基于改進型預估FOPID 的選擇性激光燒結預熱溫度控制研究＊

崔 昊 郭艷玲 肖亞寧 蔣成雷 李 健 王揚威

（東北林業大學機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150040）

選擇性激光燒結技術是一種得到廣泛應用的增材制造技術[1]。在該工藝加工過程中，存在一個名為預熱的關鍵環節。預熱過程對成型件的加工質量以及力學性能有著明顯的影響。目前多采用傳統比例-積分-微分（PID）控制器來進行預熱溫度控制，由于被控對象具有純滯后特性，控制系統時常會出現響應速度慢、超調量過大等現象，無法將工作面溫度加熱到目標溫度并維持恒定，進而影響成型效果[2]。因此，提出一種更加有效的控溫策略是有必要的。由于傳統整數階控制器對某些系統已達不到控制要求，因此人們越來越重視分數階控制領域[3]。分數階PID 控制器（FOPID）由Podlubny I[4]提出，為分數階控制理論與PID 控制器的結合。FOPID 相對于整數階PID 控制器多了積分和微分階次，從而在控制精度和范圍理論上較后者都會有很大的改善，并且FOPID 控制器具有更好的靈活性、適應性和魯棒性[5]。

元啟發式算法源于自然界中的隨機現象[6]。阿奎拉優化器（AO）便是其中的一種范式。它由Abualigah L 等[7]于2021 年提出，模仿了阿奎拉的狩獵行為，是一種新型的智能優化算法，盡管標準AO 算法已經具有良好的性能表現，但由于優化問題的復雜度日益增加，其也時常會暴露出探索和開發不平衡，陷入局部最優等缺陷。為此，一些人嘗試通過在AO 當中引入改進策略來獲得增強型算法。例如，Yu H J 等[8]開發出一種名為mAO 的增強型算法，并通過測試驗證了其具有一定優越性和有效性；Zhao J 等[9]刪除了AO 的開發階段，提出了一種名為IAO 的簡化AO 算法。上述文獻都對AO 的缺陷進行了不同程度的改進。目前，一些元啟發算法已經應用在分數階控制器的參數整定問題中。黃麗蓮等[10]開發了一種自適應差分進化算法并將其應用于分數階PID 的參數整定問題中；陳炫儒等[5]開發了一種改進麻雀搜索算法，并將其應用于分數階PID 的參數整定，獲得了較為優越的控制效果。上述應用都取得了一定成果。

本文在經典FOPID 控制器當中引入了Smith 預估器以消除純時滯環節產生的震蕩，提高被控系統的魯棒性；為克服AO 在探索和開發階段的不平衡以及易于陷入局部最優的缺陷，引入了白冠雞優化算法中的領導者更新機制，自適應切換系數以及折射反向學習策略，提出了一種名為EAOCBO 的增強型混合阿奎拉優化器，并將其用于對Smith 預估FOPID 控制器的模型參數進行最優設計。采用IEEE CEC2017 基準函數對EAOCBO 進行了性能對比測試，證明了其具有更加優秀的性能。通過仿真軟件分析了所提出控制器在單位階躍信號下的動態響應特性，并將其應用于燒結樣機預熱溫度控制當中，開展成型效果試驗。結果證明所提控制方法具有出色的響應速度和控制精度，并且在實際應用中也能精確地控制溫度，改善預熱溫度場的均勻性，進而提高成型件的尺寸精度。

1 改進阿奎拉優化器

1.1 阿奎拉優化器

AO 是一種新穎的仿生智能算法[7]，它模仿了阿奎拉鳥的智能狩獵策略包括：①垂直俯沖的高空翱翔；②短滑翔的等高線飛行；③緩慢下降的低空飛行；④降落并近距離攻擊。前兩個策略為探索階段，后兩個為開發階段。算法每個階段的執行條件為：如果t≤(2/3)T，則執行探索步驟；否則，將執行開發步驟，其中t為當前迭代次數，T為最大迭代次數。在優化迭代前，需對所有個體位置進行初始化：

式中：Xi為種群中第i個搜索代理的位置；rand為(0,1)的隨機數；UB為搜索空間的上邊界；LB為搜索空間的下邊界；N為種群大小。

在第一種捕食策略中，阿奎拉的位置更新公式為

式中：Xi(t+1)為第i只個體在第t+1次迭代的侯選位置；Xbest(t)為目前獲得的最優解；r1為(0,1)的隨機數；Xm(t)為種群的平均位置，計算公式如下：

