運載火箭自適應增廣控制參數設計及穩定性裕度分析

張 亮, 劉 思, 趙康偉, 胡存明

(1. 中山大學航空航天學院, 廣東 深圳 518107; 2. 上海航天控制技術研究所, 上海 201100)

0 引 言

目前運載火箭在飛行過程中存在的不確定因素較多,例如火箭的飛行高度、飛行速度、大氣條件的變化以及火箭內部結構干擾等因素,導致箭體姿態動力學模型參數存在很大程度的時變性和不確定性。上述這些不確定因素將使得姿態控制系統的穩定裕度發生較大改變。針對運載火箭主動段飛行過程中存在的剛-彈-晃-發動機諧振等強耦合、參數不確定性和復雜干擾條件,如何設計先進的自適應控制方法,提高系統的魯棒性,是一項具有挑戰性的研究課題。而基于經典頻域理論離線設計模式的比例-積分-微分(proportional-integral-derivative,PID)控制系統存在保守性較強的缺點。近年來,針對這一問題發展了一種新的控制方法——自適應增廣控制器(adaptive augmenting control,AAC),該方法可與傳統PID控制律結合構成新的火箭控制系統,在無干擾情況下不影響傳統PID控制器的工作。而當控制系統面臨較大彈性振動、液體晃動、結構誤差和風干擾等情況時,AAC可使用傳感器數據在線自適應調整增益參數,進而提高系統的控制性能與穩定性[1]。

在AAC發展歷程中,最早是Mark對運載火箭的自適應控制技術進行了初步研究,隨后David提出早期的前向增益自適應控制,為AAC技術的結構形成提供了幫助,而Hanson等[2]則對AAC的技術成熟邁出了關鍵一步。Brian在戰神-I火箭的PID控制基礎上加入了混合自適應補償控制器,形成混合增廣自適應PID控制器[3]。馬歇爾太空中心飛行力學與分析科為提高運載火箭的魯棒性和性能,在星座計劃中基于經典自適應控制算法,發展了AAC以適應不可預知的環境和多種飛行動力學特性。目前該算法逐漸成熟并且通過了一系列的實際飛行測試,例如SLS火箭、F/A-18、X-15等[4-8]。

隨后,AAC被廣泛應用于飛行器控制系統設計中。例如Luke等[9]針對四旋翼飛行器,開展了AAC的控制器設計和應用研究,證明了良好的自適應性。Diego等[10]針對歐洲的Vega固體運載火箭,提出AAC+H∞/線性變參數系統(linear parameter varying system, LPV)[11]的魯棒控制器,并成功通過了火箭的控制系統測試。美國航空航天局(National Aeronautics and Space Administration, NASA)蘭利研究中心動力學和控制實驗室的Jing等[12]則在車-桿系統中成功應用了AAC控制算法。Brinda等[13]針對一種典型的兩級運載火箭單獨在俯仰通道考慮了彈性振動、液體晃動、發動機振動和執行器作動等進行AAC設計,并采用了切比雪夫陷波器進行高通濾波器設計(截止頻率為剛體頻率的2倍),同時采用了巴特沃斯型低通濾波器(截止頻率接近剛體頻率)。Tannen等[14]介紹了一個魯棒的自適應增廣控制方案,通過實時環路自適應方式增強傳統的控制器,當跟蹤誤差較大時,標稱設計的閉環增益會增大,而當激發的彈性振動和液體晃動信號被檢測到時,可以降低閉環增益。此外,類似的研究還有文獻[15-19],由此可知,AAC控制方法具有較為廣闊的應用場景。

目前國內針對自適應增廣控制技術,主要研究了基于增廣變量法的方式進行自適應控制器設計,其典型代表主要有陳志勇[20]、陳力[21]、洪昭斌[22]等。而類似國外AAC自適應調節增益的控制結構,國內則有高軍禮等[23]基于模型參考自適應控制通過李雅普諾夫函數設計了可調增益控制律。肖冰等[24]針對撓性衛星姿態跟蹤問題提出了自適應L2增益控制,并采用李雅普諾夫函數進行了穩定性證明。張建明等[25]提出PID自適應調整增益的神經元非模型控制方案。韋常柱等[26]則借鑒AAC的思路開展運載火箭控制系統設計,并采用粒子群方法開展了陷波器參數設計。Zhang等[27]提出自適應增廣容錯控制方法,將AAC與自適應振動頻率辨識和容錯控制結合起來提高了姿控系統的魯棒性和容錯性。此外還有崔乃剛[28]、何飛毅[29]、徐世昊[30]、張晉[31]以及祝大利[32]等也開展了大量的研究,取得了較好的成果。

