基于Bootstrap-Cpu 的機床進給機構裝配過程能力評估方法＊

惠 陽 牛博雅 史建猛 梅雪松

（①中航西安飛機工業集團股份有限公司，陜西 西安 710089；②西安交通大學機械工程學院，陜西 西安 710048）

過程能力評估作為基于統計過程控制（statistical process control，SPC）的關鍵核心技術之一，不僅能夠反映當前過程滿足產品質量要求的能力，而且已經成為過程質量持續改善的重要手段[1]。在批量化機床進給機構裝配過程中，受5M1E（人、機、料、法、測、環）因素影響，進給機構裝配過程能力可能不足，會導致進給機構裝配質量出現較大波動，甚至出現不合格產品。因此有必要對機床進給機構裝配過程能力進行評估。

過程能力評估方法的實現建立在過程能力指數（process capability indices，PCIs）計算的基礎上。最早關于PCIs 的研究主要包括第一代過程能力指數Cp[2]，第二代過程能力指數Cpk和Cpm[3-5]和第三代過程能力指數Cpk[6]。隨后，過程能力評估方法在機械產品制造過程能力評估中得到了應用。Panse A等[7]通過過程能力指數和Cpk對反映齒輪箱質量的振動信號進行了分析，實現了對裝配線末端齒輪箱檢測過程能力評估。Bottani E 等[8]基于過程能力指數Cp和Cpk實現了制造車間裝配線過程能力評估。呂立曉等[9]為驗證六西格瑪管理方法在某公司中低壓液壓缸制造質量中的效果，通過Cpk對改善前后的過程能力進行了評估，驗證了所提方法的有效性。黃祖廣等[10]針對加工過程短期能力評估問題，提出了一種基于統計過程的短期能力評估模型，并在數控車床加工軸工件實例中驗證了模型的有效性。趙家黎等[11]提出基于熵權理論和模糊物元的改良多元過程能力指數，解決了汽車左前門外板的過程能力綜合評價問題。上述研究均遵循統計過程控制的思想，通過質量觀測樣本估計質量特性的分布規律，然后根據分布規律選擇或者構建不同過程能力指數來實現對機械產品制造過程能力的評估。但是這些過程能力評估方法的實現都需要有足夠的樣本數據作為支撐，不適用于機床進給機構裝配過程小樣本情況。

為此，美國斯坦福大學統計學教授Efron B等[12]在歸納、總結前人研究成果的基礎上，基于模擬抽樣統計推斷思想提出了Bootstrap 方法，利用原始小樣本數據，通過重采樣來擴充樣本容量來進行統計計算，從而實現了樣本未知分布和小樣本條件下的過程能力評估。Stoma P 等[13]利用傳統過程能力指數Cp研究了基于Bootstrap 的過程能力評估方法，開發了一種基于引導法確定過程能力的程序，制定了生產過程能力置信區間的標準值，并通過實驗分析指出基于Bootstrap 的過程能力評估方法比傳統方法估計的結果更加準確，可以實現測量實驗樣本為10 的過程能力評估。Park C 等[14]研究了Bootstrap 方法在過程能力指數Cpk計算過程中的應用，并提出了Bootstrap 置信區間修正方法。Rao G S 等[15]利用Bootstrap 方法對非正態過程能力指數Cpkv的置信區間進行了估計。顏斌等[16]利用1/σ的無偏估計分別重新設計了過程能力指數Cp和Cpm，并利用Bootstrap 方法對它們的置信區間進行了估計，驗證了所提方法的有效性，同時指出利用Bootstrap 方法可以給實際生產工作提供生產指導。然而，當前還未見到有關Bootstrap 方法在機床進給機構裝配過程能力評估中應用的研究。

1 機床進給機構裝配過程描述

圖1 所示為機床進給機構裝配過程，可以看出，機床進給機構裝配過程是進給機構裝配質量形成的過程，主要包括滑座安裝、前后支撐座安裝、線軌副安裝、滾珠絲杠副安裝和工作臺安裝等環節。在裝配過程中，為了確保進給機構最終裝配質量參數滿足要求，就需要對若干裝配環節的若干裝配特征如直線度、平行度等進行測量和調整，直到該裝配過程的裝配質量參數滿足精度要求才可進入到下一裝配過程。然而此過程受到人（裝配工人）、機（測量設備）、料（零件）、法（工藝方法）、環（環境狀況）、測（測量方法）因素的影響，這些偶然或者隨機因素是難以消除的，但它們會造成進給機構裝配過程的裝配質量出現波動，甚至出現不合格產品。因此，在批量化生產過程中，需要及時對機床進給機構裝配過程能力進行評估。

圖1 機床進給機構裝配過程

2 基本理論

2.1 Cpu 計算方法

在工程實際中，為了更好地對過程能力進行觀察、測量和分析，通常使用可量化的PCIs 對具體過程能力進行描述。PCIs 是將過程的波動與輸出的要求規格進行比較抽象而出的無量綱變量，在眾多PCIs 中，Cpk描述了質量參數分布中心與規格中心不重合情況下的過程能力，并且因其易使用和易解釋的特點在各個行業得到了廣泛應用[3]。Cpk的計算公式為

式中：TU為質量參數的規格上限；TL為質量參數的規格下限； σ為質量參數標準差； μ為質量參數均值。

對于單側規格，只有公差上限要求時，過程能力指數計算公式為

對于單側規格，只有公差下限要求時，過程能力指數計算公式為

考慮到機床進給機構裝配質量參數只有公差上限要求，可以利用Cpu對其過程能力進行估計。但Cpu的使用需要滿足質量參數樣本服從正態分布和足夠樣本進行參數估計的條件，并且統計過程控制中要求至少25 個以上的子組或者100 個以上的質量參數樣本才能夠建立可靠的控制限[17]。對于機床進給機構來說，其裝配質量參數不服從特定分布，并且裝配質量參數為小樣本。因此，Cpu無法直接用于機床進給機構裝配過程能力評估。

