2022年高考“集合、常用邏輯用語、復數”專題解題分析

【摘? 要】? 對2022年高考數學試卷中的集合、常用邏輯用語、復數試題進行分析，發現其題型、分值、難度、考點都比較穩定，試題注重基礎且比較常規，適度綜合并創新.通過對試題的分析，優化解題策略，為今后的高考備考復習提供參考.

【關鍵詞】? 高中數學；集合；復數；解題教學

2022年全國各地高考，除了北京市、上海市、天津市和浙江省采用自主命題，其他地區均采用全國卷.在高考試卷中都對集合、常用邏輯用語、復數進行了考查.與往年相比沒有太大的變化，在題型、分值、難度、考點、題量上都相對穩定.

為了在備考復習中能夠更好地掌握集合、常用邏輯用語、復數的知識點，提高復習效率，本文通過對2022年高考試卷中相關內容進行分析與研究，從中歸納與總結了本部分內容的試題特點、解題方法，為今后的高考備考復習提供參考.

1? 試題分析

綜觀2022年高考數學集合、常用邏輯用語、復數試題，題型結構與考點分布情況如下表1所示.

從試卷的結構來看，2022年高考數學對集合、常用邏輯用語、復數的試題仍以單選題為主，只有天津卷和上海卷有填空題.這三部分內容的考查試題注重對基礎知識、基本技能和基本數學思想的考查，符合《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）的要求，體現數學學科核心素養.因此，在今后的高考備考復習中應以歷年的高考題作為參考，不必過多的加深和走偏.

2? 試題解法分析

1? 集合

（1）集合的基本運算

集合的基本運算是高考的一個常考內容.《標準》的要求為：理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集；理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集；能使用Venn圖表達集合的基本關系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用.

例1? （全國乙卷·文1）集合，，則（? ?）

（A）0? ? （B）0? ? ?（C）0? ? （D）0

分析? 可以先在數軸上表示出集合，再根據數集找出其公共部分，從而得到集合的交集；也可以通過元素與集合之間的關系，對選項進行排除得到答案；還可以通過交集的定義，先列舉出集合中的整數，再利用Venn圖找出其公共元素.

解法1? 利用數軸，由交集的定義，得.

解法2? 由交集的定義，中的元素既屬于，也屬于，所以可以判斷6，8，10都不屬于可排除（B）（C）與（D），從而確定答案為（A）.

解法3? 集合中的元素為整數的有0，1，2，4，5，利用Venn圖可得.故選（A）.

評析? 本題主要考查集合的交集運算，考查學生對交集定義的理解及運算分析能力，屬于基礎題，涉及到的核心素養是數學運算.

例2? （全國新高考Ⅰ卷·1）若集合，，則（? ?）

（A）.? ?（B）.

（C）.? ?（D）.

分析? 先通過求解根式不等式和一元一次不等式化簡集合的表示，然后在數軸上表示出集合，并找出其公共部分，從而得到集合的交集.也可以通過元素與集合之間的關系，對選項進行排除得到答案.

解? 解不等式，

得；

解不等式，

得

解法1

利用數軸，由交集的定義，

得.

解法2? 由交集的定義，中的元素既屬于，也屬于，所以判斷0不屬于排隊A；由既屬于，也屬于排除B與C，從而確定答案為D.

故選（D）.

評析? 本題主要考查集合的交集運算以及根式不等式和一元一次不等式的求解，屬于基礎題；考查學生的運算求解能力和數形結合的分析能力.

例3? （全國甲卷·理3）設全集，集合，，則（? ?）

（A）.? ? （B）.? ? ?（C）.? ? ?（D）.

分析? 先解一元二次方程化簡集合，然后利用Venn圖，利用集合混合運算的性質求解即可.

解? 解方程，

得，

故

解法1? 由Venn圖可得，.

解法2? 根據混合運算律，

先求出與，

故.

解法3? 利用并集與補集的定義及元素與集合的關系，由排除選項A與B；由排除選項（C）；從而確定答案為（D）.

