基于貝葉斯后驗估計的橋梁動態稱重算法理論與試驗研究

張龍威, 原璐琪, 陳 寧, 袁帥華, 張 龍

(1.湖南科技大學 土木工程學院,湖南 湘潭 411201;2.湖南科技大學 結構抗風與振動湖南省重點實驗室,湖南 湘潭 411201)

車輛超載現象日漸增加,不僅會降低公路橋梁的使用壽命,還對橋梁的結構安全產生較大危害。橋梁動態稱重(bridge weigh-in-motion, BWIM)系統作為新型的車輛稱重系統,利用過橋車輛對橋梁的動力響應能快速識別車輛軸質量、軸距、車速等信息[1-3]。它具有安裝方便、不中斷交通、測試隱蔽、稱重精度高且穩定性好等優點,能有效地對行駛在橋面上的車輛進行監控。

目前,傳統BWIM系統的核心算法是由Moses[4]在1979年提出的。該算法基于橋梁的理論影響線,利用過橋車輛對橋梁的實測動力響應和理論響應建立誤差函數,識別過橋車輛的軸質量。由于Moses算法所采用的理論影響線不能真實地反映橋梁的實際力學特性,OBrien等[5]利用橋梁實測影響線代替理論影響線進行軸質量識別;隨后,王寧波等[6]和Zheng等[7]分別利用多項式擬合和最小二乘法QR分解的方法從橋梁的實測動力響應中提取橋梁的實測影響線;張龍威等[8]和Heitner等[9]利用迭代算法分別得到單車過橋時的實測影響線和多車連續過橋時的總體實測影響線。雖然更真實的影響線能夠提高車輛軸質量識別的精度,但是,由于橋面可能會出現多車并行的情況,車輛之間對橋梁的響應會相互干擾,影響軸質量識別的準確性。對于這一問題,宮亞峰等[10]利用橋梁的彎矩影響面進行多車共存下的車輛荷載識別;譚承君等[11-12]和鄧露等[13]分別引入橫向分布系數和神經網絡的方法分離多車響應,進行軸質量識別。針對傳統BWIM算法僅適用于中小跨徑橋梁的問題,鄧露等[14]提出虛擬簡支梁法,通過隔離橋梁上某一段的應變響應進行軸質量識別,實現大跨度橋梁的動態稱重。

上述算法雖然在一定程度上提高了軸質量識別精度,但其核心仍是最小二乘法,忽略了測量誤差對軸質量識別的影響。當路面條件較差或者橋梁跨徑較大時,軸質量求解方程為病態方程,會出現過擬合,降低軸質量識別精度。為了解決這一問題,Rowley等[15]提出基于正則化的橋梁動態稱重算法提高軸質量識別精度;OBrien等[16]運用最大似然估計進行車輛荷載識別。針對傳統BWIM算法對于密集群軸難識別的問題,陳適之等[17-18]提出新型橋梁動態稱重算法,通過宏應變曲率獲取車輛信息,并擴展到二維算法,實現多車并行時的軸質量識別,而且得到了較高的識別精度。雖然這些算法可以改善傳統BWIM算法的不足,但計算效率不高且需人工干預。

為解決上述的問題,本文提出一種基于貝葉斯后驗估計的橋梁動態稱重算法(簡稱：貝葉斯算法)。該算法利用貝葉斯后驗估計,在軸質量求解方程中引入約束因子,用于抑制測量誤差對軸質量識別的影響,提高結果精度。通過理論推導得到貝葉斯算法的軸質量計算公式,分別基于數值仿真和實橋試驗對比Moses算法和貝葉斯算法軸質量識別結果,驗證貝葉斯算法在實際應用中的可行性。

1 動態稱重算法

在橋梁動態稱重算法中,假定橋梁為一維線彈性的梁,當車輛駛過橋梁時,橋梁的理論荷載響應MTh可通過每個車軸軸質量與其加載位置對應的影響線值乘積求和得到。考慮到誤差ε的存在,實測響應Mm表達式為

Mm=MTh+ε=IL·A+ε

(1)

(2)

式中：IL為橋梁影響線矩陣;A為車輛軸質量向量;K和N分別為數據的采樣總數和車軸數量。

1.1 Moses算法

傳統橋梁動態稱重系統是以Moses算法作為核心算法進行軸質量識別。首先,基于最小二乘法,根據橋梁的實測響應Mm和理論響應MTh建立誤差函數E,即：

(3)

然后,令誤差函數E對每個車軸求偏導。最后,當偏導值等于零時,誤差函數E取最小值,所對應的結果即為橋梁上行駛車輛的軸質量,具體求解過程見文獻[19]。車輛軸質量A的表達式為

