艙段主動隔振系統(tǒng)作動器配置優(yōu)化

巫 頔, 謝溪凌, 張志誼,

(1.上海交通大學(xué) 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室,上海 200240;2.上海交通大學(xué) 振動、沖擊、噪聲研究所,上海 200240)

艙段隔振系統(tǒng)主要用于減少振源設(shè)備(主機、輔機等)的振動向彈性殼體傳遞。主動隔振具有更寬的振動抑制頻帶,國內(nèi)外學(xué)者對主動隔振展開了大量的理論研究與實踐,Daley等[1]設(shè)計了電磁作動器與彈簧并聯(lián)的主動隔振器用于浮筏隔振,使線譜振動衰減25 dB。Yang等[2]進行了大型主動隔振系統(tǒng)振動控制實驗,采用前饋控制算法取得了最高36 dB的振動抑制性能。Ma等[3]針對雙層隔振-殼體模型,分析了不同激勵形式下作動器安裝位置、數(shù)目對控制效果的影響。目前已有的主動隔振平臺多采用單向作動器,振動傳遞控制不完備,僅能部分抑制功率流向基礎(chǔ)傳遞[4],而多向主被動控制帶來更好的控制效果的同時,引入了更多控制通道,導(dǎo)致控制系統(tǒng)更為復(fù)雜。主動隔振系統(tǒng)的控制效果不僅取決于控制律設(shè)計,還取決于的作動器、傳感器的位置選取。通常的控制是開啟所有作動器,隨之而來的問題就是控制通道多,在某些激勵下可能存在冗余。較好的控制方式是根據(jù)激勵源特征,通過優(yōu)化明確主導(dǎo)路徑并實施控制,在保證控制效果的前提下,降低控制復(fù)雜度。

近年來,研究者對振動主動控制的通道配置優(yōu)化,即作動器、傳感器位置及數(shù)量的優(yōu)化準(zhǔn)則和優(yōu)化方法,開展了一些研究。Hamdan等[5]提出了基于模態(tài)空間能控度/能觀度概念,Bruant等[6]在能控度/能觀度Gramian優(yōu)化準(zhǔn)則中考慮了模型溢出效應(yīng)。Ramesh等[7]與Güney等[8]分別采用線性二次型指標(biāo)和閉環(huán)H2范數(shù)指標(biāo)優(yōu)化簡支梁上傳感器、作動器的布置。Wang等[9]針對索網(wǎng)結(jié)構(gòu)中壓電作動器的布置問題,設(shè)計H2控制器,并采用從擾動到響應(yīng)的閉環(huán)傳遞矩陣的H2范數(shù)作為作動器、傳感器的位置優(yōu)化指標(biāo)。Ding等[10]提出了一種基于特征值分解的空間H2范數(shù)計算方法,利用閉環(huán)空間H2范數(shù)分析了平板結(jié)構(gòu)在空間分布擾動下的振動控制效果,最終依靠遺傳算法來優(yōu)化傳感器、作動器位置。Liu等[11]提出空間H2范數(shù),用以判斷作動器在平面內(nèi)的控制性能,并通過板的振動控制驗證了優(yōu)化方法的有效性。現(xiàn)有相關(guān)研究多使用狀態(tài)空間模型計算目標(biāo)函數(shù),但對于實際系統(tǒng),精確的模型通常難以獲得;部分研究者針對實際結(jié)構(gòu)研究了作動器、傳感器的離散優(yōu)化問題,陸洋等[12]和周劉彬等[13]分別通過遺傳算法優(yōu)化誤差傳感器位置以獲得最優(yōu)的主動控制效果,但未考慮作動器位置對控制效果的影響。

在主動隔振平臺-殼體系統(tǒng)中,作動器、傳感器位置按路徑功率流控制進行配置。對于作動器和傳感器位置已經(jīng)確定的配置,在給定激勵的條件下,只需從最高配置中選擇部分作動器,即通過設(shè)定作動器的開、關(guān)狀態(tài)從最高配置中進行優(yōu)選。此優(yōu)化問題可行域是離散的,本文將此問題轉(zhuǎn)化為有約束的整數(shù)非線性規(guī)劃,采用教與學(xué)優(yōu)化(teaching and learning-based optimization, TLBO)算法[14]求解,以確定給定作動器集合中性能最優(yōu)的組合。

1 系統(tǒng)動力學(xué)模型

圖1 艙段主動隔振系統(tǒng)示意圖

表1 主動隔振平臺-殼體耦合系統(tǒng)參數(shù)

