一道2023年解析幾何模考題的探究

宋桃富

【摘? 要】? 從歷年高考真題和各地模擬卷可以看到，依托極點極線的背景來命制的圓錐曲線綜合問題非常多，考查的不是高等數學知識生搬硬套，而更多的是考查高中生的邏輯推理能力和運算求解能力.教學中，我們可以站在更高處來看待問題，了解知識的背景和原理有助于更好理解問題.

【關鍵詞】? 高中數學；橢圓；圓錐曲線

1? 試題呈現

試題? （2023年燕博園21題）已知橢圓：的短軸長為，離心率為．點，直線：．

（1）證明：直線與橢圓相交于兩點，且每一點與的連線都是橢圓的切線；

（2）若過點的直線與橢圓交于兩點，與直線交于點，求證：．

本試題以橢圓為載體，考查圓錐曲線切線、定值問題.問題（1）是以極點、極線為為背景，證明橢圓的切線；問題（2）以調和點列性質為背景，證明直線與橢圓交點的線段乘積等量關系.本題的知識背景深厚，解題方法多樣，較好地考查了考生的邏輯推理能力和數學運算能力.

2? 證法探究

由題知，因此，

則橢圓方程為：.

聯立消去，

可得，，則該方程有兩個不相等的實根，所以直線與橢圓相交于兩點.

下面從不同視角，對問題（1）的證明切線及問題（2）進行解答.

2.1? 問題（1）證明

證法1? 設為直線與橢圓的交點，

則，，

直線的方程為，

即.

代入橢圓方程得，

所以，

整理得，

即，

從而.

所以直線與橢圓只有一個交點，即是橢圓的切線.

證法2? 由，令，

得，

則過求圓的切線，可得切點弦方程為，從而可知與的兩交點，任意一點與連線都是圓的切線，又因為伸縮變換不改變圖形的相切和相交特征，從而得證直線與橢圓的兩相交點，與的連線都是橢圓的切線.

證法3? 過點作橢圓：的切線，

則切點弦所在直線方程為．

所以過作橢圓的切線，

切點弦所在直線方程為，

即，即直線為切點弦.

所以直線與橢圓的交點與的連線是橢圓的切線.

證法4? 由，

解得，

所以，

設過直線方程為，

由，

所以，

由得，即過作橢圓的切線，兩切線分別為.所以直線與橢圓的交點與的連線是橢圓的切線.

2.2? 問題（2）證明

因為四點共線，由（1）可知在線段外，在線段內，所以與的方向相同，與的方向相同，設.

證法1? 要證，

只需要，

即證，

不妨設，

因為四點共線，

所以等價于，

即，

化簡得，等價于求證.

設直線的方程為，

即，

由，

可得.

又由，

可得，

所以，

從而

.

所以結論成立.

證法2? 令，

所以.

又因為，

由得，

所以，

即，

即，

所以點在上，且，

所以由，，

可得.

證法3? 令，

由得，

因為點在橢圓上，

可得，

化簡得.

同理由，

可得，

所以是方程兩根，

從而，

所以.

所以，

即.

3? 試題推廣

試題適當推廣及結論的普遍性探討，可以起到強化問題的理解，引導學生對問題規律的思考，升華解題思想方法，提高解題的遷移能力，發展學生的創新能力，提升數學學科素養.對于本考題，可以如下試題推廣.

結論1? 過橢圓外點，作橢圓：的兩條切線，切點為；若過點的直線與橢圓交于兩點，與切點弦交于點.則：

（1）切點弦所在直線方程為；

（2）.

結論2? 過雙曲線外點，作雙曲線：的兩條切線，切點為；若過點的直線與雙曲線交于兩點，與切點弦交于點.則：

（1）切點弦所在直線方程為；

（2）.

結論3? 過拋物線外點，作拋物線：的兩條切線，切點為；若過點的直線與拋物線交于兩點，與切點弦交于點.則：

（1）則切點弦所在直線方程為，即；

（2）.

評注? 以上結論的證明可參照試題的證明過程，限于篇幅，不再給出.

4? 試題的逆向思考

考慮試題的逆命題：已知橢圓：．點，直線：．

（1）直線與橢圓相交于兩點，過兩點分別作橢圓切線，則：相交于點；

（2）若過點的直線與橢圓交于兩點，且直線上一點滿足．則點在直線上.