A=(ILTIL)-1ILTMm

(4)

式中,影響線IL由影響線算法得到影響線向量變化而成。

1.2 貝葉斯算法

由貝葉斯定理[20]可知,車輛軸質量A的后驗概率與實測響應Mm似然估計P(Mm|A)和車輛軸質量A的先驗概率P(A)的乘積成正比,即：

P(A|Mm)∝P(A)P(Mm|A)

(5)

(6)

(7)

當后驗概率P(A|Mm)取最大值時,所對應的軸質量A的計算公式為

(8)

(9)

E=min[(Mm-IL·A)2+φATA]

(10)

軸質量表達式的求解過程同Moses算法相似,具體可參考文獻[21]。最終得到車輛軸質量A的表達式

A=(ILTIL+φI)-1ILTMm

(11)

式中：I為單位矩陣;φ為約束因子,由橋梁響應測量誤差的標準差σM和軸質量的標準差σA確定。其中：σM通過橋梁實測響應和理論響應的差值得到;σA利用貝葉斯線性回歸的方法確定。

由于車輛軸質量A的先驗概率和實測響應Mm的似然估計均服從共軛高斯分布,根據貝葉斯定律,車輛軸質量A的后驗概率同樣服從高斯分布,即：

(12)

(13)

另一方面,根據概率分布,車輛軸質量A的后驗概率可以寫成

(14)

通過對比式(13)和式(14)中的二次項,可以得到

(15)

在求解過程中,對軸質量的標準差賦予初值,通過式(15)反復迭代出軸質量的標準差。測量誤差的標準差先通過橋梁響應的實測值和第i次軸質量迭代得到的軸質量所計算的響應理論值求差得到測量誤差,計算公式為Mm-IL·A(i),進而計算出相應的標準差。這里需要指出的是,軸質量初值A(0)的選擇與軸質量初始分布無關。

基于貝葉斯后驗估計的橋梁動態稱重算法的詳細計算過程如圖1所示。

步驟1獲取初始軸質量A(0)。假定初始的約束因子φ(0)=0,利用軸質量方程A=(ILTIL+φI)-1ILTMm得到初始軸質量A(0)。

步驟5確定車輛軸質量A。重復步驟2～步驟4,直至車輛軸質量收斂且相鄰兩次迭代的軸質量差值的絕對值小于閾值e2為止,即：e2>|A(i)-A(i-1)|。最后迭代步i所對應的軸質量A(i)作為車輛軸質量A的最終結果。

圖1 貝葉斯算法流程圖

2 數值仿真

為了驗證貝葉斯算法的可行性和準確性,本文基于車-簡支梁耦合動力數值模型,進行相關研究。

2.1 車橋耦合數值模型

本文采用數值模型模擬隨機車流以不同的速度沿簡支梁橋中心線勻速駛過,如圖2所示。橋梁模型為歐拉-伯努利簡支梁,跨徑L=10 m、彈性模量E=3.5×1010N/m2、截面慣量Jb=0.132 m4、線密度μ=4 278 kg/m、阻尼比ζ=3%。車輛模型為兩軸車,由線彈性體、質量元件和剛度元件構成。車輛參數根據實測數據得到,車輛的每個參數都服從高斯正態分布,通過蒙特卡洛隨機生成100輛車駛過橋梁,具體數值如表1所示。其中,每輛車的速度服從均值為80 km/h、標準差為8 km/h的正態分布。路面粗糙度等級選用A級和C級,分別模擬路面完好和路面變差時的工況。車橋耦合求解方法為Newmark-β法,時間步長為1×10-4s。為了模擬實際情況下的噪聲信號,加入2%的高斯噪聲,得到的橋梁跨中梁底的應變響應,共200組(100輛車×2種粗糙度),用于軸質量識別。圖3為同一輛車分別在A級和C級路面下的動力應變響應。圖4為用于稱重的橋梁跨中位置梁底的理論影響線?？紤]到車輛上橋段和出橋段所引起的橋梁動力響應對軸質量識別結果的影響,橋梁影響線長度定為20 m,即5 m(上橋段)+10 m(橋長)+5 m(出橋段)=20 m。