然而,上述研究中大多數是基于傳統的AAC控制結構開展控制器設計,控制參數需要反復試湊,尚無合理有效的設計準則。Domenico等[33]針對此問題,基于遺傳算法開展了AAC控制參數的優化設計,但該方法依賴于合適的性能指標以及優化參數數量選取等,可能存在算法不收斂的問題。因此,有必要給出一種簡潔且具有實際工程指導價值的AAC控制參數調節方法和準則。

此外,對AAC控制器開展穩定性分析也是一項極為重要的工作。為此,NASA專門組織了大量研究人員開展了AAC控制器的穩定性評估工作[34](歷時兩年時間),主要研究了非線性的李雅普諾夫穩定性方法、經典的靜態AAC增益變化穩定性分析、基于圓判據的廣義增益裕度分析方法(generalized gain margins,GGMs)、時域穩定裕度方法(time domain stability margins,TDSMs)、增強型蒙特卡羅打靶仿真分析方法、極限拉偏條件評估方法以及基于描述函數的分析方法等。其中較為重要的工作是Mark等[35]基于李雅譜諾夫方法證明了AAC中除了彈性振動項的其他兩項自適應律的穩定性。而Angelov等[36]基于描述函數法給出了等效的開環增益值,同時也給出了增益參數的設計依據,但由于采用了簡化模型,其高低通濾波器參數設計結果與實際并不一致。因此,這些研究結果表明,尚缺少比較完整、嚴格的理論證明結果,需要進一步深入研究。

綜上所述,本文針對AAC實際應用過程中具有重要研究價值的參數設計方法準則和穩定性分析方法開展系統的研究,給出一種較為合理可行的分析方法,以指導火箭的控制系統設計,從而提高火箭的控制性能。

1 火箭的動力學及比例-微分控制器設計

針對常見的運載火箭動力學模型,以俯仰通道為例,可基于文獻[26]推導如下所示的小擾動線性化方程:

(1)

(2)

式中:W為風速;Wi(XXT)為振型斜率;A是風向角;ST為速率陀螺;XST是速率陀螺的安裝位置。慣組WJL(s)、速率陀螺WST(s)和伺服機構的傳遞函數WSF(s)分別為

(3)

式中:ωJL,ωST1,ωST2,ωSF1,ωSF2,ωSF3,ωSF4,ωSF5,ωSF6是慣組、速率陀螺和伺服機構傳遞函數的頻率;ξJL,ξST1,ξST2,ξSF3,ξSF4,ξSF5,ξSF6是阻尼系數。

假設比例-微分控制系統中的靜態增益為a0,動態增益系數為a1。利用克萊姆法則對式(1)和式(2)進行拉普拉斯變換,然后計算開環傳遞函數有:

(4)

圖1 第50 s特征點的開環傳遞函數Nichols圖Fig.1 Nichols of open loop transfer function at 50 s

(5)

則開環傳遞函數校正后的曲線如圖1紅線所示。

由圖1可知,經過校正網絡后,系統的幅值曲線在高頻段均被壓制在0 dB以下,保證了高階的幅值穩定特性,且幅值裕度為18.3 dB,截止頻率為3.42 rad/s,相位裕度44°,能夠滿足實際控制需求。

2 AAC參數設計

傳統的AAC使用的是前向增益自適應控制系統,主要包含3部分[29]:自適應律、參考模型和譜阻尼器。即有如下形式:

(6)

圖2 ACC框圖Fig.2 ACC block diagram

AAC的設計過程主要是如何確定參考模型參數、高/低通濾波器參數、調節參數k0,kmax,a,α,β。下面給出具體的設計方法和準則。

(1) 上下限k0和kmax的設計

在傳統飛行器控制系統設計中,一般要求幅值裕度Gmin>6 dB,則比例-微分控制系統的幅值裕度的可變化范圍為±6 dB,根據常值開環系數的bode圖繪制依據,可反求得增益的上下限為

20lg(kT,min)=-Gmin
20lg(kT,max)=Gmin

(7)

即可得k0=1-kT,min,kmax=kT,max-k0。另外一種方法是根據開環系統Nichols圖[33],獲得空氣動力的幅值裕度點GMaero,剛體的幅值裕度點GMrigid,則可利用等式20lg(k0)=-GMaero,求得:

(8)

(2) 參考模型參數設計

參考模型的設計一般是希望獲得理想的剛體控制信號,則可建立與靜態增益和動態增益相關的參考模型,即有:

(9)