第二種捕食策略中，阿奎拉的位置更新公式表示為

式中：Xr(t)為隨機選取的一個阿奎拉個體的位置；D為問題維度；r2為(0,1) 的隨機數；LF(·)為Levy飛行分布函數。

在第三種捕食策略中，阿奎拉的位置更新公式為

式中： α和 δ均為開發調整系數，等于0.1；r3和r4為(0,1)的隨機數。

在第四種捕食策略中，阿奎拉的位置更新公式為

式中：QF為用于平衡搜索策略的質量函數；G1為運動參數，是(-1, 1)的隨機數；G2為阿奎拉的飛行斜率，其大小是(0, 2)的線性遞減；r5、r6、r7、r8都是(0, 1)的隨機數。

1.2 領導者機制

白冠雞優化算法（CBO）是Naruei I 等[11]在2021 年提出的一種無梯度優化方法。在CBO 中，跟隨者向領導者靠近的同時，領導者也會不斷靠近最優區域，有時領導者必須離開當前最佳位置，才能找到更好的位置，從而提高算法跳出局部最優解的概率。領導者的位置更新公式如下：

式中：gbest為種群內最優個體的位置；R1和R3為[0,1]區間的隨機數；R2為[-1,1]的隨機數；B的計算公式如下：

1.3 自適應切換系數

在本文中，采用自適應切換系數E來替代原始AO 算法中的探索—開發階段執行條件（判斷當前迭代次數和最大迭代次數是否滿足t≤(2/3)T），更好地平衡其探索和開發能力[12]，其定義如下：

式中：r為(0,1)的隨機數；當E>1時，算法進行探索階段，當E≤1時則執行開發階段。為研究算法不同階段的轉換概率，令θ=2(1-t/T)，則E>1時概率的計算公式如下：

由式（11）可知，在迭代過程當中，算法進行探索與開發階段的概率大致相同，有利于平衡兩者之間的切換，進而增強算法的搜索性能。

1.4 折射反向學習

折射反向學習[13]（ROBL）是在反向學習的基礎上引進光線折射原理來生成反向候選解，其數學表達式如下：

式中：Xi,j為當前第i個個體的位置在第j維上的分量；為Xi,j對應的反向解；aj和bj分別為搜索空間中第j維的下限值和上限值；k為比例因子；n為折射率。

1.5 EAOCBO 優化算法

AO 算法存在迭代后期種群多樣性低，局部探索能力不足，容易陷入局部最優等缺點。為了全方面提高AO 算法的優化性能，本文嘗試將CBO 的領導者機制，自適應切換因子以及ROBL 策略融入到AO 當中。

首先，利用CBO 的領導者機制更新AO 初始化種群位置，當種群位置利用領導者機制更新公式計算完后，評估新一代個體位置與原位置的適應度值，保留取優值參與改進算法之后的迭代計算。新的位置更新公式如下：

其次，通過折射反向學習在每次迭代前對種群位置進行更新，同時評估當前位置解和反向解以提高獲得全局最優解的概率，避免陷入局部最優，可以有效增強算法的開發階段。最后，本文采用自適應切換系數E來替代原始AO 中的執行條件，更好地平衡算法的探索和開發能力，增強算法的性能。EAOCBO 的具體實現步驟如下。

步驟1：初始化算法各參數，利用公式（1）隨機初始化種群位置。

步驟2：利用公式（13）更新當前種群位置，計算并比較適應度。

步驟3：若切換因子E＞1 且rand≤0.5，則通過公式（2）更新當前種群位置，計算并比較適應度。

步驟4：若切換因子E＞1 且rand＞0.5，則通過公式（4）更新當前種群位置，計算并比較適應度。

步驟5：若切換因子E≤1 且rand≤0.5，則通過公式（5）更新當前種群位置，計算并比較適應度。

步驟6：若切換因子E≤1 且rand＞0.5，則通過公式（6）更新當前種群位置，計算并比較適應度。

步驟7：通過公式（12）計算反向解Xi，評估其適應度值并與對應當前解進行比較。

步驟8：判斷迭代次數t是否達到最大迭代次數，若是，則輸出全局最優解，否則返回步驟3 循環執行。

2 預估FOPID 控制器設計

FOPID 控制器為分數階控制理論與PID 控制器的結合，其一般格式簡記為PIλDμ[14]。與傳統PID控制器相比，其控制的精度和范圍理論上都較整數階PID 控制器來說會有很大的改善。分數階PID 控制器的數學表達式如下：

