不足的基礎上，綜合考慮了設施失效且修復后繼續提供服務、災后救援階段性特點，配送點的庫存數量動態變化，以應急物資分配公平性最大、應急物資配送總時間最短和應急物資分配總成本最小為目標，建立了多配送點、多需求點的災后設施失效下多目標應急物資多階段分配模型。以“7·20”鄭州暴雨為案例，運用增廣ε 約束法對模型進行求解，對相應的參數進行敏感性分析、目標函數進行均衡分析，驗證了模型的有效性，得到如下的結果：

供應點每類物資供應量的改變對應急物資分配總體公平性影響較大；在給定物資分配總時間下，物資分配總體公平性與物資分配總成本之間存在正相關關系，在給定物資分配總成本的條件下，物資分配總體公平性與物資分配總時間之間也存在正相關關系。

在保證應急物資分配公平性最大的情況下，得到了兼顧效率和經濟效益的應急物資分配方案，為災后救援過程中應急物資的分配提供了一定的參考。