圖2 車橋模型示意圖

表1 車輛參數

圖3 橋梁跨中位置處應變響應對比圖

2.2 結果分析

圖4 橋梁跨中位置處理論影響線

表2 兩種算法軸質量識別結果誤差表

從表2可以看出：

(1) 當路面粗糙度為A級時：①兩種算法軸質量識別誤差的標準差相差不大,但貝葉斯算法得到的軸質量誤差均值低于Moses算法,特別是后軸和總質量,例如,貝葉斯算法的后軸軸質量誤差均值為-0.2%,遠小于Moses算法的后軸軸質量誤差均值6.0%。這表明,貝葉斯算法能在一定程度上提高軸質量識別的精度。②貝葉斯算法對后軸和總質量的識別精度要明顯高于前軸軸質量的識別精度,例如,貝葉斯算法的前軸軸質量誤差均值(5.3%)明顯高于后軸軸質量誤差均值(-0.2%)和總質量誤差均值(1.2%),而且前軸的穩定性也要比后軸和總質量的穩定性差。出現這一現象主要是因為,貝葉斯算法對軸質量數值較大的車軸識別精度高,以總質量識別結果為例,其誤差均值趨于0(1.2%)。這也意味著前軸和后軸軸質量誤差絕對值的數值相近、符號相反。

(2) 當路面粗糙度為C級時：①貝葉斯算法的軸質量識別結果明顯優于Moses算法,以前軸為例,貝葉斯算法的誤差均值(8.9%)和標準差(12.5%)均小于Moses算法相應的結果(均值：11.7%,標準差：14.4%);②貝葉斯算法的總質量識別精度明顯高于單軸的識別精度;③Moses算法的單軸軸質量和總質量誤差的均值相近,但總質量誤差的標準差(5.7%)明顯低于單軸誤差的標準差(前軸：14.4%,后軸：10.9%)。

(3) 對比不同粗糙度下兩種算法的軸質量識別結果,可以看出：①隨著路面條件變差,兩種算法的軸質量識別精度均會明顯降低,以貝葉斯算法為例,前軸誤差均值由5.3%(A級)增加到8.9%(C級),標準差由4.4%(A級)增加到12.5%(C級);②路面越不平整,貝葉斯算法對Moses算法軸質量識別精度的提升越明顯。例如,A級路面時前軸的誤差均值由Moses算法的6.5%降至貝葉斯算法的5.3%,誤差減小了1.2%。隨著路面變差,相比于Moses算法,貝葉斯算法在C級路面時前軸的誤差降幅達到了2.8%。

綜上所述,貝葉斯算法可以在一定程度上提高軸質量識別精度,而且路面條件越差,精度提升得越明顯。

為了深入探究貝葉斯算法在橋梁動態稱重系統中優于Moses算法的原因,現選取同一輛車在不同粗糙度下的動力響應(圖3)進行闡述。

從圖3可以看出,隨著路面粗糙度的增加,車輛駛過橋梁時的動力響應出現不同幅度的波動,即：當路面條件較好時(A級),車輛對橋梁的動力響應在靜力值附近上下波動;當路面條件變差時(C級),其動力響應波動幅度變大,且數值普遍高于所對應的靜力值。在進行軸質量識別時,所采用的影響線是橋梁跨中位置梁底的理論影響線(如圖4),始終保持不變。隨著路面粗糙度增大,實測橋梁動力響應的測量誤差隨之增加。由于Moses算法未考慮測量誤差的影響,當測量誤差增大時,軸質量識別的精度就會降低。相比之下,貝葉斯算法考慮了測量誤差和車輛軸質量的波動,假設測量誤差和軸質量服從高斯分布,利用測量誤差的標準差和軸質量標準差得到約束因子,用于抑制測量誤差對軸質量識別的影響,從而提高橋梁動態稱重的精度。

此外,圖5和圖6分別繪制出軸質量誤差標準差和約束因子在迭代計算過程中的變化過程。

圖5 軸質量標準差迭代變化曲線

圖6 約束因子迭代變化曲線

由圖5和圖6可知,在計算過程中,即使初值與最終結果有較大偏差,也能迅速收斂,得到穩定結果。綜上所述,貝葉斯算法能夠在較高的計算效率下,抑制測量誤差對軸質量識別的影響,從而提高橋梁動態稱重的精度。

3 實橋試驗

為了驗證貝葉斯算法在實測橋梁中的適用性,本文將湖南省懷化市舞水五橋引橋作為研究對象,進行相關研究。

3.1 試驗概況

懷化市舞水五橋引橋是由10片T梁組成的簡支梁橋,跨徑40 m,橋寬24 m,橋面布置為：4×3.5 m(行車道)+2×3.0 m(非機動車道)+2×2.0 m(人行道)=24 m,主梁橫斷面示意圖如圖7所示。具體參數見文獻[22]。