式中：Kp為比例增益調節系數；Ki為積分時間系數；Kd為微分時間系數； λ為積分階次； μ為微分階次；r(t)為t時刻系統的輸入量；y(t)為系統實際輸出量；e(t)為系統偏差量；u(t)為控制器的輸出量。

在工業過程控制系統中，被控對象難免會存在滯后現象。具有純滯后環節的控制系統，當外界擾動發生后會嚴重損害控制系統的穩定性，甚至導致系統無法工作。Smith 預估器由美國加利福尼亞大學Smith O J M[15]提出，該方法的控制思想是：針對具有滯后環節的被控對象，評估其動態特性并構建補償環節，將滯后環節的被控量超前反饋到調節器，使得調節器提前動作以達到減小系統超調量的目的。Smith 預估器的原理如圖1 所示。

圖1 Smith 預估器的結構框圖

FOPID 控制器具有5 個可調參數。選擇合理的參數組合，可以使控制器獲得更理想的控制效果，有效提高系統性能，但控制器設計的復雜性也相應增加。本文利用EAOCBO 來實現對FOPID 控制器的5 個關鍵參數進行優化自整定，選擇誤差積分準則（ITAE）作為控制器的性能評價指標，其計算公式如下：

式中：t為時間。利用EAOCBO 進行Smith 預估FOPID 參數整定過程可以簡化為一個優化問題。FOPID 的參數組合是EAOCBO 求解的位置向量，而ITAE 是適應度函數。算法的求解過程則為整定{Kp,Ki,Kd,λ,μ}這5 個參數使得適應度函數值達到最低，即EAOCBO 在五維空間Xi={Xi1,Xi2,Xi3,Xi4,Xi5}中尋找最優解。EAOCBO-Smith 預估FOPID 控制器的結構如圖2 所示。

圖2 EAOCBO-Smith 預估FOPID 控制器的結構框圖

3 仿真案例分析

在本節中，對提出的改進算法以及控制器的性能進行了評估。所有試驗均在Windows 10 操作系統上進行，計算機硬件配置為Intel(R) Core(TM) i5-7300HQ CPU@2.50 GHz 和8GB RAM，軟件環境為Matlab 2020b。

3.1 基于IEEE CEC2017 基準函數的性能測試

為驗證EAOCBO 在解決復雜數值優化問題層面的有效性，本文使用IEEE CEC2017 測試集中的9 個代表性基準函數[16]來測試EAOCBO 的性能。選用了5 種先進的算法進行比較，分別是AO、正余弦算法（SCA）[17]、算術優化算法（AOA）[18]、鼠群優化器（RSO）[19]和黃金正弦優化算法（Gold-SA）[20]。算法的所有參數設置均與原文保持一致。本文采用平均適配度（Mean）和標準偏差（Std）評價指標來評價算法性能。各算法種群大小設置為50，迭代次數為500。所有算法都獨立運行了30 次，結果見表1。EAOCBO 可以獲得更好的平均適應度值，同時具有更好的標準差，充分說明本文提出的EAOCBO 具有更加優秀求解進度、求解速度和穩定性。測試函數收斂曲線如圖3 所示，可以看出，EAOCBO 具有十分明顯的收斂優勢。在所有函數當中，EAOCBO 都可以在早期搜索階段保持著很高的收斂速度，這得益于引入的CBO 的領導者機制可以充分利用解空間中的信息，提高了EAOCBO 的種群多樣性和全局探索能力。而在后期迭代過程中，EAOCBO 同樣可以保持較好的收斂趨勢，這得益于折射反向學習的引入，提高了算法跳出局部最優的可能性。而自適應切換系數為算法提供了更好的探索和開發之間的平衡關系。上述結果充分驗證了EAOCBO 的有效性和優越性。

圖3 不同對比算法在IEEE CEC2017 基準測試函數上的收斂圖

3.2 控制器性能測試

為驗證本文所設計的EAOCBO-Smith 預估FOPID 控制器的有效性，本文選取了一個經典被控系統進行驗證并與已有控制器進行了對比分析。以典型二階被控系統為例，傳遞函數為

