立體幾何中基于向量法的坐標求解算法研究

陶治國

【摘? 要】? 向量法在數學學科中占有重要的地位，是一個不可缺少的數學工具，應用空間向量解答立體幾何問題就必定涉及建系，涉及標出相關點的坐標，然后將原問題轉化為向量問題，利用向量的運算知識求解，而如何標出相關點的坐標即是解答問題的突破口.一般來說標點的思路主要分為三種，即直接標點、設點求點和引參標點，本文利用相關例題一一介紹如何運用上述三種標點方式解題.

【關鍵詞】? 高中數學；向量法；坐標設定

1? 直接標點

直接標點是標出相關點中最簡單最直接的手段，就是在建立空間直角坐標系以后，將一些相關的點的坐標標出即可.因此，直接標點的關鍵在如何建系，找一個能夠明確與所有相關點的距離的點作為原點，然后直接根據點與點之間的距離關系表示出相關點的坐標.這一策略適用于較為簡單、明顯已知線段之間的距離的問題.

例1? 如圖1所示，四邊形是直角梯形，，平面，，，求與平面所成角的正弦值.

思路? 本題可采用直接標點的方式，已知相關點的坐標，且以點為原點時能夠快速找出點的坐標，進而利用相關公式求得正弦值.

解? 如圖2所示，建立空間直角坐標系，點為坐標原點，分別沿著向量的單方向建立軸，

則，，，，

因為且平面的法向量為，

所以平面所成的角的正弦值：

.

2? 設點求點

設點求點，是指將某些不能直接表示出來的點的坐標假設出來，然后利用題設條件求出相關坐標.設點求點策略應用的關鍵在于如何利用已知條件或關系求出假設的點坐標，此策略的難度較直接標點大，一般來說，是在建立空間直角坐標系后對某些點假設其坐標，繼而利用已知信息求出另一坐標.

例2? 如圖3所示，四棱錐中，，，側面為等邊三角形，，，證明：平面.

思路? 本題若以為原點，則點的坐標不能表示出來，故假設點的坐標，再根據為等邊三角形得到向量的模長相等，故利用此關系建立等式進而求解.

證明? 如圖4所示，以為原點，射線與的正半軸建立空間直角坐標系，

則，，，

設點，

因為，，，

所以，

，

，

因為，

所以，

解得，

因為，

所以，

又因為，

所以，

解得，，

所以，

則，

，

，

因為，，

所以，，

又，

所以平面.

3? 引參標點

引參標點與設點求點類似，不同的是引參標點是設所求點的坐標，引入參數求出參數表示出坐標，而設點標點是假設一個點的坐標，求出另一點的坐標.當建立空間直角坐標系后，利用點在直線上引入參數作“橋梁”，將相關點的坐標用參數表示，求出參數進而得到所求點的坐標.

例3? 如圖5所示，在底面是菱形的四棱錐中，，，，點在上，且，在上是否存在一點，使平面，證明你的結論.

思路? 本題根據題意確定坐標原點，建系以后分別用參數表示出相關點的坐標，然后借助幾何關系和向量計算得到參數的值，代入得到點的坐標.

解? 由題設可得：，，

所以，，故平面，

以點為坐標原點，以為軸和軸，過點與垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖6所示，

則，，

，，

、，

所以，，

，，

，

設，，

則，

令，

所以

解得

故當時，，

綜上所述，當是的中點時，共面，

又因為平面，

所以當是的中點時，平面.

4? 結語

本文主要介紹了運用空間向量求解立體幾何問題中如何標出相關點的坐標的思路，其中直接標點的方式運用得最多，而引參標點的題目最難，也出現得較少，這三種策略都是同學們必須掌握內容，值得同學們深入思考.

參考文獻：

[1]陳雪梅，李士锜，程?？?用向量法處理立體幾何問題的教學效果研究[J].數學教育學報，2008，17（3）：55-57.

[2]鄒鵬，劉少平.向量法解高考中的立體幾何問題[J].中學生數理化（高中版），2019（24）：3-6.