無需先驗測量誤差的定位節點選擇方法

湯建龍, 解佳龍, 陳弘凱

(西安電子科技大學電子工程學院, 陜西 西安 710071)

0 引 言

無源定位技術因只接收外來的輻射信號,本身不需要發射電磁信號,具有良好的安全隱蔽性等優點,受到各國學者的廣泛關注[1]。無源定位技術已廣泛應用于無人機、分布式傳感器網絡、衛星導航、外輻射源定位等領域[2-5]。無源雷達定位技術主要利用到達時間(time of arrival, TOA)、到達時差(time difference of arrival, TDOA)、到達頻差(frequency difference of arrival, FDOA)、到達角度(angle of arrival, AOA),以及聯合其中2～3種的定位體制對目標參數進行估計[6-10]。

在多傳感器分布式定位中,對定位節點選擇可以提高能量利用率、減少信息冗余[11],如何根據當前狀態選擇最優定位節點成為眾多學者所思考的問題。通常情況下,節點選擇問題可以描述為帶有約束條件的最優化問題[12]。文獻[13]將Fisher信息的最大化問題作為待求目標函數選擇,利用窮盡搜索思想尋找最優定位節點子集。然而,隨著站個數的增加,實際系統不可能應用高復雜度的方法。在線性估計模型的框架下,文獻[14]對節點選擇問題引入一組布爾量進行選擇,同時將布爾約束條件進行凸松弛,使用內點法對問題進行求解,得到一組接近全局最優的次優解。文獻[15]將節點選擇問題使用稀疏促進思想,對布爾向量的基數作為稀疏促進懲罰項添加到代價函數中,實現了對多目標優化的節點選擇。文獻[16]研究了在TDOA與TDOA-AOA聯合的無源定位系統中最優定位節點組合方法,通過將傳統加權算法的協方差矩陣作為目標參數,通過凸優化方法進行求解。另外,貪婪算法在解決節點選擇問題得到了廣泛應用,在線性模型下,文獻[17]提出一種隨機貪婪算法的節點選擇優化問題,在每個時間節點求最小化估計均方根誤差(root mean square error, RMSE)。針對非線性估計模型,文獻[18]中將智能優化算法引入到選星過程中,利用灰狼優化算法實現了多全球衛星導航系統組合導航選星。然而上述文獻定位節點優選算法均需要獲取先驗測量誤差的方差。

文獻[19]與文獻[20]提出一種不需要先驗測量誤差方差的目標定位算法,本文將該思路引入到節點優選問題中。利用TDOA-FDOA測量信息建立定位方程后,以現有兩步加權最小二乘算法(two stage weighted least squares, TSWLS)目標定位誤差的協方差作為目標函數,利用半定規劃(semi-definite programming, SDP)算法來消去目標函數中包含的先驗測量誤差項。

其次,引入一組布爾向量對節點進行篩選,將這組布爾向量進行擴展,以選擇節點數目作為約束條件,對目標函數與約束條件利用半定松弛技術(semi-definite relaxation, SDR),將非凸約束條件凸松弛,最終利用求得的節點選擇結果對定位性能評估。仿真結果顯示,本文所提的節點選擇方法的定位精度與窮舉搜索法相近,并且算法實時性高。

1 定位場景

(1)

不失一般性地,將s1設置為參考節點,第i個定位節點與參考節點之間的真實距離差和距離差變化率可以表示為

(2)

真實情況下,測量誤差由多種因素造成,考慮測量誤差時表示為

(3)

Qα=σ2Hα=blkdiag(Qt,Qf)

式中:σ2表示測量噪聲的方差;Hα=blkdiag(R,γR)為總測量誤差的結構矩陣;R為主對角線為1,其他元素為0.5的結構矩陣。本文假設Qf與Qt間噪聲方差存在一個已知常數關系γ。

2 節點優選方法

2.1 目標函數構建

在現有節點優選的研究文獻中,目標函數有不同的選擇,包括克拉美羅下界(Cramer-Rao low bound, CRLB)最小原則[21-22]、互信息量準則[23]、估計誤差的協方差最小原則[24]等。其中估計誤差協方差最小原則作定位目標函數有定位效果好、算法誤差小等特點,本文選擇該原則為節點選擇目標函數。