(a) 立面圖

(b) 橫斷面圖

試驗選用一輛兩軸車作為加載車輛,按照30 km/h勻速沿著車道中心線反復從橋梁的第三車道駛過,共10趟。加載車輛前軸軸質量7.4 t,后軸21.1 t,總質量28.5 t,軸間距4.7 m。在試驗過程中,通過安裝在橋梁跨中截面兩側翼緣板下的車軸探測傳感器(free-of-axle-detector,FAD)獲得車輛信息(車輛軸間距、車軸數、車輛速度等);利用安裝在跨中位置T梁底部的稱重傳感器(B1～B10)獲取車輛駛過橋梁時的動態應變響應,用于軸質量識別。其中,為了使FAD傳感器得到的信號峰值位置更加明顯,分別用小波變換的方法對FAD傳感器測得的響應進行處理[23]。傳感器具體的安裝位置見圖7。試驗采用揚州科動KD4001工具式應變傳感器和日本TML公司的DC-204動態應變采集儀。測量信號采集頻率200 Hz。現場試驗系統布置如圖8所示。

3.2 結果分析

本文分別利用貝葉斯算法和Moses算法對實測的車橋動力響應進行軸質量識別,計算結果如表3所示。其中,用于軸質量識別的車橋實測動力響應是10個稱重傳感器(B1～B10)所測得的動力響應之和,見圖8(c)。影響線通過實測影響線算法從橋梁的實測影響中提取而來(圖9)。

(a) 加載車

(b) 數據采集儀

(c) 車橋動力應變響應

表3 兩種算法軸質量識別結果誤差表

由表3可知：①Moses算法能較準確地得到車輛總質量,均值誤差為0.1%,標準差為1.1%。然而,單軸誤差偏大,且穩定性差。前軸的最大誤差達到了92.9%,標準差為48.4%。這表明Moses算法對跨徑較大的橋梁進行軸質量識別,無法得到準確的單軸軸質量。②不同于Moses算法,貝葉斯算法不僅能夠得到較高精度的車軸總質量,還能較準確地識別單軸軸質量。對于每一組實測數據,貝葉斯算法的單軸軸質量誤差絕對值都遠低于Moses算法的結果。以第一組數據為例,貝葉斯算法的前軸誤差為-27.9%,遠好于Moses算法的結果(-47.8%)。③兩種算法對于總質量的識別精度明顯優于單軸的識別精度。比如,對于第5組數據,貝葉斯算法的總質量計算誤差為-0.1%要明顯低于單軸的識別精度(前軸：-9.3%,后軸：3.2%)。

圖9 實測均值影響線

為了進一步說明貝葉斯算法提高軸質量識別精度的原因,現選定第7組數據(圖8(c))進行分析說明。

從圖8(c)可以看出,實測應變響應的車橋耦合效應明顯,曲線頻繁上下波動,從而導致實測的測量誤差曲線上下波動頻繁,測量誤差偏大。結合上文可知,測量誤差越大,相對應的Moses算法的軸質量識別精度就越差。對于貝葉斯算法,在軸質量識別過程中考慮了測量誤差和軸質量的波動,參照圖1,計算出實測響應所對應的測量誤差標準差和軸質量誤差標準差,進而得到約束因子,用以抑制測量誤差對軸質量識別的影響。此外,從約束因子的迭代曲線(圖10)可看出,對于實測響應,約束因子只需要經過20次左右的迭代就能收斂,有較高的計算效率。總的說來,貝葉斯算法不僅計算效率高,而且能在一定程度上提高Moses算法的軸質量識別精度。

圖10 約束因子迭代曲線

4 結 論

為了提高橋梁動態稱重系統的軸質量識別精度,本文提出一種基于貝葉斯后驗估計的橋梁動態稱重算法。該算法考慮了測量誤差對軸質量識別精度的影響,假設測量誤差和軸質量均服從高斯分布,利用測量誤差的標準差和軸質量標準差得到能抑制測量誤差的約束因子,用以提高軸質量識別精度?；谲嚇驍抵捣抡婧蛯崢騽恿υ囼?對比了貝葉斯算法和Moses算法軸質量識別結果,得到如下結論：

(1) 通過車橋數值仿真模型試驗所得到的軸質量識別結果可以看出,同種工況下,貝葉斯算法的單軸和總質量精度都高于Moses算法。

(2) 隨著路面粗糙度的增加,兩種算法的軸質量識別精度都會有所降低,但貝葉斯算法相較于Moses算法的降幅不明顯。這表明貝葉斯算法消除了一部分測量誤差對軸質量識別的影響。

(3) 由實橋試驗的結果可知：相比于Moses算法,貝葉斯算法能夠大幅度地提高單軸的識別精度。其中,前軸的誤差標準差從Moses算法的48.4%降至貝葉斯算法的7.2%。

(4) 兩種算法對總質量的識別精度要高于單軸識別精度,而且對于單軸來說,車軸軸質量越大,相應的軸質量識別精度越高。