本文采用基于頻率響應(yīng)函數(shù)的子結(jié)構(gòu)綜合法對耦合系統(tǒng)建模,得到圓柱殼、隔振單元、負載平臺各子結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)后,進行綜合,得到耦合系統(tǒng)的頻域動力學(xué)方程。在此基礎(chǔ)上,根據(jù)殼體的輻射聲阻抗矩陣,計算殼體輻射聲功率。

1.1 殼體模型

根據(jù)sanders殼理論,圓柱薄殼的中面應(yīng)變與殼體位移u、v、w的關(guān)系為

(1)

(2)

殼體截面力與力矩由應(yīng)力沿殼體厚度積分而得,截面力、力矩與殼體位移的關(guān)系在附錄中給出。圓柱薄殼的應(yīng)變能Us與動能Ts可表示為

(3)

(4)

式中,Nx,Nθ,Nxθ,Mx,Mθ,Mxθ為殼體的截面內(nèi)力與內(nèi)力矩。為使用能量方法對圓柱殼進行分析,需構(gòu)造可行的位移函數(shù)表示變形過程中的位移。Xu等[15]提出將殼體位移u、v、w展開為傅里葉級數(shù)疊加輔助多項式的形式

(5)

(6)

(7)

式中：τ=0/1分別為對稱/反對稱模態(tài);n為周向波數(shù);m為傅里葉級數(shù)階數(shù);A,B,C為傅里葉級數(shù)待定系數(shù);λm=mπ/Lx;Pal(x)為輔助多項式;a,b,c為輔助多項式待定系數(shù)。輔助多項式的形式在附錄中給出。根據(jù)式(5)～式(7),殼體位移可以表示成形函數(shù)與對應(yīng)系數(shù)的乘積

u(x,θ)=Puqu,v(x,θ)=Pvqv,w(x,θ)=Pwqw

(8)

式中：qu、qv、qw為傅里葉級數(shù)待定系數(shù)A,B,C與輔助多項式待定系數(shù)a,b,c組成的系數(shù)向量;Pu、Pv、Pw為傅里葉級數(shù)及輔助多項式組成的形函數(shù)。作用于系統(tǒng)的外力做功為力向量F與作用點位移向量XF的乘積Wf=FTXF。根據(jù)Hamilton原理,可得：

δ(Ts-Us+Wf)=0

(9)

將形函數(shù)Pu,Pv,Pw代入殼體動能與勢能表達式(3),(4)并進行積分,整理可得：

(10)

1.2 負載平臺與隔振單元

耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型中,隔振單元與負載平臺均簡化為有干擾力或控制力作用的剛體。剛體上任一點振動響應(yīng)均可由質(zhì)心振動響應(yīng)和該點與質(zhì)心的相對位置表示,而質(zhì)心響應(yīng)由剛體的受力情況決定。設(shè)剛體上坐標(biāo)為(ae,be,ce)的一點受到激勵力Fe=[Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz]T,則質(zhì)心加速度響應(yīng)Xc、剛體上坐標(biāo)為(ar,br,cr)位置處的響應(yīng)Xr可寫為

Xc=

(11a)

(11b)

式中：ω為圓頻率;M為剛體質(zhì)量;Jx、Jy、Jz分別為剛體繞x,y,z軸的轉(zhuǎn)動慣量。聯(lián)立式(11a)與式(11b),剛體任一點的響應(yīng)Xr可以通過激勵力向量以及激勵位置求出,以此可求得等效隔振單元的頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣。隔振單元子結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程包含隔振單元與殼體連接點、誤差點、隔振單元與負載平臺連接點的自由度,表示為

(12)

式中,下標(biāo)l,e,h分別代表隔振單元與殼體連接點、誤差點、隔振單元與負載平臺連接點。類似地,負載平臺子系統(tǒng)的頻域動力學(xué)方程可寫為

(13)

式中,下標(biāo)d,h′分別代表干擾力作用點,負載平臺與隔振單元連接點。

1.3 耦合系統(tǒng)動力學(xué)方程

本文通過基于頻響函數(shù)的子結(jié)構(gòu)綜合方法構(gòu)建隔振平臺-殼體耦合系統(tǒng)動力學(xué)方程。隔振單元子結(jié)構(gòu)、負載平臺子結(jié)構(gòu)的頻域動力學(xué)方程由式(12)、(13)給出。根據(jù)式(10),圓柱殼動力學(xué)方程包含監(jiān)測點自由度與隔振單元安裝點的自由度,可寫為：

(14)

式中：Hwl′為殼體監(jiān)測點到隔振單元安裝點的頻響函數(shù);Hl′l′為隔振單元安裝點原點頻響函數(shù);Fl′為隔振單元子系統(tǒng)在安裝位置處對殼體施加的作用力。對式(12)～(14)進行綜合,其中

Fl=-Fl′=kv(Xl-Xl′)

