克利福德值分數階細胞神經網絡的概自守解

王瑤路,李雯雯

（河南科技職業大學公共基礎教學部,河南 周口 466000）

引言

概自守函數的概念是由Bochner[1]引入的,它是概周期函數的重要推廣.隨著這一概念的引入, 越來越多的數學家對其產生了興趣, 并將其應用到了許多領域.[2,3]在過去的二十年中, 分數階微分方程取得了巨大進展,許多科學家發現分數階微分方程可以更準確地表示一些物理系統.[4]許多關于分數微分方程的文章也已經發表,[5]有關詳細信息,可以參見Podlubny[6]的著作.許多作者還證明了分數階微分方程解的存在性和唯一性.[3,6]

Chua和Yang 發明了細胞神經網絡.[7,8]它是一個十分重要的模型, 可以描述許多領域的現象, 例如信號處理、模式識別、優化、計算機視覺和聯想記憶.神經網絡問題最重要的研究方向之一是解的存在性和穩定性.近年來, 無論是實值還是復值神經網絡模型都已經建立起來.[9]一些四元數值神經網絡也得到了廣泛的研究.[10]然而, 關于克利福德值神經網絡的研究并不多.威廉.克利福德于1878 年引入了克利福德代數.其已被廣泛應用于神經計算、量子計算、衛星導航、圖像處理、機器人技術等各個領域.[11]Pearson 首先提出了多層Clifford 神經網絡模型.[12]此后,許多科學家發現Clifford 值的多層神經網絡優于實值神經網絡.[13]目前關于Clifford 值神經網絡的動力學行為的研究, 例如周期解、概周期解和概自守解,還比較少.

綜上所述, 研究了Clifford 值Caputo 分數階細胞神經網絡的概自守解的存在性和Mittag-Leffler穩定性.根據壓縮映射原理, 推出了此類神經網絡系統概自守解的存在性和唯一性的充分條件.通過構建Lyapunov泛函來研究概自守解的Mittag-Leffler 穩定性條件.研究的結論也概括了實值、復值和四元值系統的相應結論.文章采用的主要方法是將復雜的Clifford 值神經網絡轉化為高維的實值神經網絡來進行研究.

1 準備知識

我們首先回顧一下Clifford 代數的定義和性質.[14]含有m 個生成元的集合 A 被稱為實數上的克利福德代數, 其中,m 個生成元e1,e2,…,em滿足關系式：，為簡單起見, 當一個元素是多個Clifford 生成元的乘積時, 我們將把它的下標寫在一起.例如：e2e3=e23和e3e6e7e2=e3672, 則克利福德代數A的基為：eA=eh1h2…hr,1 ≤h1

函數的ɑ階Caputo 分數階導數定義為：其中α>0, n 是一個正整數, 且滿足n-1< α ≤n, Γ α是經典的伽馬函數,其定義為：

本文研究了以下分數階細胞神經網絡:

其中1 ≤i ≤n,0< α<1; n 表示神經網絡中的單位神經元的個數; xit :? →A 對應第i個神經元在時刻t的狀態;fjxjt :? →A 表示第j個神經元在t時刻的輸出;Iit:? →A表示第i個神經元在時刻t時的外部偏差;kij:? →A 表示第j個神經元對第i個神經元在時刻間t時的作用強度;di表示當與神經網絡和外部輸入斷開連接時, 第i個神經元將其電勢重置為靜息狀態隔離的速率.可以將式(2.1)轉化為:

其中y t =y t,t0,y t0是系統(2.2) 的一個任意解, λ>0,b>0,m 0 =0, m x ≥0, 且m x 在x∈?n上滿足局部的Lipschitz 條件,Lipschitz 常數為m0.注2.1.Mittag-Leffler 穩定性意味著漸進穩定性，即//y t -x t //→0 當t →+∞.

2 概自守解的存在性和Mittag-Leffler 穩定性

根據壓縮映射原理和Lyapunov 泛函方法, 討論了系統(2.2)概自守解的存在性和Mittag-Leffler 穩定性.首先, 根據性質 eAeˉA=1 =eˉAeA, 將Clifford 值神經網絡轉化為實值神經網絡, 對于每一個A ∈Λ,可以將系統(2.2)轉化為如下形式:

則(3.4)是系統(3.2)的溫和解.接下來, 我們做一些假設: H1對于 1 ≤i ≤n,x,y ∈A,fi是連續函數,存在常數 εi>0 使得： fix -fiyA≤εi//x-y//A.H2對所有的 1 ≤i,j ≤n,kijt 和Iit 是概自守函數.

注 3.2.根據 H1,對所有的可得：

定理3.1.假設 H1和 H2成立.進一步假設H3Θ<1, 成立, 其中：,Lf=max1≤i≤nεi,γ=min1≤i≤ndi， 則系統(3.2)有唯一的概自守解.

由于Θ<1,則F是一個壓縮映射.現在根據壓縮映射原理，我們得到算子F在空間AA?,?2mn內有唯一的不動點, 即系統(3.2)具有唯一的概自守解.證明完畢.下面, 將根據引理2.1 和引理2.2 證明系統(3.2)的概自守解的Mittag-Leffler 穩定性.

定理3.2.假設條件(H1)—(H3)成立, 則系統(3.2)的唯一概自守解是Mittag-Leffler 穩定的, 當如下不等式成立時

因此，引理2.1 的所有條件都滿足.綜上, 系統(3.1)的唯一概自守解是Mittag-Leffler 穩定的.證明完畢.

3 例 子

下面給出一個分數階細胞神經網絡的例子來驗證所得的結論.

因此, 定理3.2 的所有條件都滿足了.由此可得, 系統(4.1)有唯一的概自守解，且它是Mittag-Leffler 穩定的.