故選（D）.

評析? 本題主要考查集合的并集與補集的混合運算及一元二次方程的求解，屬于基礎題；考查學生對集合的并集與補集定義的理解及Venn圖、混合運算性質的正確使用，體現了學生對轉化與化歸的思想方法運用及數形結合的分析能力.

在2022年高考中考查集合的基本運算的考點還有全國甲卷文科第1題、全國新高考Ⅱ卷第1題、北京卷第1題、浙江卷第1題、天津卷第1題、上海卷第13題.對于這類問題，題干中的兩個集合用描述法（或列舉法）給出了變量的范圍求其交集、并集、補集的運算.如果集合中的元素是連續范圍的實數，常用數軸來表示，則要注意區間的端點是否可取；如果集合中的元素是離散范圍的，常用Venn圖來求解.如果集合中的元素是離散范圍與連續范圍的相互運算，則要注意其運算特征：如果求集合的交集，其結果一定是離散的，可以用列舉法來求解，也可以利用元素與集合的關系采用排除選項的方法確定；如果是求集合的并集與補集，則采用數軸來求解.

例4? （全國甲卷·文1）設全集，，則（? ?）

（A）.? ? （B）.? ? ?（C）.? ? （D）.

答案：（A）.

例5? （全國新高考Ⅱ卷·1）? 已知集合，例3? 則（? ?）

（A）.? ? （B）.? ? ?（C）.? ? ?（D）.

答案：（B）.

例3? （北京卷·1）已知全集，集合，則（? ? ）

（A）? ?（B）? ?（C）? ? （D）

答案：D.

例6? （浙江卷·1）設集合，，則（? ?）

（A）.? ? （B）.? ? ?（C）.? ? ?（D）.

答案：（D）.

例7? （天津卷·1）設集合，，，則（? ?）

答案：.

例8? （上海卷·13）設集合，，則（? ?）

（A）.? ? （B） .? ? ?（C） .? ? ?（D）.

答案：（B）.

（2）? 集合的概念與表示、集合間的基本關系

集合的概念與表示、集合間的基本關系也是一個常考內容.《標準》的要求為：了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系；能在自然語言和圖形語言的基礎上，用符號語言刻畫集合；在具體情境中，了解全集與空集的含義；理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.

例9? （全國乙卷·理1）設全集，集合滿足，則（? ?）

（A）.? ?（B）.? ? （C）.? ? （D）.

分析? 根據補集的定義利用Venn圖寫出集合，再利用元素與集合的關系確定答案.

解? 由Veen圖可得，故選（A）.

評析本題主要考查了元素與集合的關系、補集的定義與應用問題，屬于基礎題．考查學生對元素與集合的關系的理解、Venn圖的運用，以及學生的邏輯推理素養.

2? 常用邏輯用語

常用邏輯用語是數學語言的重要組成部分，是數學表達和交流的工具，是邏輯思維的基本語言.用常用邏輯用語表達數學對象、進行數學推理，體會常用邏輯用語在表述數學內容和論證數學結論中的作用，提高交流的嚴謹性與準確性.《標準》的要求為：理解必要條件的意義及性質定理與必要條件的關系；理解充分條件的意義及判定定理與充分條件的關系；理解充要條件的意義及理解數學定義與充要條件的關系；理解全稱量詞與存在量詞的意義及能正確使用全稱量詞命題與存在量詞命題的否定.

2022年高考中常用邏輯用語部分的考點只有浙江卷、北京卷和天津考查了充分條件和必要條件的概念，且與三角函數、數列、不等式等知識點相結合命題.

例10? （浙江卷·4）設，則“”是“”的（? ?）

（A）充分不必要條件.? ? ? ? （B）必要不充分條件.

（C）充分必要條件.? ? ? ? ? （D）既不充分也不必要條件.

分析? 利用同角三角函數間的基本關系及充要條件的定義判斷即可．

解? 由可知，

當時，可得，

即由“”，可推得“”；

而由“”m可得，解得，

故不能推出“”，

故可知“”是“”的充分不必要條件．

故選（A）.