(3) 高低通濾波器參數設計

傳統的火箭控制系統設計中,大多數只用到低通濾波器,而為了獲取火箭飛行中的彈性振動信息,可設計高通濾波器在線處理。具體而言,就是通過采集發動機擺角指令,使其通過高通濾波器去除低頻信號(一般是剛體或晃動的耦合信號),而剩下的信號主要是彈性信號加噪聲。為了評估剩余信號的幅值大小,可對信號進行取正處理(例如平方或絕對值)。針對高通+取正處理之后剩余信號依然抖振較為嚴重的問題,此時再通過低通濾波器可將信號進行平滑處理,從而得到合適的ys信號以供增益的自適應調整。

高低通濾波器參數設計應依據系統截止頻率,一階或二階彈性振動頻率等參數,選擇合適的頻率值和阻尼比,使得高通濾波器濾除剛體信號。一般可設計二階的高/低通濾波器。

(10)

(11)

(4) 調節參數a,α和β的設計方法

AAC核心是自適應律,其包含了多個控制參數,但其參數調整是一個難點,為此本文提出了解析法的設計思路。首先,確定自適應律中誤差er的最大值ermax和彈性振動影響項的最大值ysmax。一般可有兩種估算方法:工程經驗法和直接數值打靶仿真法。比如在前者工程設計中一般要求ermax≤3°和ysmax≤0.000 3。而在打靶仿真中則將火箭飛行過程中的內外干擾全部加上,然后只需要高通濾波器、低通濾波器和參考模型介入,通過觀察er和ys的輸出曲線,獲得最大值。最后,根據AAC控制律的形式(如式6所示),從開環增益kT的時域響應中得到如下解析表達式:

(12)

式中:Δter為誤差響應時間;Δtys為彈性振動位移響應時間,分別表示了開環增益kT從1到最大值kTmax和最小值kTmin的時間。通過選擇期望的增益響應時間Δter和Δtys,最后反求增益a和α,表達式為

(13)

而β一項主要保證開環增益趨近于1,其值越大表明其收斂時間越快,通常其取值范圍為β∈[0.001,0.3]。另外,也可將式(6)進行簡化處理后拉普拉斯變換[36]可得

(14)

基于文獻[36]中描述函數的設計思路,將式(11)中uG采用誤差er代替,代入高低通濾波器后可得:

(15)

最后為檢驗AAC中設計參數的有效性,特別是a、α和β的值,可采用標稱狀態下的火箭參數開展全程的六自由度仿真驗證,基于設計的比例-微分+校正網絡+AAC,最終保證火箭主動段飛行過程中的開環增益kT趨近于1。

3 ACC穩定裕度分析

本文將結合正弦輸入信號法開展AAC的穩定裕度分析,推導開環增益kT的時域響應結果。首先,假設誤差er滿足正弦輸入條件[36]er=γsin(ωt),則根據式(11)有:

yHP(t)=γ|GHP(jω)|sin(ωt+φHP(jω))

(16)

式中:φHP(jω)為高通濾波器GHP(s)的相位。此外,利用三角函數式(sinω)2=0.5(1-cos(2ω)),同理可得ys:

(17)

(18)

進一步可得:

kT(t)=R+A1γ2cos(2ωt+φβ(2ω))+
A2γ2cos(2ωt+2φHP(ω)+φLP(2ω)+φβ(2ω))

(19)

式中:φβ(2ω)為Gβ(s)相位,頻率為2倍Gβ(s)中心頻率;A2=0.5α|GHP(jω)|2|GLP(2jω)||Gβ(2jω)|;R=1+(γ2/2β)(a-α|GHP(jω)|2|GLP(0)|);A1=-0.5a|Gβ(2jω)|。此外,再將開環增益進行處理為y=kTer,則代入式(19)可得:

y(t)=Rγsin(ωt)+A1γ3sin(ωt)cos(2ωt+φβ(2ω))+
A2γ3sin(ωt)cos(2ωt+2φHP(ω)+φLP(2ω)+φβ(2ω))

(20)

再次根據三角不等式:

(21)

可得:

(22)

由此可知,式(22)的第1、2行為信號y(t)的基波信號,而第3、4行為三階諧波信號,一般可忽略不計,因此整理可得:

(23)

式中:φ1=φβ(2ω),φ2=2φHP(ω)+φLP(2ω)+φβ(2ω)。將-A1·sin(ωt+φ1)-A2sin(ωt+φ2)進行整理為ARsin(ωt+φr),則有:

y1(t)=Rγsin(ωt)+(γ3/2)ARsin(ωt+φr)

(24)

式中:

(25)

再次將式(24)進行整合,最終有

y1(t)=Ayγsin(ωt+φy)

(26)

(27)

