不等式恒成立問題解法的舉例探究

裴玉玲

【摘? 要】? 不等式恒成立問題的破解策略較多，常用的有分離參數(shù)、分類討論、數(shù)形結(jié)合三大方法.具體求解時，需要把握問題特點、根據(jù)問題類型來確定解法.本文具體探究三大解法，并結(jié)合實例分析.

【關(guān)鍵詞】? 高中數(shù)學(xué)；不等式；解題技巧

不等式恒成立問題在高考或模考中十分常見，問題常見兩種類型：一是在全集R上恒成立；二是在給定區(qū)間上恒成立.問題解析有多種解法，可以采用分離參數(shù)、分類討論、數(shù)形結(jié)合等方法來簡化運(yùn)算，降低思維難度.下面結(jié)合實例具體探究.

解法1? 分離參數(shù)

分離參數(shù)破解不等式恒成立，適用于解含有參數(shù)的不等式問題.解析時變形不等式，可先將參數(shù)分離，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)來求解，如函數(shù)的單調(diào)性、值域等，解析函數(shù)單調(diào)性可借助導(dǎo)函數(shù).

例1? 已知函數(shù)，.當(dāng)時，求使不等式恒成立的最大整數(shù)k的值.

思路分析? ?本題目為含參不等式恒成立問題，含有參數(shù)k，解析其取值時可以采用參數(shù)分離的方法，將不等式參變分離，后續(xù)構(gòu)造函數(shù)，確定其單調(diào)性，求其值域，進(jìn)而推導(dǎo)k的取值范圍.

解? 由恒成立，

可得，

所以.

由于時恒成立.

可設(shè)，

對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)為.

令，

則.

因為，則，在上單調(diào)遞增.

而，，

所以存在，使得，

即.

所以當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，

此時函數(shù)單調(diào)遞增.

所以在處有極小值（也是最小值），

則.

又有恒成立，即，所以k的最大整數(shù)值為3.

評析? 上述在求解不等式恒成立問題時，采用了分離參數(shù)的方法，即變形不等式，進(jìn)行參變分離.過程中分為兩步：第一步，變形不等式，參變分離；第二步，構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)性質(zhì)，確定其最小值，進(jìn)而推導(dǎo)k的取值.

解法2? 分類討論

分類討論破解不等式恒成立，即設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)，分別討論不等式成立的情形，將問題轉(zhuǎn)化為單一的不等式成立問題.如討論參數(shù)的取值，討論函數(shù)變量的定義域等.

例2? 已知函數(shù).若對任意實數(shù)，都有恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是? ? ? ?.

思路分析? 本題目為不等式恒成立求參數(shù)取值問題，可以采用分類討論的方法，討論參數(shù)a的取值，再逐一確定結(jié)論.

解? 對任意實數(shù)，均有，需要分類討論參數(shù)a的取值.

情形1? 當(dāng)時，，

不滿足對任意實數(shù)， 恒成立；

情形2? 當(dāng)時，，

令，

則 .

所以函數(shù)單調(diào)遞減，

由于，

.

所以存在唯一零點，

使得，.

故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng) 時，，單調(diào)遞減.

所以

.

令，，

故，在定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，

由于，所以的解集為，

則，

即實數(shù)a的取值范圍是.

評析? 上述求解不等式恒成立問題時，采用了分類討論的方法.分別討論參數(shù)a的取值范圍，將問題轉(zhuǎn)化為單區(qū)間變化的不等式問題，后續(xù)借助構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)性質(zhì)來推導(dǎo)參數(shù)取值.

解法3? 數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合破解不等式恒成立，即結(jié)合函數(shù)圖象來分析函數(shù)的單調(diào)性、值域，進(jìn)而推導(dǎo)結(jié)論.數(shù)形結(jié)合求解時，需要解析問題，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為

例3? 設(shè)函數(shù)的定義域為R，滿足，且當(dāng)時，.若對任意，都有，則m的取值范圍是? ? ? .

思路分析? 本題目為不等式恒成立求取值問題，m為定義域的端點值，題干設(shè)定了函數(shù)的變換規(guī)律，即，可采用數(shù)形結(jié)合的方法，繪制函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象分析取值，再確定m的取值范圍.

解? 因為，

則.分析可知，有如下結(jié)論：

當(dāng)時，

有；

當(dāng)時，，

；

當(dāng)時，

，

.

根據(jù)上述結(jié)論，可繪制如圖1所示圖象，即函數(shù)在每個變化周期上，其值逐步減小.

則當(dāng)時，由，

解得，，

若對任意，都有，

則，

即m的取值范圍是.

評析? 上述求解不等式恒成立問題時，采用了數(shù)形結(jié)合的方法，解析問題轉(zhuǎn)化為分析函數(shù)值域問題，確定其圖象變化規(guī)律，然后繪圖圖象，結(jié)合圖象構(gòu)建方程，確定m的取值范圍.數(shù)形結(jié)合是直觀分析問題的一種方法，有助于降低思維難度.

結(jié)語

總之，上述結(jié)合實例具體探究了破解不等式恒成立問題的三大策略，參數(shù)分離、分類討論方法可有效用于含參不等式問題中，是處理參數(shù)、簡化過程的重要方法.而數(shù)形結(jié)合則可用于值域性不等式問題中，可借助圖象來輔助分析.探究學(xué)習(xí)時要注意總結(jié)方法，結(jié)合實例強(qiáng)化學(xué)習(xí).