關(guān)于軌跡方程問題的解法探究

魯媛媛

【摘? 要】? 軌跡方程問題較為常見，具體求解時(shí)需要深入分析動(dòng)點(diǎn)條件，確定解法，進(jìn)而構(gòu)建思路，簡化求解.常見的方法有定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法，本文深入解析方法，探索構(gòu)建策略，并結(jié)合實(shí)例加以探究.

【關(guān)鍵詞】? 高中數(shù)學(xué)；軌跡方程；解題技巧

軌跡方程問題解法眾多，具體求解時(shí)可根據(jù)問題情形來選擇.常見的有定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法，下面深入解析方法，并結(jié)合實(shí)例加以探究.

解法1? 定義法

定義法，即使用曲線的定義求解軌跡方程的方法.具體求解時(shí)可分兩步：第一步，根據(jù)已知條件判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡條件符合的基本軌跡，如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等；第二步，直接根據(jù)已知曲線的定義來求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡，并討論特殊點(diǎn)或特殊位置，確定最終答案.

例1? 已知?jiǎng)訄A與圓：外切，與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.

解析? 上述求解動(dòng)圓圓心的軌跡方程，可采用定義法.

設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則根據(jù)已知可得

，，

所以.

又知，，

則可得.

根據(jù)雙曲線的定義可知，點(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.

因?yàn)椋?/p>

所以，

則點(diǎn)M的軌跡方程為.

點(diǎn)評(píng)? 定義法求解軌跡方程，關(guān)鍵是把握曲線的特性，故總結(jié)常見曲線的幾何與參數(shù)特性是解題的關(guān)鍵.上述求解動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，易錯(cuò)點(diǎn)為將點(diǎn)的軌跡誤認(rèn)為是整條雙曲線.

解法2? 相關(guān)點(diǎn)法

相關(guān)點(diǎn)法又名代入法，即將所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)代入關(guān)聯(lián)已知點(diǎn)軌跡方程的方法，適用于所求動(dòng)點(diǎn)依賴于已知曲線上的另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題中.具體求解時(shí)分三步進(jìn)行：第一步，分析判斷動(dòng)點(diǎn)隨著已知曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)；第二步，推求兩者的關(guān)系式，即，；第三步，將關(guān)系式代入到已知曲線動(dòng)點(diǎn)方程中，整理分析.

例2? 定點(diǎn)為圓外一定點(diǎn)，為圓上任一點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)的軌跡方程.

解析? 求點(diǎn)Q的軌跡方程，點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)P為圓上的一點(diǎn)，則點(diǎn)Q與點(diǎn)A之間存在關(guān)聯(lián)性，可采用相關(guān)點(diǎn)法來求解.

設(shè)點(diǎn)，，

由于OQ平分，

則，

所以，

則，

可解得，

將其代入到圓方程中，

可得，

整理可得 .

由于存在兩種情況可能會(huì)影響軌跡，具體如下.

情況1? 當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，點(diǎn)Q與O也重合，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，0），該點(diǎn)已包含在上述軌跡中；

情況2? 當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，將變?yōu)?°角，

此時(shí)點(diǎn)Q的軌跡方程為（），且點(diǎn)（，0）也滿足方程.

綜上可知，點(diǎn)Q的軌跡方程為

和.

點(diǎn)評(píng)? 使用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程，解題的關(guān)鍵是：探尋所求的動(dòng)點(diǎn)與已知曲線上動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系.上述求解動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程時(shí)，借助線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式來建立所求點(diǎn)與關(guān)聯(lián)點(diǎn)間的關(guān)系，再代入關(guān)聯(lián)點(diǎn)的方程，整理變形終獲所得.

解法3? 參數(shù)法

參數(shù)法，即求解時(shí)采用設(shè)參—消參來求解的方法，設(shè)定動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)，利用條件消去參數(shù)求解.具體求解時(shí)可分兩步：第一步，引入?yún)?shù)，用此參數(shù)分別表示動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)；第二步，消去參數(shù)，得到關(guān)于x與y的方程，即為所求的軌跡方程.

例3? 橢圓的準(zhǔn)線垂直于軸，離心率為，并且經(jīng)過點(diǎn)，.試求橢圓中心的軌跡方程.

解析? 設(shè)橢圓中心的坐標(biāo)為，長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，

則.

由，

得，，

所以橢圓的方程為.

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，將它們的坐標(biāo)代入橢圓方程，

可得，

即，

消去，得，

所以橢圓中心的軌跡方程為.

點(diǎn)評(píng)? 參數(shù)法是求軌跡方程的重要方法，解題的關(guān)鍵是合理選擇參數(shù)，常用的參數(shù)有線參數(shù)、角參數(shù)、k參數(shù)、t參數(shù)和點(diǎn)參數(shù)等.上述問題中采用參數(shù)法求解橢圓中心的軌跡方程，其中c2為參數(shù).

結(jié)語

總之，上述深入解析了定義法、相關(guān)點(diǎn)法和參數(shù)法的構(gòu)建策略，并結(jié)合實(shí)例探究解題過程.三種方法適用于不同問題情形，探究學(xué)習(xí)時(shí)要關(guān)注三點(diǎn)：一是解讀方法，總結(jié)適用題型；二是構(gòu)建分析，探尋解題步驟；三是實(shí)例強(qiáng)化，針對(duì)性訓(xùn)練，積累解題經(jīng)驗(yàn).