雙曲線中面積為定值的阿基米德三角形頂點軌跡的探究

胡慧 甘文珍 金龔逸 張凌翔

摘?要：本文主要探究了雙曲線中面積為定值的阿基米德三角形頂點軌跡問題.首先，我們推導了雙曲線中阿基米德三角形面積的表達式.其次，我們證明了雙曲線中阿基米德三角形為定值的充要條件是其頂點軌跡為雙曲線.同時，我們發現該面積定值決定了軌跡的個數、切點位置與軌跡的開口方向.同時，我們利用GeoGebra軟件進行了數值模擬.

關鍵詞：阿基米德三角形；面積定值；軌跡；圓錐曲線；GeoGebra

眾所周知，阿基米德利用無窮級數逼近的思想證明了拋物線中的弦AB與拋物線圍成的弓形面積為三角形ΔPAB面積的23［12］.為紀念這一發現，后人將圓錐曲線的弦AB與過弦的端點的兩條切線PA、PB所圍成的三角形叫作阿基米德三角形（如圖1所示）.

（a）拋物線????（b）雙曲線（切點在同一支）??（c）雙曲線（切點不在同一支）???（d）橢圓

圖1?不同圓錐曲線中阿基米德三角形的示意圖

本文主要關注面積為定值的阿基米德三角形頂點軌跡問題.在之前的工作中，康盛［3］證明了拋物線中阿基米德三角形面積為定值的充要條件是其頂點軌跡為一拋物線.甘大旺［4］和蘇立志［5］給出了橢圓中阿基米德三角形面積的表達式，并研究了阿基米德三角形面積最小值的問題.但是鮮有學者對于雙曲線的情形進行深入的研究.為此，我們將研究雙曲線中面積為定值的阿基米德三角形頂點軌跡，并發現雙曲線在該問題中有著一些特殊的結論.同時，本文的研究思路可為后續研究者探索雙曲線中阿基米德三角形的若干性質提供一個參考.

1?雙曲線中阿基米德三角形面積公式的推導

我們首先給出雙曲線切點弦方程，具體證明過程見文獻［6］.讀者也可以利用聯立直線與曲線方程，計算判別式的方法，或者利用數學分析中隱函數的相關知識進行求解.

引理1［6］：已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1，在雙曲線外一點P（x0，y0）引C的兩條切線PA，PB則切線弦方程為x0xa2-y0yb2=1.

在引理1的基礎上，我們進一步討論雙曲線中阿基米德三角形的面積問題，并得到如下定理1.

定理1：對于給定的雙曲線C：x2a2-y2b2=1，P（x0，y0）為切線PA，PB的交點，則阿基米德三角形ΔPAB的面積為S=a2b2（-u）32u+1，其中u=x20a2-y20b2-1∈（-，-1）∪（-1，0）.

證明：我們選定三角形面積計算公式為S=12AB×h，其中AB為切點弦AB的長度，h為點P到直線AB的距離.根據引理1和點到直線的距離公式，容易計算出：

h=b2x20-a2y20-a2b2a4y20+b4x20=a2y20-b2x20+a2b2a4y20+b4x20（1）

下面計算AB.聯立雙曲線方程和切點弦方程，消去y容易得到如下關于x的一元二次方程：

（a2y20-b2x20）x2+2a2b2x0x-（a4y20+a4b2）=0.

容易驗證上式的判別式Δ>0，因此由代數方程的韋達定理得：

x1+x2=-2a2b2x0a2y20-b2x20，x1x2=-a4y20+a4b2a2y20-b2x20.

進一步可知：

（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=4a4y20（a2y20-b2x20）2（a2y20-b2x20+a2b2）

即：

x1-x2=2a2y0a2y02-b2x02a2y02-b2x02+a2b2.

根據線段的計算公式，我們有：

AB=1+k2ABx1-x2

=2a4y02+b4x02a2y02-b2x02a2y02-b2x02+a2b2（2）

將（1）式和（2）式代入三角形面積計算公式，化簡得到：

S=（a2y02-b2x02+a2b2）32a2y02-b2x02.

為書寫方便，我們引入中間變量u=x02a2-y02b2-1∈（-

，-1）∪（-1，0），則上式可以表示為：

S=ab（-u）32u+1，u∈（-，-1）∪（-1，0）.

2?雙曲線中阿基米德三角形頂點軌跡探究

在上一節中，我們計算了雙曲線中阿基米德三角形的面積計算公式.本節我們來研究面積為定值時頂點的軌跡.

定理2：對于給定的雙曲線C：xa2-yb2=1，則有：

（1）當阿基米德三角形的面積為定值S0時，其頂點軌跡為一雙曲線；

（2）定值S0決定了對應軌跡的個數.