采用幾種已有文獻中的控制器進行對比，黃麗蓮等[10]采用改進差分進化算法優化的PID（C1）和FOPID（C2）、陳超波等[21]提出ABC-FOPID控制器（C3）、陳炫儒等[5]提出ISSA-FOPID（C4）以及本文設計的控制器用C5表示。原始文獻中4 種算法在解決式（17）對應的傳遞函數時，參數設置如下：

在EAOCBO 算法中設置5 個參數搜索范圍取為Kp,Ki,Kd∈[0,200] ，λ,μ∈[0,2]。由于本例中傳遞函數中不存在滯后環節，因此控制器中延時時間設置為0，通過算法整定后獲得的最佳參數組合為{192.7168,9.2333,44.9397,0.9985,0.9087}。仿真得到的響應曲線如圖4 所示，性能指標見表2。從響應曲線以及表中數據可以看出，本文設計的控制器相比于C1，其上升時間，峰值時間以及調節時間都明顯縮小，穩態誤差減少了0.001，超調量略差于C1；相比于C2，雖然在上升時間，峰值時間以及超調量方面略差，但調節時間縮短了0.384 s，穩態誤差減少了0.004；相比于C3，其上升時間，峰值時間以及調節時間都明顯縮短，超調量縮短了8.22%，穩態誤差減少了0.008；相比于C4，雖然在上升時間，峰值時間方面略差，但調節時間減少了0.068，超調量減少了5.4%，穩態誤差減少了0.002。這說明提出的控制器可以獲得更加穩定的結果，綜上所述，提出的EAOCBO-Smith 預估分數階PID 控制器具有更好具有優秀的快速性、穩定性、準確性。

表2 不同控制器的性能參數指標

圖4 不同控制器的響應曲線對比圖

4 應用環境

本節以哈爾濱自由智造科技開發有限公司生產的CX-B200 激光燒結成型機管式預熱裝置為研究對象，CX-B200 激光燒結成型機如圖5 所示，管式預熱裝置如圖6 所示。在該裝置中，4 根完全相同的加熱管呈中心對稱分布安裝在粉床正上方以對燒結粉末進行預熱。在控制過程中，由于測量元件的時間滯后以及電熱絲熱慣性，使得控制信號與溫度測量值之間存在著一個時滯環節e-τs。在實際應用中，當輸入電壓為3 V 時，溫度穩定在60 ℃，因此放大系數K=60/3=20 ℃/V。輸入信號經控制器運算輸出整個過程耗時約1 s，因此延時時間τ=1。本文仿真對象的具體數學模型如下：

圖5 CX-B200 燒結設備

圖6 管式預熱裝置

通常，對于不同的加工材料會設定不同的預熱溫度，為探究控制器在變溫度條件下的響應輸出，設定初始預熱溫度T=80 ℃，在時間t=15 s 時，溫度下降至T=50 ℃；在時間t=30 s 時，溫度上升至T=90 ℃，總仿真時間為50 s。在Matlab 環境中搭建SLS 鋪粉預熱裝置溫度控制系統的Simulink 模型并進行仿真，仿真曲線如圖7 所示，可以看出，當溫度產生變化時，本文設計的控制器可以快速響應，在短時間內達到穩定狀態，說明提出的控制器能夠很好地控制溫度，能夠適應不同打印材料切換所面臨的復雜變溫情況，而且可以快速恢復穩定狀態，有助于提升打印效率。

圖7 變溫條件下控制器的響應曲線

然后，對所提出控制器的實際控制效果進行驗證。由于加熱元件的布置是對稱的，因此可知粉床在受熱的過程中溫度的分布也是對稱的。為精確地了解粉床表面的溫度分布，試驗中選擇粉床的1/4的區域作為主要研究對象，如圖8 所示，并增加了12 個特殊點以使區域內部溫度分布的情況更加的細化。