4 仿真校驗

(1) 無干擾仿真

當外界無干擾,火箭參數無偏差時,開環增益響應曲線如圖3所示。由圖3可知,本文所設計的AAC控制參數可以保證在無外界干擾時只需要比例-微分控制器即可保證穩定,且開環增益將穩定在1附近,滿足AAC控制參數設計準則。

圖3 無干擾時開環增益Fig.3 Open-loop gain without disturbances

(2) 大頻率偏差干擾仿真

當考慮到一階彈性振動頻率是初值的0.35倍時,由于振動頻率與晃動頻率和剛體頻率接近,此時將導致系統出現彈性不穩定現象,如圖4所示。

圖4 大頻率偏差的仿真結果Fig.4 Simulation result with large frequency error

由圖4可知,當加入AAC控制律之后,系統不穩定發散的趨勢很快就衰減,并趨于穩定,且開環增益在快速下降至0.6左右,從而拉開了頻率間隔,保證了彈性穩定,但同時也將導致姿態誤差變大。

(3) 大干擾條件

當動力系數b2發生較大偏差,真實值為理論值的3倍時,即遭遇了大干擾飛行環境,則將導致姿態誤差變大,通過采用AAC控制律,得到如圖5所示的仿真結果。

圖5 大干擾條件的仿真結果Fig.5 Simulation result with large disturbances

由圖5可知,當突發環境大干擾時,開環增益將逐漸增大,從而降低火箭飛行過程中的姿態誤差,同時也盡可能的保證了彈性振動和液體晃動的穩定,證明了AAC可以適應突發大干擾的飛行環境。

(4) 轉動慣量大不確定性

假設火箭的總體參數存在不確定性,如轉動慣量或者發動機推力的不確定,將導致動力系數b3和c3發生變化,假設火箭轉動慣量偏差為-45%,則有如圖6所示的仿真結果。

圖6 轉動慣量不確定的仿真結果Fig.6 Simulation result with inertia uncertainty

由圖6可知,當轉動慣量不確定性較大時,將導致姿態發散,進而使得飛行任務失敗。而當采用AAC后,可以通過降低開環增益從而保證系統的穩定性,證明了AAC具有良好的魯棒性能。

最后,為了評估AAC的穩定裕度,采用第3節中介紹的裕度分析方法,假設γ=0.5/57.3,其他參數同前述無干擾的仿真條件設計一致,取第50 s特征點的參數,則有圖7所示仿真結果。

圖7 AAC的響應曲線Fig.7 Response curve of AAC

AAC疊加火箭的開環系統傳遞函數之后的bode圖如圖8所示。

圖8 AAC+比例-微分系統的bode圖Fig.8 Bode diagram of AAC+proportional-derivative

由以上仿真結果可知,單獨的AAC幅值響應在1 dB左右,疊加進入控制系統中后,幅值裕度變為17.08 dB,與標稱狀態(18.3 dB)變化不大,從而結合圖3的結果表明了所設計的AAC參數在時域和頻域上都是穩定的,且不影響基本比例-微分控制器的使用。

當單獨提高參數a=180,α=8 160,γ=2/57.3或β=0.1時,可得到結果如圖9所示。

圖9 不同參數變化的AAC幅值響應Fig.9 Amplitude response of AAC with different parameters

由圖9可知,通過增加參數a或γ將降低系統的幅值裕度,而這兩項參數均是提高開環增益的關鍵因素。因此,開環增益增大之后,系統的穩態誤差將降低,但同時也將導致穩定裕度下降,這與實際比例-微分控制系統中提高靜態增益后的幅值裕度結果趨勢是一致的。同時,當增加α或β值之后,則會提高系統的穩定裕度,這與自適應律式(6)中的結果是一致的,即β提高漸進穩定性,而α將降低開環增益kT從而提高幅值裕度。因此,該穩定性評估方法能夠反映實際調節參數變化規律引起的系統穩定性變化,從而證明了該方法是實際可行的。

5 結 論

本文針對運載火箭應用AAC過程中亟待解決的參數設計準則和穩定性分析方法開展了系統的研究,給出了一種較為合理可行的分析方法。針對某型火箭的總體參數,基于給出的準則設計AAC控制參數能夠適應大頻率偏差、突發大干擾和火箭慣量參數的不確定性。本文提出的穩定性評估方法能夠證明在無干擾條件下AAC的時域響應趨近于1,而頻域中的幅值裕度響應也將在1 dB左右,表明了AAC在無干擾時不影響正常比例-微分控制器的使用。同時,仿真結果也表明了a,γ,α和β參數的裕度變化與實際參數變化響應一致。因此,研究結果表明了本文所設計的方法能夠指導自適應增廣控制在實際工程中的應用。