證明：我們首先證明第一部分.由定理1可知，當給定面積定值S0時，中間參數u的取值u0可由方程確定：

S0=ab（-u0）32u0+1.

我們此處先斷言u0存在，若u0∈（-

，-1），對應的頂點軌跡為上下兩支雙曲線：

y2-b2（u0+1）-x2-a2（u0+1）=1；

若u0∈（-1，0），對應的頂點軌跡為左右兩支雙曲線：

x2a2（u0+1）-y2b2（u0+1）=1.

下面證明定理的第二部分，即研究u0的存在性和存在個數.令：

φ（u）=ab（-u）32u+1-S0：=φ1（u），u∈（-1，0），φ2（u），u∈（-，-1）.

容易知道，

φ1（u）=ab（-u）32（u+1）-S0，u∈（-1，0）.

對φ1求導得，

φ′1（u）=ab-u（-u-3）2（u+1）2<0，u∈（-1，0）.

這說明φ1為嚴格單調遞減函數，并且注意到

limu→-1+φ（u）=+

，limu→0-φ（u）=-S0<0.

由零點的存在性和唯一性定理可知，φ1（u）在（-1，0）上存在唯一的根u1.類似的我們知道，

φ2（u）=-ab（-u）32（u+1）-S0，u∈（-

，-1）.

對φ2求導得，

φ′2（u）=ab-u（u+3）2（u+1）2，u∈（-

，-3）時，φ′2（u）<0，φ2單調遞減；當u∈（-3，-1）時，φ′2（u）>0，φ2單調遞增.因此φ2存在極值點u=3與極小值φ2（-3）=33ab2-S0.

進一步可知，當φ2（-3）<0時，注意到limu→-

，-3）與（-3，-1）上各存在一根，分別記為u2，u3.而當φ2（-3）=0時，則u2，u3退化一重根.當φ2（-3）>0時，則u2，u3不存在.以上分析說明面積定值S0決定了對應軌跡的個數，即

下面給出定理2的一些推論.

推論1：當給定軌跡C*：x2a2（1+u*）-y2b2（1+u*）=1時，阿基米德三角形的面積為定值.

推論2：S0控制著軌跡雙曲線的開口方向與切點的位置.

證明：由（2）可知，

Sign（x1x2）=Sign（b2x20-a2y20）=Sign（u+1）

其中Sign（·）為符號函數，這說明u控制著切點的位置，即當u∈（-，-1）時，兩切點位于雙曲線的兩支上；當u∈（-1，0）時，兩切點位于雙曲線的同一支上.根據定理2的第一部分證明可知，u控制著雙曲線的開口方向，即當u∈（-

，-1）時，頂點軌跡為上下兩支的雙曲線；當u∈（-1，0）時，頂點軌跡為左右兩支的雙曲線.

下面，我們利用GeoGebra軟件進行數值驗證.

給定雙曲線x2+y24=1.容易計算出S0的臨界值為S*0=33，我們分別取S1=4<S*0，S2=S*0，S1=6>S*0.借助GeoGebra軟件，我們容易計算出不同情況下中間參數u的取值（見表2），并也繪制出不同情形下對應的軌跡曲線.

本文著重研究了雙曲線中面積為定值的阿基米德三角形頂點軌跡的問題.通過對比不同圓錐曲線中面積為定值的阿基米德三角形頂點軌跡，我們發現雖然雙曲線情形的軌跡也仍然是一雙曲線，但是面積定值與軌跡的個數并不是一一對應的，一個面積定值最多可以對應三條不同的軌跡雙曲線.更為有趣的是，我們發現該面積定值可以決定阿基米德三角形與給定雙曲線的切點位置與軌跡雙曲線的開口方向.

參考文獻：

［1］方亞斌.千年古圖蘊藏題庫——阿基米德三角形演繹高考題［J］.中學教研（數學），2017（07）：16.

［2］甘大旺.教科書中阿基米德的拋物弓形面積的證法補遺及拓展探究［J］.數學通報，2016，55（11）：3132+35.

［3］康盛.面積為定值的阿基米德三角形的軌跡問題［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2021（09）：4546.

［4］甘大旺.一類（泛）阿基米德三角形的面積何時取最小值？［J］.中學數學雜志，2016（01）：2628.

［5］蘇立志.關于一類阿基米德三角形面積最小值的結論［J］.中學數學，2009（09）：40.

［6］吳高林，胡蘭田，金鋼.雙曲線切線的存在性及引向［J］.數學通報，1983（09）：1517.

課題：江蘇省高教學會評估委員會教改課題（2020C06）;江蘇省大學生創新創業訓練項目?（202211463044Z）和國家自然科學基金（11801229）

作者簡介：胡慧（2000—?），女，漢族，四川遂寧人，學士，蘇州外國語學校教師，主要從事小學數學教學與研究工作。

*通訊作者：甘文珍。