圖8 溫度采樣點的位置分布圖

利用聚醚砜（PES）粉末材料進行試驗，設定預熱溫度為85 ℃，環境初始溫度為25 ℃，本文選擇型號為STM32F407VET6 的芯片作為溫度控制系統的主控芯片，溫度測量采用SA20BH 非接觸式紅外溫度傳感器，將提出的EAOCBO-Smith 預估FOPID 控制器以及當前采用的傳統PID 控制器移植到STM32 開發板上，分別使用兩者對溫度進行控制。為減小外部環境因素引起的突變性擾動導致采集的信號產生尖銳脈沖干擾，采用中值濾波處理原始溫度數據。中位濾波是一種典型的非線性濾波器，它運算簡單，在濾除脈沖噪聲的同時能夠很好地保護信號的細節特征。主要操作思路為每個采樣點連續采樣30 次，各采樣點的30 個溫度數據經過中值濾波處理后獲得的數據為真實采樣值。在溫度達到穩定狀態時，中值濾波處理后各采樣點的溫度結果如圖9 所示。由圖9 可知，當采用本文設計的控制器進行溫度控制時，粉床不同區域溫度梯度變化較小，相較于PID 控制算法更平穩。例如，采樣點4、7 兩處采用PID 控制算法時，溫度差約4.8 ℃；而使用本文設計的控制器時，溫差約為1.2 ℃，并且本文設計的控制器總體能獲得與設定值偏差更小的溫度值。這充分說明了本文設計的控制器具有優秀的控制效果。此外，為驗證所設計的預熱溫度控制系統是否能夠提高成型精度，本文還進行了燒結成型試驗，打印模型如圖10 所示。針對傳統PID 控制器和本文設計的FOPID 控制器在相同參數設置下共進行6 次燒結試驗，每次同時打印3 個模型，燒結過程如圖11 所示，部分成型件實物圖如圖12所示，使用游標卡尺進行測量，如圖13 所示，各成型件在X、Y、Z方向上的收縮率記錄見表3。從表3 中數據可以看出，相較于傳統PID 控制器，本文設計的控制器可以更有效地控制溫度，進而使得成型件收縮率明顯減小，PID 控制器的 εx、 εy、εz分別為1.318%、7.55%、6%，EAOCBO-Smith 預估FOPID 控制器的 εx、 εy、 εz分別為1.125%、5.925%、2.416%。相較于傳統PID 器，EAOCBO-Smith 預估FOPID 控制器控制下成型件的 εx、 εy、 εz分別減少了0.193%、1.625%、3.584%，意味著該方法可以有效減少出現收縮變形等缺陷，進一步提高成型精度。

表3 不同控制器下成型件收縮率測量結果

圖9 各采樣點的穩態溫度對比圖

圖10 打印模型

圖11 燒結過程圖

圖12 成型實物圖

圖13 模型測量

5 結語

針對SLS 過程中預熱溫度控制的非線性不確定性和時延滯后等問題，本文提出了一種改進預估分數階PID 控制器用于溫度控制。首先，在FOPID控制器中整合了Smith 預估器以消除純時滯環節產生的震蕩，提高被控系統的魯棒性。然后，提出了名為EAOCBO 的敏感參數自整定方法，對預估FOPID 控制器的模型參數進行最優設計。為克服AO 探索和開發階段的不平衡以及易于陷入局部最優的缺陷，引入了白冠雞算法中的領導者更新機制，自適應切換系數以及折射反向學習策略。通過與5種算法在9 個IEEE CEC2017 測試函數上進行對比測試，證明了EAOCBO 具有更加優越的收斂精度和速度。為驗證提出的EAOCBO-Smith 預估FOPID控制器的有效性，通過Matlab/Simulink 軟件仿真分析了其在單位階躍信號下的動態響應特性，本文所提出控制器的性能參數指標分別為上升時間0.215 s、峰值時間0.419 s、調節時間0.519 s、超調量2.4%、穩態誤差0.001，相較于其他先進的FOPID 控制器有著更低的調節時間和穩態誤差，證明了其出色的響應速度和控制精度。將其進一步應用于燒結樣機預熱溫度控制并開展成型效果試驗，當采用EAOCBO-Smith 預估FOPID 控制器時，粉床不同區域溫度梯度變化更小、整體溫度變化幅度較小，比PID 控制器更平穩，且成型件的 εx、 εy、 εz分別減小了0.193%、1.625%、3.584%。結果證明：本文提出的控制器可以更有效地控制溫度，避免成型件出現收縮變形等缺陷，提高了成型精度，為選擇性激光燒結預熱溫度的穩定精確控制提供了新的思路。