評析? 本題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷與三角函數間的基本關系的綜合應用，屬于基礎題．考查學生的轉化與化歸的求解能力與邏輯推理能力.

例11? （北京卷·6）設是公差不為0的無窮等差數列，則“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的（? ?）

（A）充分而不必要條件. （B）必要而不充分條件.

（C）充分必要條件. （D）既不充分也不必要條件.

分析? 根據等差數列的定義與性質，結合充分必要條件的定義，判斷即可．

解? 因為數列是公差不為0的無窮等差數列，當為遞增數列時，公差，

令，

解得，表示取整函數，

所以存在正整數，當時，，充分性成立；

當時，，，則，必要性成立；

故是充分必要條件．

故選（C）.

評析? 本題考查了等差數列與充分必要條件的綜合應用問題，屬于基礎題．考查學生的運算求解與邏輯推理能力.

例12? （天津卷·2）“為整數”是“為整數”的（? ?）

（A）充分不必要條件.? ? ? ? （B）必要不充分條件.

（C）充分必要條件.? ? ? ? ? （D）既不充分也不必要條件.

分析? 利用充要條件的定義判斷即可．

解? 當為整數時，可得為整數，

即由“為整數”可推得“為整數”；

而取時“為整數”，此時為整數不成立.

故不能推出“為整數”，

故可知“為整數”是“為整數”的充分不必要條件．

故選（A）.

評析? 本題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷的應用，屬于基礎題．考查了數學學科核心素養為邏輯推理.

3? 復數

復數的考點在高考中屬于基礎題，每卷必考.《標準》的要求為：復數的概念、理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義；掌握復數代數表示式的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義.

（1）復數的概念.

例12? （全國乙卷·理2）已知，且，其中為實數，則（? ?）

（A）.? ?（B）.? ?（C）.? ?（D）.

分析? 根據復數與共軛復數的定義及復數的運算化簡，再利用復數相等列方程求出、的值．

解? 因為，

且，

所以，

所以，

解得，．

故選（A）.

評析? 本題考查了復數與共軛復數的定義、復數的運算以及復數相等的應用問題，屬于基礎題．

（2）復數的運算

例13? （全國新高考Ⅰ卷·2）若，則（? ?）

（A）.? ? ? （B）.? ? ? （C）.? ? ? ? （D）.

分析? 把已知等式變形，利用復數代數形式的乘除運算化簡，求出，再利用共軛復數的概念求出，最后求出．

解法1? 設，

因為，

所以，

根據復數相等的定義，解得，

所以，則，

所以．

解法2? 由，

得，

所以，則，

所以．

故選（）．

評析? 本題考查復數代數形式的乘除運算（重點要注意），考查共軛復數的概念，屬于基礎題．

例14? （全國甲卷·文3）若，則（? ?）

（A）.? ? ? （B）.? ? ? （C）.? ? ? ?（D）.

分析? 利用共軛復數的概念及復數代數形式的四則運算先求出，再利用復數模的公式求出．

解? 因為，

所以，

則．

故選（）．

點評? 本題考查復數代數形式的四則運算，考查復數的模（復數的模為）等基礎知識，考查學生的運算求解能力，屬于基礎題．

綜觀2022年全國各地高考題，都沒有考查復數的幾何意義的題目.而考查復數的概念和運算的還有全國新高考Ⅱ卷第2題、全國甲卷理科第1題、全國乙卷文科第2題、浙江卷第2題、天津卷第10題、北京卷第2題和上海卷第1題.

例15? （全國新高考Ⅱ卷·2）（? ?）

（A）.? ? （B）.? ? ? ?（C）.? ? ?（D）.

答案：（D）.

例16? （全國甲卷·理1）若，則（? ?）

（A）.? ? （B）.? ? ? ?（C）.? ? ?（D）.

答案：（C）.

例17? （全國乙卷·文2）設其中為實數，則（? ?）

（A）.? ? （B）.? ? ?（C）.? ? ?（D）.