評注? 試題的逆命題是正確的，聯系結論1至結論3，容易得到三個結論的逆命題，詳細的證明留給感興趣的讀者進行研究.

5? 試題背景探究

引理1? （極點極線幾何特征[1]）以橢圓為例，如圖1所示，設為橢圓外一點，過作橢圓的兩條割線分別與橢圓相交于和四點，與交于點，與交于點，則稱點為直線關于橢圓的極點，直線為點關于橢圓的極線；另一方面，圖1也可以這么來看，從橢圓外的點作橢圓的兩條割線分別交橢圓于和四點，與交于點，與交于點，所以點和直線也是一對極點極線，同理，點和直線也是一對極點極線，因此在中，以其中一個頂點作為極點，那么該頂點的對邊所在的直線就是對應的極線，從而我們將稱為“自極三角形”，為了加以區分，圖中畫成了虛線．如圖2所示，當其中一條割線變成切線時，此時幾個點就都與切點重合，從而點和切線是一對極點極線.

圖1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2

引理2? （極點極線的代數特征[2]）在平面直角坐標系中，設有圓錐曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線均可）和不與的對稱中心重合的點，在圓錐曲線的方程中，用替換，替換，替換，替換，得到的方程即為以作為極點的極線的方程.即過二次曲線外一點，作曲線：的兩條切線，切點為，則切點弦所在直線方程為.

以橢圓為例：

（1）當點在橢圓上時，極線為橢圓在處的切線，如圖3所示；

（2）當點在橢圓外部時，極線為過點對橢圓的切點弦所在直線，如圖4所示.

圖3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖4

引理3? （極點極線的調和分割性）（以橢圓為例）如圖5所示，設極點的極線是直線，過作橢圓的一條割線交橢圓于兩點，交極線于點，則成調和點列，即（或寫成）.

圖5

試題回顧? 從極點極線看，試題的問題（1），如上圖4，為極點，由引理2極點極線的代數特征，可快速求解極線方程即為直線方程，即直線為極線，從而得證“直線與橢圓的兩相交點，任一點與的連線都是橢圓的切線”. 試題的問題（2），如上圖5，為極點，由引理3可知，則成調和點列，即，即.站在極點極線的背景知識下，試題的兩個問題均可快速得到解決.同時，我們也可以更好的理解命題者如何命制此試題.

6? 鏈接真題

真題1? （2020年新課標Ⅰ卷題20）已知分別為橢圓的左、右頂點，為的上頂點，，為直線上的動點，與的另一交點為，與的另一交點為.

（1）求的方程；

（2）證明：直線過定點.

分析? 問題（2）從極點極線看，如圖6，設和交于點，和交于點，則為自極三角形，所以點和直線是一對極點極線，設，則極線的方程為，即，又點在直線上，所以，從而，故，這樣就得到了直線過定點.

圖6

真題2? （2018年新課標Ⅰ卷）設橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為.

（1）當與軸垂直時，求直線的方程；

（2）設為坐標原點，證明：.

分析? 問題（2）從極點極線看，極點極線看問題：如圖7，設、分別為關于軸的對稱點，

則顯然四邊形構成等腰梯形，其對角線的交點，以為極點，則對應的極線為，即，而和的交點應該在極線上，從而就是和的交點，由圖形的對稱性不難發現.

且這一結論還可以推廣，若不是焦點，而是橢圓內軸正半軸上的一個一般的點，比如可設為，

那么它的極線為，即，所以點必定也能使

圖7

7? 結語

從往年高考真題和各地模擬卷可以看到，這種依托極點極線的背景來命制的圓錐曲線綜合問題非常多，都是從同一知識背景不斷挖掘，且又進行不同變式設置，考查的不是高等數學知識生搬硬套，而更多的是考查高中生的邏輯推理能力和運算求解能力，這既體現了傳承經典，又適度創新！在平時的教學上，我們可以站在更高處來看待問題，了解知識的背景和原理有助于更好理解問題；另外在平時教學中，對問題多進行變式及結論推廣，能有效地培養學生的思維能力和創新能力.

【參考文獻】

[1]信統帥，姜坤崇.有心圓錐曲線中的一組調和點列[J]，中學數學研究，2023（06）：36-37.

[2]林國紅.極點與極線在圓錐曲線中的應用[J].數理化學習，2019（11）：41-42.