(15a)

Fh=-Fh′=kv(Xh-Xh′)

(15b)

消去下標(biāo)為l,l′,h,h′的自由度,耦合系統(tǒng)動力學(xué)方程可寫為

(16)

式中：X=[XdXeXw]T為干擾力作用點,隔振單元誤差點,以及殼體監(jiān)測點的振動響應(yīng);Fd為干擾力;Fc為控制力;Hdd、Hed、Hwd分別為干擾力到干擾力作用點、誤差點、監(jiān)控點的頻響函數(shù);Hdc、Hec、Hwc分別為控制力到干擾力作用點、誤差點、監(jiān)控點的頻響函數(shù)。

1.4 圓柱殼表面輻射聲功率

考慮無限長圓柱障板中的有限長圓柱結(jié)構(gòu),將圓柱殼表面沿軸向x及周向θ離散為N個單元,各單元法向振速向量β以及輻射聲壓向量p可表示為向量形式

β=[β1β2…βN]T,

p=[p1p2…pN]T

(17)

結(jié)構(gòu)的輻射聲功率即為每個單元輻射聲功率之和,可表示為聲壓與振速的乘積

(18)

式中：S為殼體輻射表面面積;表面聲壓p為輻射聲阻抗與法向振速β的乘積,p=Zβ;Z為聲阻抗矩陣,元素Zi,j表示第j單元的單位速度振動在i單元上引起的聲壓。Williams等[17]給出了無限大圓柱障板上有限圓柱面的輻射聲阻抗矩陣,周瑤[18]給出了輻射聲阻矩陣的數(shù)值計算方法,在數(shù)值計算過程中截斷周向波數(shù)及軸向波數(shù),并對軸向波數(shù)的積分域進行離散。輻射聲阻抗矩陣為

(19a)

(19b)

(20)

由于輻射聲阻抗陣Z為共軛對稱矩陣,式(18)可改寫為

(21)

式中,R為輻射聲阻矩陣,R=(Z+ZH)/2。通過系統(tǒng)耦合動力學(xué)模型計算殼體表面聲壓,結(jié)合式(19)、(21),即可求得圓柱殼表面的輻射聲功率。

2 配置優(yōu)化

2.1 優(yōu)化模型及優(yōu)化準(zhǔn)則

在主動控制系統(tǒng)中,干擾力產(chǎn)生的振動被誤差傳感器采集,驅(qū)動作動器產(chǎn)生使得誤差點響應(yīng)幅度相同、相位相反的作用力,從而抑制誤差傳感器位置處的振動。干擾力到誤差點的傳遞通道稱為干擾通道,控制力到誤差點的傳遞通道稱為控制通道。誤差點與監(jiān)測點的頻率響應(yīng)由干擾通道作用與控制通道作用線性疊加而得。令監(jiān)測點數(shù)量為nw,干擾力作用自由度數(shù)目為nd。若在所有nc條控制通道中,給定控制通道數(shù)目na(開啟na個作動器以及對應(yīng)na個誤差傳感器),那么部分啟用的控制系統(tǒng)對應(yīng)的誤差點與監(jiān)測點響應(yīng)表示為

(22)

式中：a為控制通道啟用狀態(tài);ea為對應(yīng)啟用控制通道的誤差點;ca為啟用控制通道的作動器;s為控制通道關(guān)閉狀態(tài);es為對應(yīng)未啟用的控制通道的誤差點;cs為對應(yīng)未啟用的控制通道的作動器;Heaca為na×na的控制通道頻響函數(shù)矩陣;Head為na×nd的干擾通道頻響函數(shù)矩陣;Hwca為作動器到監(jiān)測傳感器的頻響矩陣,大小為nw×na。Xea、Xw、Fd與Fca分別為na×1、nw×1、nd×1、na×1的向量。理想情況下,可通過對控制通道頻響函數(shù)矩陣求逆得到最優(yōu)控制力,使得誤差點響應(yīng)為零,但在實際工程中,誤差點振動很難被完全抑制。在本文作動器的優(yōu)化評估中,假定控制力使誤差點振動幅值下降20 dB,則對應(yīng)的控制力為理想控制力的90%,即

(23)

將控制力代入監(jiān)測點響應(yīng)表達式,可得

(24)

(25)

(26)

此優(yōu)化問題的可行解數(shù)目為

(27)