文獻[25]給出了TSWLS算法估計誤差協方差,具體如下所示:

(4)

式中:

(5)

式中:On×m表示n行m列的零矩陣;0n×1表示n維零向量。

將M個定位節點中接收功率最大的節點設為參考節點[26],在視距傳播環境下,目標離觀測節點越近,觀測節點接收信號功率越大[24]。在參考節點確定后,觀察式(4)和式(5),算法定位精度僅與TSWLS算法第1步中估計誤差的協方差有關,協方差如下:

(6)

其中:

(7)

(8)

至此,確定了以式(6)為節點選擇問題的目標函數,如何從剩余M-1個定位節點中選出最優的k-1個節點成為下一步工作的核心。引入一個布爾向量來實現該目標,布爾向量[27]表示為

z=[z1,z2,…,zM-1]T,zi∈{0,1}M-1

(9)

根據測量得到的TDOA-FDOA信息,對式(9)中的布爾向量擴展為l=[zT,zT]T。定義矩陣Φz為布爾向量l的衍生矩陣,用來篩選定位節點的信息,它與布爾向量l的關系表示為

(10)

在篩選節點后,定位目標參數的協方差矩陣的逆:

(11)

利用文獻[28]中的A-optimality模型來構建目標函數,節點選擇優化問題可以表述為以下形式:

(12)

對式(12)中的布爾向量約束條件進行凸松弛,并且引入輔助矩陣Y,其中Y=J-1,將上述問題化為如下SDP問題:

(13)

式中：符號 _ 表示半正定。

2.2 不需要測量誤差的方法

構建節點選擇目標函數的關鍵是獲取節點選擇目標函數式(6)中的加權矩陣W1,加權矩陣W1中包含有待求解目標的參數信息與先驗誤差信息。一般做法是先將加權矩陣W1設置為單位陣,然后利用最小二乘法求得初始值再迭代更新加權矩陣。本文對文獻[25]中組成的TDOA-FDOA偽線性方程利用SDP算法進行目標初始位置求解,這一方法不需要先驗測量誤差。以下給出求解過程。

(14)

(15)

式中:

(16)

(17)

式中:

(18)

(19)

(20)

由于該優化方法中對布爾向量進行松弛,所得解為小數向量l=[zT,zT]T,而不是布爾向量,最直接的方法是選擇向量l的子向量z中最大k-1個元素為1,z中剩余元素為0構成布爾向量用于節點篩選。

具體的節點優選算法步驟如下。

步驟 1將M個定位節點按接收功率大小排序,設置接收功率最大的節點為參考節點,從剩余M-1個定位節點中隨機選擇k-1個定位節點,建立k節點的TDOA-FDOA偽線性方程。

步驟 4根據得到的目標估計解利用式(6)建立M個定位節點的估計誤差協方差。

步驟 5將步驟4得到的估計誤差協方差作為節點優化目標函數,將目標函數中含先驗測量誤差項的加權矩陣利用最小問題等價思想替換為不含先驗測量誤差的矩陣結構。引入一組布爾向量z=[z1,z2,…,zM-1]T,zi∈{0,1}M-1,并將該布爾向量擴展成l=[zT,zT]T,用來對誤差協方差中對應的節點進行篩選,構建無需先驗測量誤差的節點優選方程,如式(20)所示。

步驟 6經求解式(20)得到一組小數向量l,l的子向量z中最大k-1元素對應的節點確定最優節點。

步驟 7將步驟6確定的最優節點代入閉式解算法評估節點定位性能。

3 復雜度分析

表1給出了從25個定位節點選擇k個節點(k分別為4、6、8、10)情況下窮盡搜索算法與本文算法的運行時間。從表1中可以看到,本文算法運行時間與定位站選擇個數無關,并且算法運行時間短。

表1 算法運行時間比較Table 1 Algorithm run time comparison s

4 仿真實驗

本節設計了3種仿真實驗。實驗1與實驗2仿真研究了在25個定位節點個數下,選擇不同參與定位站個數,在隨測量誤差變化時,不同節點選擇算法對目標參數估計性能對比。實驗3研究了對運動目標持續觀測下,不同節點選擇結果對目標的位置以及速度的估計性能比較。

