核心素養下的單元教學設計

劉亞敏

【摘? 要】? 本文基于數學核心素養對“等比數列的前n項和”進行單元教學設計，主要包括單元內容及其解析、教學目標及其解析、單元教學問題診斷分析、單元教學支持條件分析，同時給出“等比數列的前n項和公式”的課時教學過程設計.在課堂教學中引導學生發現、提出并解決問題，讓學生構建整體認知結構，提升數學抽象、數學建模、邏輯推理、數學運算等核心素養.

【關鍵詞】? 核心素養；單元教學；等比數列

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》實施建議中提到教師“不僅關注每一節的教學目標，更要關注主題、單元的教學目標，明晰這些目標對實現數學學科核心素養發展的貢獻”.單元教學設計就是教師根據學生現有的知識，對教學內容進行有機的重組和優化，作出一個整體的構思，讓學生從宏觀上構建條理清晰、層次分明的知識結構與思維框架，有利于學生在潛移默化中落實數學核心素養.

1? 單元內容及其解析

1.1? 內容

等比數列的前n項和公式的推導和應用.本單元教學建議用2課時：第1課時，等比數列的前n項和公式的推導；第2課時，等比數列的前n項和公式的應用.

1.2? 內容解析

從在教材中的地位與作用來看，等比數列的前n項和是等比數列的又一重要性質，是進一步認識等比數列的函數特性的又一重要角色，是體會數學整體性的又一重要載體.等比數列的前n項和公式是數列單元中的重點內容.教科書在公式的推導中，采用了“分類討論法”和“錯位相減法”.“錯位相減法”源于對等比數列的前n項和公式的觀察和分析，利用了等比數列的定義，沒有用到等比數列的其他性質.等比數列的前n項和公式不僅在現實生活中有著廣泛的實際應用，如銀行儲蓄、分期付款、資產折舊、病毒傳播、元素衰變、人口增長等實際問題的有關計算等等，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、方程和函數等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養.

基于以上分析，確定本單元的教學重點：等比數列的前n項和公式的推導及其應用.

2? 單元目標及其解析

2.1? 目標

（1）了解等比數列的前n項和公式產生的背景；

（2）推導并掌握等比數列的前n項和公式；

（3）在具體的問題情境中，能運用等比數列的前n項和公式解決一些簡單的數學問題和實際問題，提升數學建模素養.

2.2? 目標解析

達成上述目標的標志是：

（1）學生通過課前自主查閱數學史料，了解等比數列的前n項和公式的來龍去脈，感悟特殊與一般的思想，感受前人嚴謹的治學精神和數學文化的熏陶；

（2）掌握等比數列的前n項和公式的“錯位相減法”以及其他推導方法，能分析等比數列的通項公式與前n項和公式的關系，描述等比數列的前n項和公式的特征以及它與相應指數函數的關系；

（3）學生能在具體的問題情境中，運用等比數列的前n項和公式解決相應的問題．

3? 單元教學問題診斷分析

從學生已有的數學思維特點來看，其認知基礎是等比數列的定義與性質、數列求和的一般觀念，以及學生對特殊數列求和的研究經驗等．“錯位相減法”是一種帶有技巧性又便捷的方法.這種方法源于利用等比數列的定義，并沒有用等比數列的其他性質，故教科書直接讓在的兩邊乘以公比q，得.然后通過消去兩式中的相同項，就得到了等比數列的前n項和公式.其過程中怎樣讓等比數列的前n項和公式的推導能夠相對自然地呈現，成為學生理解公式推導過程的合理性的關鍵.為了有效突破這一難點，在推導過程中，從特殊到一般的問題情境中，通過觀察分析每項之間的聯系和規律，感悟“錯位相減法”的形成過程，從而獲得公式.

4? 單元教學支持條件分析

4.1? 知識上的支持

教科書借助多媒體引入古印度國際象棋的發明者向國王提出想要的麥粒作為獎勵的故事，讓學生經歷“分類討論法——錯位相減法”的認知過程；也借助實物投影儀展示學生的小組合作學習成果，讓學生經歷化歸與轉化、探索與嘗試、總結與提煉以及應用與深化四個階段，加深學生對求和公式的認知，對推導和應用過程的理解，完成本單元的教學目標.

4.2? 教學策略分析

教學方法：以學生為主體，采用分組討論、任務驅動式教學，精講精練.

教學工具：三角板，直尺，多媒體輔助.

4.3? 教學輔助媒體分析

黑板：板書教學內容、引導學生一起作圖，重要例題的規范書寫過程.

多媒體教學工具：顯示教學各環節，展示問題背景及學生解答過程、結果，及時反饋.

5? “等比數列的前項和公式”（第2課時）教學設計

5.1? 教學目標

在具體的問題情境中，能運用等比數列的前n項和公式解決一些簡單的數學問題和實際問題，提升數學抽象、數學建模、邏輯推理、數學運算等核心素養.

5.2? 教學重點與難點

重點：等比數列的前n項和公式的應用.

難點：綜合與靈活運用等比數列的前n項和公式.

5.3? 教學過程設計

環節1? 復習公式，簡單應用

引導語：同學們，請利用上節課學習的等比數列的前n項和公式完成下題：

例如? 已知數列是等比數列，若求q與

設計意圖? 幫助學生復習鞏固等比數列的通項公式和前n項和公式，強化方程的思想，提升數學運算素養.

環節2? 理解公式，靈活運用

例10? ?（教科書第38頁）正方形的邊長為，取正方形各邊的中點，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的中點，作第3個正方形，依此方法一直繼續下去.