2.2 優(yōu)化算法

式(26)描述了一個非凸、高維、可行域離散的優(yōu)化問題,此類優(yōu)化問題一般通過啟發(fā)式優(yōu)化算法求解。TLBO算法是一種新穎的啟發(fā)式算法,Rao等在2011年提出了標(biāo)準(zhǔn)TLBO求解范式,Chen等在標(biāo)準(zhǔn)求解范式基礎(chǔ)上改進了初始分布的多樣性,曹丙花等[19]則在初始種群多樣性、局部最優(yōu)值跳出等方面對TLBO進行了改進。本文使用融合了自適應(yīng)局部最小值跳出機制與模糊函數(shù)的改進整數(shù)TLBO方法求解作動器配置優(yōu)化問題,具體步驟如下：

(1) 種群初始化。給定種群中個體數(shù)目Npop,種群中個體在可行空間中隨機采樣。

(2) 教學(xué)階段。在第t輪迭代中,首先計算種群中所有個體對應(yīng)的f(C),得到最優(yōu)個體Ckbest,t并指導(dǎo)其余個體進行更新,更新方式為

(28)

(29)

(3) 互學(xué)階段。此階段隨機選取種群中一對個體CP,t與CP,t并比較其適應(yīng)度函數(shù),令適應(yīng)度更低的個體向高適應(yīng)度個體靠攏,可表示為

(30)

(31)

式中：rand為(0,1)中的隨機數(shù);c?j,k,t為第t輪迭代后的最終得到的第k個狀態(tài)向量的第j維元素。這樣,改進后的TLBO算法可應(yīng)用于求解0-1非線性規(guī)劃問題。

3 數(shù)值仿真

考慮負載平臺上存在軸系、發(fā)電機、柴油機等旋轉(zhuǎn)機械帶來的激勵力,給定激勵力位于負載平臺質(zhì)心,沿橫向與垂向施加單位力,且激勵的相位差為90°。本文考慮兩種激勵工況,分別為：

工況一 0～300 Hz寬帶單位激勵力

工況二 50 Hz與100 Hz線譜激勵,幅值為1

(32)

(33)

輻射聲功率級=10lg(Wrad/Wref)

(34)

式中：βref為均方振速參考值,βref=10-9m/s;Wrad為輻射聲功率參考值,Wref=10-12W。本文采用9×16的網(wǎng)格對殼體均方振速及輻射聲功率進行計算。

圖2 各作動器數(shù)最優(yōu)組合對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值

(a) 八作動器最優(yōu)配置(工況一)

(b) 八作動器最優(yōu)配置(工況二)

圖4給出了工況一最優(yōu)作動器配置組合對應(yīng)的殼體均方振速級和輻射聲功率級。圖4中b=8、12、24的曲線幾乎重合,對應(yīng)的RMS也相差無幾。相較于無控狀態(tài)b=0的響應(yīng)曲線,b=8對應(yīng)的均方振速和輻射聲功率幾乎在全頻段下降20 dB。

(a) 殼體均方振速級

(b) 殼體輻射聲功率級

(a) 50 Hz,b=0,均方振速級=49.13 dB

(c) 50 Hz,b=24,均方振速級=29.13 dB

(d) 100 Hz,b=0,均方振速級=58.75 dB

(e) 100 Hz,b=8,均方振速級=39.51 dB

(f) 100 Hz,b=24,均方振速級=38.75 dB

圖5 最優(yōu)控制通道配置對應(yīng)殼體振速幅值(工況二)

此外,并非所有激勵工況都只需要8通道即可得到較好的振動控制效果,例如在負載平臺質(zhì)心軸向單位激勵力作用下,需要至少12通道的最優(yōu)通道組合才可得到20 dB的振動抑制。更復(fù)雜的激勵工況將會需要更多的通道數(shù),由于篇幅限制此處不作展開。

4 結(jié) 論

本文針對主動隔振平臺-殼體系統(tǒng)的控制問題,建立了耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型,計算得到主動控制系統(tǒng)的控制通道頻響與干擾通道頻響,以及干擾力、控制力到殼體監(jiān)測點的頻響;提出了作動器配置優(yōu)化方法,將監(jiān)測點響應(yīng)作為優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù),在給定作動器數(shù)目的約束下,通過TLBO對此0-1非線性規(guī)劃問題求解。數(shù)值仿真驗證了優(yōu)化方法的有效性,結(jié)果表明,對于本文給出的激勵工況,無需開啟所有作動器,只需在主要通道施加控制,即可有效抑制殼體振動與聲輻射。

此外,即使是相同的激勵形式,不同頻率對應(yīng)的最優(yōu)通道配置也不盡相同。在實際工程中,若能測得激勵源頻率、幅值、相位等特性,則可根據(jù)激勵源特性優(yōu)化對應(yīng)的控制通道組合,取得更好的振動抑制效果。

附錄A

截面力、力矩與殼體位移的關(guān)系

(A.1)

(A.2)

(A.3)

(A.4)

(A.5)

(A.6)