對比方法包括最近距離法、窮盡搜索法以及隨機選擇法,采用估計RMSE對各算法的定位性能進行衡量,其定義式為

(21)

4.1 實驗1

考慮從25個定位節點中選擇k=6個節點參與定位,定位節點與目標均隨機分布,其中定位節點的位置坐標服從0均值,標準差為3 000 m的高斯分布,目標位置坐標服從0均值,標準差為1 000 m的高斯分布[30];定位節點速度與目標速度均服從0均值,標準差為100 m/s的高斯分布。

圖1給出了當測量誤差為-10 dB時不同節點選擇方法選擇出的節點序號,從圖1中可以看到,窮盡搜索法選擇的定位節點是(1,4,9, 10,14,23),本文算法按照選擇權值從大到小選擇最大的k個節點也是(1,4,9,10,14,23)號節點,所提算法選擇了與窮盡搜索法相同的定位節點。

圖1 k=6時不同算法選擇的定位節點序號Fig.1 Number of positioning nodes selected by different algorithms when k=6

圖2給出了測量噪聲強度從-10 dB到10 dB變化時,不同節點選擇方法對定位時的估計性能影響。從圖2中可以看到,本文所提算法能夠達到窮盡搜索的定位精度,相比于隨機選擇法與最近距離法具有更優的定位性能。隨機選擇節點因為站的選擇未考慮具體情況,使得在相同定位算法下定位效果出現定位性能不穩定的情況。在測量誤差達到10 dB時本文算法的定位性能與窮盡搜索法定位效果相同,對目標位置誤差優于最近距離法1 m以上,對目標速度誤差優于最近距離法0.5 m/s以上。

圖2 不同測量噪聲條件下的6定位站RMSEFig.2 RMSE of six positioning stations under different measurement noise conditions

4.2 實驗2

考慮從25個定位節點中選擇k=12個節點參與定位,定位節點參數與目標參數同實驗1設置,均為隨機產生的一組定位節點與待測目標。

圖3給出了當測量誤差為-10 dB時不同節點選擇方法選擇出的節點序號,從圖3中可以看到,從25個定位節點選擇的12個節點結果下,本文算法與窮盡搜索法選擇的定位僅有1個選擇節點不同。從圖4的定位性能圖中可以看到,所提方法能夠達到窮盡搜索一樣的定位效果,并且本文所提算法不論是對目標位置或速度的估計都要優于最近距離法與隨機選擇法。從側面反應了在不同測量噪聲下,本文算法的節點選擇結果與窮盡搜索法的節點選擇結果相似。

圖3 k=12時不同算法選擇的定位節點序號Fig.3 Number of positioning nodes selected by different algorithms when k=12

圖4 不同測量噪聲條件下的12定位站RMSEFig.4 RMSE of 12 positioning stations under different measurement noise conditions

實驗1與實驗2均為在某一時刻下,對目標在不同測量誤差下的節點選擇定位性能比較,并且對于布站范圍與目標設置區域有著局限性,即目標均在定位節點范圍內,這點在實際應用中有很強的局限性。因此本文設計了實驗3場景來對本文算法做進一步驗證。

4.3 實驗3

圖5 仿真場景分布圖Fig.5 Simulation scene distribution diagram

圖6給出了觀測時間內不同定位節點算法的估計性能,從圖中可以看到隨著目標由遠到近移動,本文所提算法的定位性能十分接近窮舉法的定位性能。同時,還可以看到最近距離法在目標接近觀測站才有較好的定位性能,隨機法的定位性能表現不穩定,通過該仿真實驗進一步說明節點選擇的重要性以及本文所提方法的有效性。

圖6 不同觀測時間內節點選擇算法估計性能對比Fig.6 Comparison of estimation performance of station selection algorithms at different observation times

5 結 論

本文在現有節點選擇研究的基礎上,提出一種新的不需要先驗測量誤差的時頻差節點選擇方法。與現有方法相比,所提方法在不需要先驗測量誤差量,并且在定位性能上非常接近窮盡搜索算法。同時,由于考慮了目標速度因素,在定位節點選擇上對運動目標能夠實現更好的定位效果。相比于窮盡搜索算法,所提方法復雜度低、實時性好。仿真驗證了在不同測試環境下所提方法的有效性。