（1）求從正方形開始，連續10個正方形的面積之和；

（2）如果這個作圖過程可以一直繼續下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？

問題1? 請問第2個正方形的面積和第1個正方形的面積有什么關系？第3個和第2個呢？

師生活動? 構建一個數列使其各項分別表示第1個到第n個的面積數，然后分析推理出，

問題2? 由這個規律我們可以直接得出嗎？

師生活動? 舉例讓學生明白這種歸納的方法不嚴謹，比如，某班1號同學是男生，2號同學是男生，3號同學是男生…則這個班的同學都是男生.

問題3? 那我們應該怎樣尋找任意兩個相鄰的正方形的邊長之間的關系呢？

師生活動? 設第k個正方形的邊長為m，則第個正方形的邊長為，則? ，? ?即可得出，從而得出是一個以25為首項，為公比的等比數列，然后再用等比數列求和公式算出.

設計意圖? 引導學生在實際情境問題中抽象出等比數列，并能對此數列進行推理論證，而后運用等比數列求和公式求解.

環節3? 鞏固內化，綜合運用

例1? （教科書第38頁）去年某地產生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環保方式處理．預計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸．為了確定處理生活垃圾的預算，請寫出從今年起n年內通過填埋方式處理的垃圾總量的計算公式，并計算從今年起5年內通過填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬噸）.

問題4? 每年生活垃圾的總量之間有什么關系？通過環保方式處理的垃圾量之間有什么關系？

師生活動? 從實例中抽象出數列的概念，構造數列模型，可知每年生活垃圾的總量構成等比數列，而每年以環保方式處理的垃圾量構成等差數列.

問題5? 我們應該怎樣進行模型構建呢？

師生活動? 設從今年起每年的生活垃圾總量構成數列，每年以環保方式處理的垃圾量構成數列，n年內通過填埋方式處理的垃圾總量為.

問題6? 怎樣確定數列所對應的首項和公差或者公比呢？

師生活動? 構造數列后要先確定基本量，比如此題等比數列中的首項是取20，還是取，公比q是，等比數列的公差d為1.5，但首項是取6還是取呢？寫通項時這些都要考慮清楚.

設計意圖? 此題是等差數列與等比數列合并的一個綜合題，因此求和時要作分組求和的處理.這個計算方法在教科書第40頁習題4.3的第3題中的（1）中也進行了考查，前一節的課后練習有做知識方法鋪墊.

例2? （教科書第39頁）某牧場今年初牛的存欄數為1200，預計以后每年存欄數的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛．設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為

（1）寫出一個遞推公式，表示 與之間的關系；

（2）（2）將（1）中的遞推公式表示成的形式，其中? 為常數；

（3）（3）求的值（精確到1）.

問題7? 請問和是什么關系？和呢？

師生活動? 引導學生從具體的問題情境中抽象出和之間的遞推規律，從而得到①，然后根據待定系數法得，設，則就是一個首項為，公比q為1.08的等比數列.設的前n項的和為，則，后面再根據分組來解決問題.

設計意圖? 強化學生的能力要求，提高學生的數學建模能力.

環節4? 目標檢測，檢驗效果

目標檢測? 教科書第40頁練習1，2.

設計意圖? 檢測學生對材料的閱讀理解能力、提取有關信息并建立數列模型的能力，綜合運用數列的相關知識分析和解決實際問題的能力.

環節5? 小結提升，形成結構

教師引導學生回顧本單元的學習內容，并回答下列問題：

（1）概述本單元知識發生發展過程的基本脈絡.

（2）等比數列的前n項和公式的推導過程是怎樣的？其中蘊含了什么思想方法？

（3）我們是如何探討等比數列的前n項和公式的？分了哪幾個應用層次？其中用到了哪些數學方法？

設計意圖? （1）使學生逐步掌握公式學習的基本路徑，加深知識形成過程的印象.

（2）回顧在公式推導過程中涉及的“分類討論”“錯位相減法”，幫助學生靈活選擇運用.

（3）落實抽象概念、推理論證、數學運算和數學建模素養的培養.

6? 教學反思

6.1? 學生所需具體的能力

對學生的能力要求有：（1）抽象概括能力，能在具體的問題情境中，抽象出具有遞推規律事物的數學關系；（2）數學建模能力，能根據遞推關系建立合適的數列模型；（3）邏輯推理能力，建立數列模型后能證明有關命題，并能有條理地表達；（4）數學運算能力，能合理運用常用的代數變換手段，簡化復雜的數式運算從而求得結果.

6.2? 教師需要做的鋪墊

冰凍三尺非一日之寒，對學生而言這些關鍵能力不是一天兩天能夠快速提高到哪個程度，需要教師循序漸進地引導學生不斷理解、加強、鞏固、提高和掌握的.教學中提前準備小專題將數列求和問題劃歸為錯位相減法，裂項求和法，分組求和法，構造新數列法等方法求解的問題一一突破，也需要一些帶有探索性、存在性、開放性等方面的問題.

參考文獻：

[1]普通高中教科書教師教學用書.數學：選擇性必修.第二冊：A 版/人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心編著.一北京：人民教育出版社，2020.6（2021.7重印）.

[2]彭海燕，曾庚平，張坤瑞.切實做好單元設計 落實數學核心素養[J].中學數學教學參考，2022（10）：21-24.

[3]馬林.高中數列知識及教學問題探究[D].西北大學，2017.

[4]洪金堅.主題化教學設計的實踐與探索——以“等差數列與等比數列”高考備考習題課為例[J].中學數學教學參考，2022（04）：21-23.

[5]劉姍.新課標下數列的教育教學價值研究[D].長沙：湖南師范大學，2021.