基于“直觀想象”的教學思考

卓世晨

【摘? 要】? 函數零點問題歷來是高考的重點、難點，函數的零點個數、有解無解、恒成立等問題更是讓學生感到困惑，這類問題的嚴謹推理過程往往變量較多、運算量較大、推理較復雜，但如果運用“數形結合”的方法來進行探究，思路往往比用代數計算簡單得多.本文以兩道例題對數形結合素養的培養進行一些思考.

【關鍵詞】? 高中數學；函數的零點；數形結合

1 基于高考試題的多角度解題策略分析

例1? （2017全國3卷11）已知函數有唯一零點，則（? ?）

（A）.? ?（B）.? ?（C）.? ?（D）1.

1.1? 函數與方程

解法1? 對求導，

，，

，

當時，恒成立.

所以單調遞增，

又因為，

所以在上，，在上，.

所以在上，單調遞增，在上，單調遞減.

，

所以.

解法1是通過對原函數的求導探究原函數的性質，利用函數的性質來解決給定零點個數的問題.這種解法思路上較為直接，但是求導過程的難易因題目所給函數的不同會產生較大的差異性.我們不妨開拓思路，嘗試從圖象的角度出發探索更為簡單直接的解題方法.

1.2? 函數的性質

解法2? 觀察，

發現，

即函數圖象關于對稱，

又因為有唯一零點，

所以其對稱軸處即為零點，

即，.

解法2相較解法一在計算量上有了很大程度的減少，其關鍵點在于引導學生在面對一個復雜函數的時候，不急于求導，而是要能夠通過觀察解析式得到函數的性質，再通過函數的性質對函數零點問題進行求解，培養學生直觀想象和邏輯推理的核心素養.

1.3? 數形結合

解法3? 依題意得函數有唯一零點，

即方程有唯一解有唯一解.

令，

，

即與有一個交點，

由對勾函數的性質可知，，當且僅當時等號成立，

由二次函數的性質可知，.

②當時，，，兩個函數沒有交點，

②當時，當前僅當時，與有一個交點，此時.

解法3是將函數的零點問題轉化為方程的解的個數問題再進一步轉化為兩個函數圖象交點個數的問題.由于轉化出的兩個函數均是學生非常熟悉的初等函數，學生能夠很好地把握住函數圖象的特點，也就能大大地減少運算量，提升解題的速度.

2? 零點問題教學中對培養直觀想象核心素養的思考

例2? （2019新人教版高中數學必修第一冊156頁，第13題改編）若函數在區間內恰有一個零點，求實數的取值范圍.

解題思路? 引導學生觀察函數解析式，從中分離出常見函數，利用函數圖象的變化規律解決問題.

（1）識別函數：當時，為一次函數；當時，為二次函數.

（2）識別函數性質：當時，一次函數在上單調遞增，存在零點；

（3）當時，二次函數的開口方向和對稱軸的位置均含參數，無法確定.

思考解題策略? （1）直接從二次函數的角度來解答，則需要討論的有二次函數的開口方向；對稱軸的位置；零點的類型.由此引發的討論情況較多，且容易由于討論不完全而導致遺漏可能結果的情況.（2）將函數零點的問題轉化為方程有解問題，即在內有一個實數解.再進一步將其分離為兩個初等函數 ，即，，繪制出兩個函數圖象，使其在存在一個交點，進而求出參數的取值范圍.

解題策略的選擇? 將在內恰有一個零點的問題，轉化為兩個初等函數的在內有一個交點，避開了復雜的分類討論，利用初等函數的圖象，更加直觀地解決了問題.

3? 結語

在數學的領域內有兩大模塊，即數與形，眾所周知，“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”.所以在教學過程中我們要培養學生“以形助數”和“以數輔形”的能力，體會數形相生，相輔相成.而要能夠熟練地將數與形結合在一起，就必須培養學生直觀想象的素養，能夠應用幾何直觀和空間的想象來感受物體的變化，根據圖形的變化分析數學問題，以此促使學生建立數和形的關系，提升數學思維能力.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]羅新兵.數形結合的解題研究：表征的視角[D].上海：華東師范大學，2005.

[3]陳益周.數形結合方法應用于高中數學教學的實踐研究[J].蘭州教育學院學報，2015，31（04）：165-166.