學科融合背景下提升數學化歸能力的教學策略探究

許競文

【摘? 要】? 數學是一個知識學習的過程，也是一個思想方法積累與解決問題能力培養的過程.在數學教學中，采用一個合適的方法往往會得到事半功倍的效果，尤其是面對復雜的問題時，唯有選擇合適的思維方法，才能建構清晰的解題思路，從而解決問題.教師把數學知識相互融合，借助信息技術的手段，將化歸思想方法滲透入教學中，有助于學生更好地理解數學知識，解決數學問題.

【關鍵詞】? 高中數學；化歸思想；課堂教學

1? 化歸思想的概念與原則

著名數學家波利亞在《怎樣解題》一書中提出，教師可以通過對學生提問來引導學生尋找已知數據與未知量之間的關系.“你知道一道與它相關的題目嗎？你知道一條可能有用的定理嗎？觀察未知量！并盡量想出一道你所熟悉的具有相同或者相似未知量的題目.這里有一道題目和你的題目有關而且以前解過[1].”人們在解決問題時，如果直接應用已有知識不能有效地解決問題，往往會將問題進行不斷地分解與轉化，將它們轉化成已知的、熟悉的、簡單的形式，最終實現問題的解決.這種思想方法叫做化歸思想，它是轉化和歸結的簡稱.化歸不僅是一種解決問題的重要方法，還是一種基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方法.其研究思路如圖1.

圖1

化歸思想方法的實質就是利用已有的、基本的、具體的知識，將未知的、復雜的、抽象的知識轉化為具體、常規、簡單的問題，進而解決問題，其基本原則如下.

1.1? 熟悉化原則

熟悉化原則也就是將陌生問題轉化成熟悉問題的原則，利用已有的知識及經驗，將問題不斷分解、調整、擴充.

1.2? 簡單化原則

簡單化原則也就是將復雜問題轉化為簡單問題的原則，通過換元、降次、特殊化等手段，將問題不斷簡化.

1.3? 直觀化原則

直觀化原則也就是把抽象的問題轉化為具體、形象、直觀的問題的原則，通過數形結合、構造等方法，使得問題更加便于理解[2].

1.4? 特殊化原則

特殊化原則也就是把一般的、普遍的問題轉化為極端的、特殊的情況，從這些情況中獲得啟示，從而解決問題的原則.

2? 化歸思想運用于函數教學中的意義分析

2.1? 滲透融合，加強函數知識聯系

在化歸思想影響下，學生整合運用已掌握的知識，構建完整的函數知識體系.數學教師對函數知識內容進行串聯式教學，側重性地強化學生對各個函數知識板塊的整合能力，使學生形成函數知識整合使用的意識，以確保學生在日常學習中能夠進行函數知識內容的化歸，進而達到發揮化歸思想對于強化函數知識內容聯系的目的.

2.2? 拓展延伸，鍛煉學生思維能力

化歸思想不僅對學生的函數知識板塊聯系作出了化歸要求，還明確要求學生將解題方法、思維模式等進行混合使用，這就需要學生思維上更加貼切函數學習的發展要求，具備一定的函數信息處理能力，能夠靈活調度使用各種解題方法，而這些能力的發展無形中也會帶動學生函數思維能力的發展，使學生的函數視野不只是局限于課本教材的函數知識，能夠涉及更為廣闊的函數知識世界[3].

2.3? 化難為易，降低學生學習壓力

相較于傳統的函數學習模式，在化歸思想的加持輔助之下，學生實現了數形結合、化未知為已知、復雜問題轉化為簡單問題等函數解題策略的高效運用，完成了函數學習的舉一反三，一定程度上降低了函數學習對于學生思維能力的要求，使得函數知識更為容易地被學生接受，而學生自然而然就不會再懼怕函數學習，相反地，學生會以更加積極主動的姿態參與到函數學習中，教師也通過“化歸思想”的運用減輕了學生函數學習的身心壓力.

3? 化歸思想函數教學中的應用

函數表示了一種變量之間的對應關系，它是研究絕大多數數學分支的重要工具，也是研究其他學科的一大有力工具.函數與人們的生活息息相關，它是一種高效的思維方式，掌握函數及函數的思想方法，有助于更好地分析問題、解決問題.函數滲透整個數學課程的學習，也是高等數學的基礎.在學科交叉的背景下，教師通過與其他科目的融合，借助信息技術的手段，將化歸思想方法滲透入函數教學中，有助于學生更好地理解函數的知識，解決函數學習中遇到的問題.

3.1? 學科知識點的串聯與融合

函數的知識點繁多、具有很強的抽象性，不僅是解決問題的重要模型，也是提高學生核心素養的基本載體.教師在函數教學過程中，需要建立各個函數知識點之間的關聯，尤其是在后續函數的教學中，需要帶領學生不斷回顧、復習先前所學的函數知識，將新的問題轉化為已知問題，從而促進新問題的解決.

此外，教師需要在教學中將知識進行分類、歸納、總結，可以借助思維導圖實現新舊知識的關聯.思維導圖又叫心智導圖，它利用圖形及網狀結構，把各級主題的關系形象地表示出來，將知識整合、優化，充分利用左右腦的技能，有助于記憶知識及培養發散性思維.通過思維導圖把從屬的知識串成線，把相鄰的知識連成面，將知識以框架形式呈現給學生，以便于學生形象直觀地看到各個知識點之間的關聯，形成完整的知識體系，在解決問題的過程中從頭腦中的知識體系中抽取相應的知識，實現問題的化歸.