答案：（A）.

例18? （浙江卷·1）已知，（為虛數單位），則（? ?）

（A）.? ?（B）.? ?（C）.? ?（D） .

答案：（B）.

例19? （天津卷·10）是虛數單位，復數? ? ?.

答案：.

例20? （北京卷·2）若復數滿足，則（? ?）

（A）.? ? ? （B）.? ? ? （C）.? ? ? ? （D）.

答案：（B）.

例20? （上海卷·1）已知復數，則? ? ? ? ?.

答案：.

3? 復習建議

通過對2022年全國各地高考試題中的集合、常用邏輯用語與復數試題的命題分析，總結今后在高考備考復習中應注意以下幾點：

3.1? 集合復習策略

（1）近幾年的高考試卷中經常把集合與不等式綜合命題，因此在復習中不僅要加強對集合概念的理解的同時也要注重對解一元一次不等式、一元二次不等式、根式不等式、分式不等式以、絕對值不等式、一元二次方程的訓練.

（2）集合的考點有三個部分：集合的概念與表示方法、集合間的基本關系、集合的基本運算.其中試題以直接考查集合的基本運算為主，對于另兩個考點的考查比較隱性且常與其它知識融合在一起或僅在求解過程中體現；考查學生應知、應會的內容.因此在復習中應注重對學生的思維過程、數學運算以及分析能力的培養.

（3）利用描述法（或列舉法）給出了變量的范圍求其交集、并集、補集的運算.如果集合中的元素是連續范圍的實數，常用數軸來表示，則要注意區間的端點是否可取；如果集合中的元素是離散范圍的，常用Venn圖來求解.如果集合中的元素是離散范圍與連續范圍的相互運算，一定要注意其運算特征：如果求集合的交集，其結果一定是離散范圍的，可以用列舉法來求解，也可以利用元素與集合的關系采用排除法來確定選項；如果是求集合的并集與補集，則采用數軸來求解.

3.2? 常用邏輯用語復習策略

常用邏輯用語的考查比較多的是充分條件與必要條件概念的應用，常與其它知識相結合，從難度上看一般屬于中低難度.因此在復習中應要求學生對概念做到能夠準確表達并理解，正確進行邏輯推理，與其他知識的融會貫通.

3.3? 復數復習策略

復數作為一類重要的運算對象，主要考查復數的概念、復數代數形式的四則運算和復數的表示方法及幾何意義，考查要求比較低.因此在復習中應夯基礎知識，以歷年的高考題為參考，控制好運算難度，適當的進行練習，達到對知識的靈活應用.

4? 試題解法欣賞

例21 （全國新高考Ⅰ卷·17）記為數列的前項和，已知，是公差為的等差數列．

（1）求的通項公式；

（2）證明：．

分析? （1）直接利用利用等差數列的通項公式與數列的遞推關系式的應用求出數列的通項公式；（2）利用（1）的結論，利用裂項相消法的應用求出數列的和，再利用放縮法的應用求出結果．

解? （1）解法1? 已知，是公差為的等差數列，

所以，

整理得，①，

故當時，，②，

①②得：，

故，

化簡得：，，，，；

所以，

故．

經檢驗，也符合上式，

所以 ．

解法2? 令，

易得，，

又因為，

代入上式得，

即，

遞推得

將代入，

得

經檢驗，當時也滿足上式，

所以

經檢驗，也符合上式，

所以 ．

證明：（2）由于，

所以，

所以．

評析? 本題主要考查的等差數列求通項公式、利用數列的遞推關系式求數列的通項公式、數列的求和，裂項相消法在數列求和中的應用，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于中檔題．涉及到數學學科的核心素養是數學運算和邏輯推理.

參考文獻

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[3]肖偉華.2020年高考“集合、常用邏輯用語、復數”專題解題分析[J].中國數學教育（高中版），2020（09）：21-27.

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作者簡介：吳偉雄（1978-），男，中學高級教師，深圳市羅湖區學科名師，主要從事高中數學教育教學研究.

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