變量分離疑無路，柳暗花明借同構

鄧文忠

【摘? 要】? 對于含參導數問題，題型特別豐富，解法變化多端，變量分離法不是全部，特別對于含參指對混合題型，提倡首選同構．本文順著學生偏愛的變量分離法思路，當思維受阻時，借助同構從而柳暗花明．

【關鍵詞】? 導數；變量分離法；同構

在實際教學中遇到含參導數問題大多學生偏愛變量分離法，而且絲毫不懷疑自已的能力．但對于一類含參數的指數與對數結合的導數綜合題，倘若直接變量分離，大多時候無法分離，即使能分離，不僅過程復雜，而且難度較大．對此，不妨實施同構變換，構建同構函數，實現變量分離．

1? 同構后變量分離

例1? 已知函數f（x）=emx+x-xlnx （m≥0）．

（1）當m=1時，求f（x）在[1，e]上的值域；

（2）討論f′（x）零點的個數．

解析? （1）當m=1時，f（x）=ex+x-xlnx．

∵f′（x）=ex+1-（lnx+1）=ex-lnx＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

∵f（1）=e+1，f（e）=ee，

∴f（x）在[1，e]上的值域為[e+1，ee]．

（2）f′（x）=memx-lnx=0．

∵m≥0，

∴memx=lnx≥0．

∴x≥1．

這個方程中變量m無法表示，因而無法變量分離，到此似乎陷入困境．

注意到方程指對混合，因此同構．

由memx=lnx得：mxemx=xlnx．

令g（x）=xex，則g（mx）=mxemx，g（lnx）=xlnx，

∴g（mx）=g（lnx）．

∵g′（x）=（x+1）ex＞0，

∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增．

故問題轉化為討論mx=lnx（x≥1，m≥0）零點的個數．

變量分離：m=，

令h（x）=，

則h′（x）= ，

令h′（x）=0，得x=e．

∴當x∈[1，e）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增；

當x∈（e，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減；

當x=e時，h（x）max=；

當x→+∞時，h（x）→0，h（1）=0．

圖象如圖1．

∴當m＞時，f′（x）無零點；

當m=0或m=時，f′（x）有一個零點；

當0＜m＜時，f′（x）有兩個零點．

點評? 第（2）問也可由memx=lnx得到memx+mx=mx+lnx，然后構造g（x）=mex+x，則g（mx）=g（lnx）．

例2? 已知函數f（x）=mex-ln（x+1）+lnm，若f（x）≥1，求m的取值范圍．

解析? mex-ln（x+1）+lnm≥1，這個不等式無法變量分離，注意到指對混合，因此同構．

變形：mex+lnm≥ln（x+1）+1．

mex+lnm+x≥ln（x+1）+x+1．

mex+ln（mex）≥（x+1）+ln（x+1）．

令g（x）=x+lnx（x＞0），

則g（mex）≥g（x+1）．

g′（x）=1+＞0，

∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增．

故問題轉化為解mex≥x+1 （x＞-1，m＞0）．

變量分離：m≥，

令h（x）=．

則h′（x）=．

∴當x∈（-1，0）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增；

當x∈（0，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減；

當x=0時，h（x）max=1．

∴m≥1．

點評? 上面解法中還可依據ex≥x+1（當x=0時取等號），得≤=1，所以m≥1．

另解? mex-ln（x+1）+lnm≥1ex+lnm-ln（x+1）+lnm≥1ex+lnm+x+lnm≥ln（x+1）+（x+1），

令g（x）=ex+x，則g（x+lnm）=g（ln（x+1））．

2? 變量分離后同構

例3? 已知函數f（x）=xex-mx．

（1）當m=0時，求f（x）在（t，+∞）上的單調區間；

（2）若f（x）≥lnx+x+1對x∈（0，+∞）恒成立，求實數m的取值范圍．

解析：（1）當t≥-1時，f（x）在（t，+∞）上單調遞增；

當t＜-1時，f（x）在（t，-1）上單調遞減，在（-1，+∞）上單調遞增．（過程略）

（2）由題意得xex-mx≥lnx+x+1．

變量分離：m+1≤．

令g（x）= ，只需要求解：m+1≤g（x）min．

g′（x）= ．

令h（x）=x2ex+lnx，

則h′（x）=（x2+2x）ex+＞0，h（x）在（0，+∞）單調遞增．

∵h（1）=e＞0， h（）=＜0，

∴h（x）有唯一零點x0∈（，1），

即x02=-lnx0．

∴當x∈（0， x0）時，h（x）＜0，則g′（x）＜0，故g（x）單調遞減；

當x∈（x0，+∞）時，h（x）＞0，則g′（x）＞0，故g（x）單調遞增．

當x=x0時，

g（x）min=

=．

這個值能不能算？是多少？一路順風順水到這里思維受阻，不禁讓人懷疑能不能運用變量分離法．

觀察方程x02=-lnx0的特點，指對混合，因此產生同構的想法．

變形，得：x0=．

令φ（x）=xex，則φ（x0）= x0，

φ（）=，

∴φ（x0）=φ（）．

∵φ′（x）=（x+1）ex＞0，

∴φ（x）在（0，+∞）上單調遞增．

∴x0=，故x0=1．

∴g（x）min==1．

∴m≤0，即m的取值范圍（-∞，0）．

點評? 本題考查含參指對混合不等式恒成立，變量分離后，利用導數求最值中用到了隱零點，但求最小值并不一帆風順，還得借助同構化簡隱零點方程．

另解? ∵xex=ex+lnx≥x+lnx+1（依據ex≥x+1（當x=0時取等號）），

∴g（x）=≥=1（當x+lnx=0時取等號）．

∴m+1≤1．

∴m≤0．

3? 結語

構建同構函數是一種重要的思想方法，需要仔細觀察其外形結構，深入剖析其本質屬性，往往要先變形，甚至多次變形，才能顯現相同結構．這有利于培養學生敏銳的觀察能力、豐富的想象能力、靈活的構造能力和高超的創造能力，也考查了核心素養．借助同構把原來復雜的指對方程或不等式化為簡單的可繼續變量分離的方程或不等式，化繁為簡和化歸體現的淋漓盡致．