3.2? 正向與反向的轉化

在函數教學中，存在許多無法從正面解決或者從正面解決比較復雜的問題.所謂正難則反，當許多函數問題無法從正面進行解決時，可以按照給定條件從反向進行思考，將正向問題化歸為反向問題，實現正向與反向的轉化.

反證法是函數中常用的一種解決問題的方法.通過判斷反向論題的虛假，推出矛盾，可以間接證明原命題的正確性.牛頓曾經說過：“反證法是數學家最精當的武器之一.”一般來講，反證法常用來證明正面證明有困難，情況多或復雜，而命題的否定則比較淺顯的題目，問題可能解決得十分干脆.也就是說，將一些比較難以解決的正向問題，通過化歸思想方法，轉化為先證明反向問題的錯誤，進而推出正向問題的正確性[4].

例如? 在三角函數周期性的學習中，教師提出是正弦函數的最小正周期.在實際教學中，由于課時限制以及學生理解水平的差異，部分教師往往會直接向學生闡明上述結論，而忽視該命題的證明，這剝奪了學生對過程與方法的體驗，不利于學生邏輯推理能力的發展.事實上，運用反證法很容易證明上述結論：根據誘導公式，可以推得是正弦函數的周期，再運用反證法，通過舉反例即可推得是正弦函數的最小正周期.

3.3? 函數問題與其他學科問題的互相轉化

函數表示了一種變量之間的對應關系，它是研究絕大多數數學分支的重要工具，也是研究其他學科的一大有力工具.函數與人們的生活息息相關，它是一種高效的思維方式，也與其他數學分支有著千絲萬縷的聯系.通過對函數問題與幾何問題、代數問題等等，可以實現問題的簡化，從而促進問題的解決，也可以給予學生思考問題的不同角度，促進學生發散性思維的發展.

面對一些比較復雜的函數問題，可以將其轉化為幾何問題.我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休.”數學中，數和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件下，通化歸思想方法，數和形之間可以相互轉化，相互滲透.

例如? 求函數的最小值，此問題可以將上述函數表達式進行配方，轉化為求的最小值，根據兩點間距離公式，也就是求到距離的最小值.最后，本問題可以通過不斷變形，化歸為求到拋物線上的點的距離的最大值，利用幾何性質進行求解.這樣把函數問題轉化為幾何問題，實現了問題的簡化.

又如，在學習空間向量的時候，教師需引導學生利用函數思想解決空間向量問題，尤其是在求法向量、平行向量時，常常會運用函數與方程的思想進行求解，將幾何條件化歸為代數條件，實現問題的轉化與簡化.

3.4? 函數主元的轉化

數學問題涉及多變元時通常難度較大，這時候可以進行常量和變量的化歸，將函數中的常數或者參數當成“主元”，把函數中的其他變量當做“參數”，通過減少變元來簡化運算.尤其是在解決含參變量的函數、含多個變量的函數以及曲線方程的問題時，常常需要轉換主元，通過化歸思想方法實現問題的簡化[5].

例如? 求使得對于滿足-2＜m＜-1的所有實數m，不等式恒成立的x的范圍.本問題若將x看成主元，m看做參數，是一道一元二次不等式的問題，而若將m看成變量，x看做參數，則可以化歸為一元一次不等式的問題，實現了問題的簡化.因此，通過變換主元，尤其是把已知范圍的參數作為主元，化歸為已知參數范圍求解問題，可以促進問題的順利解決.

3.5? 現代信息技術與教學的融合

隨著現代技術的不斷發展，數學課堂的形式也在不知不覺中發生了重大的轉變，把現代技術引入課堂教學是一種必然的趨勢.通過現代技術，可以大大簡化繁瑣的運算，給數學課堂注入活力.

圖形計算器是一個很好的教學工具，通過圖形計算器，可以讓學生動手操作，經歷“再發現”數學規律的過程，使得抽象繁瑣的數學運算變得簡單、自然，提高課堂效率.并且通過圖形計算器，學生可以主動地探究數學知識，實現“歸納先導，演繹跟進”的原理.

4? 結語

教師需要在日常教學中通過串聯知識點、正反向轉化、函數與其它問題的轉化、函數主元的轉化，不斷滲透化歸思想方法，讓學生在化歸思想方法的學習與實踐中從最初的模仿，到自己理解化歸思想方法，進而掌握、靈活運用化歸思想方法，將復雜的問題進行不斷地分解與轉化，將它們轉化成已知的、熟悉的、簡單的形式，從中學會發現與提出問題、分析與解決問題.

教師在教學過程中，不僅僅需要講授知識與解題技能、方法，更需要不斷滲透數學思想方法，幫助學生學會發現問題、提出問題、解決問題，進而促進學生數學核心素養的發展.數學教學應當進一步深化歸思想的函數教學滲透，通過化函數為圖形、化正面為反面、題根轉化等多種策略來落實化歸思想的運用，發揮化歸思想函數增效的功能，使每一個高中生的數學函數知識素養、思維能力、解題技巧等都能夠實現全方位成長.

參考文獻：

[1]波利亞（美）.怎樣解題[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2011.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]周曉琳.數學化歸思想的培養[J].數學教學通訊，2015（12）：45-46.

[4]王艷輝.例談數學化歸的思維[J].成功（教育），2013（22）：91.

[5]李躍勝.學科融合背景下提高數學教學內容真實性初探[J].黑河教育，2022（11）：50-52.