2.2 Bootstrap 計算方法

圖2 所示為Bootstrap 方法的基本原理[14]。設A0={a1,a2,···,an}為一個不確定分布的長度為n的隨機樣本序列，tn表示A0統計量T的值。 那么Bootstrap 方法的基本原理可以描述為：首先，對樣本序列A0進行B次有放回重采樣，得到B個隨機替換樣本Ai?（下標i表示第i次重采樣，i=1,2,···,B），每個Ai?={a1?,a2?,···,an?}，稱為Bootstrap 樣本；其次，對每個Bootstrap 樣本Ai?計算其統計量T值，得到對應估計值，進而得到統計量T的Bootstrap 經驗分布，記為tn?={t1?,t2?,···,tB?}；最后，在B足夠大時，就可以用Bootstrap 經驗分布代替實際分布，進而求出統計量T所有可能提供了一種近似。這樣就可以通過Bootstrap 方法對小樣本進行統計模擬，從而獲得未知分布和未知參數的統計估計。

圖2 Bootstrap 方法基本原理

對于樣本量為n的樣本序列，共有nn種可能的Bootstrap 樣本，當n取較大值時這個數十分龐大。Efron 和Tibshirani 研究發現只需要得到1 000 組Bootstrap 樣本就能得到準確的區間估計，因此后續在利用Bootstrap 方法進行計算時，B取1 000。經過不斷的發展，Bootstrap 方法[18]又可以分為標準Bootstrap（standard bootstrap，SB）方法、百分位數Bootstrap（percentile bootstrap，PB）方法、t 百分位數Bootstrap（percentile-t bootstrap， PTB）方法和修正偏差后的百分位數Bootstrap（biased-corrected percentile bootstrap，BCPB）方法。這4 種方法均遵循圖2 所示Bootstrap 方法基本原理，只是對區間上下限進行了不同估計。

下面以統計量T為例就上述4 種方法進行簡單介紹。

（1）SB 方法

SB 方法建立在認為Bootstrap 經驗分布tn?={t1?,t2?,···,tB?}近似服從正態分布的基礎上。對于Bootstrap 經驗分布的均值和標準差S?，分別采用式（4）和式（5）計算得到。

進而得到T的100(1-α)%置信區間為

式中：Z(1-α/2)為標準正態分布的1-α/2百分位數。

（2）PB 方法

PB 方法通過將Bootstrap 經驗分布tn?={t1?,t2?,···,tB?}按照從小到大排序，得到其第α/2 和1-α/2分位點，進而得到T的100(1-α)%置信區間為

（3）PTB 方法

PTB 方法建立在對PB 方法進行改進的基礎上，使得得到的置信區間更加準確。該方法首先需要根據求得的Bootstrap 經驗分布構造新的統計量t?：

然后通過將t?按照從小到大排序，得到其第α/2和1-α/2分位點，進而得到T的100(1-α)%置信區間為

（4）BCPB 方法

BCPB 方法考慮了隨機反復抽樣不均勻導致的Bootstrap 經驗分布偏離原分布的情況。該方法首先求得Bootstrap 經驗分布中小于tn的概率：

然后計算：

式中：Φ(·)為為標準正態分布的累積函數。

進而得到T的100(1-α)%置信區間為

3 基于Bootstrap-C pu的裝配過程能力評估方法

設機床進給機構裝配質量參數樣本為y={y(1),y(2),···,y(N)}，N為質量參數樣本數。下面通過引入Bootstrap 方法來對機床進給機構裝配質量參數進行Cpu計算，進而構建了基于Bootstrap-Cpu的機床進給機構裝配過程能力評估方法，該方法的主要步驟如下。

步驟1：對裝配質量參數樣本y={y(1),y(2),···,y(N)}進行有放回重復抽樣，得到隨機替換樣本

步驟2：計算替換樣本y?的均值和方差，進而利用式（2）計算得到對應Cpu的估計值

步驟5：結合表1 過程能力評價參考表對Cpu進行分析，進而實現機床進給機構裝配過程能力評估。

表1 過程能力評價參考表[20]

如果機床進給機構裝配過程中存在n裝配質量參數，只需要分別對每個裝配質量參數執行基于Bootstrap-Cpu的裝配過程能力評估方法，得到n個評估結果，最后綜合這n個評估結果對機床進給裝配過程能力進行評估。

4 實例應用

4.1 機床進給機構裝配過程數據收集

圖3 為某機床進給機構裝配過程數據測量現場。在數據測量過程中，測量工具使用機床企業常用的杠桿千分表（型號：0-0.2，精度：0.002 mm）。同時，為了得到準確性測量結果，測量過程中裝配質量參數取3 次測量結果平均值。表2 描述了該機床進給機構裝配質量參數，主要包括工作臺上表面與X軸平行度和工作臺上表面與Y軸平行度。表3描述了某批次該機床進給機構裝配質量參數樣本數據。

表2 某機床進給機構裝配質量參數精度要求

表3 某機床進給機構裝配質量參數樣本數據

圖3 某機床進給機構裝配質量參數數據測量現場

4.2 機床進給機構裝配過程能力評估

由獲取的機床進給機構裝配過程測量數據，得到該批機床進給機構裝配質量參數數據分布情況如圖4 所示。可以看到，該批機床進給機構裝配過程中工作臺上表面與X軸平行度數據分布和工作臺上表面與Y軸平行度數據分布均不服從正態分布，無法直接利用傳統過程能力指數Cpu對進給機構裝配過程能力進行評估。

圖4 機床進給機構裝配質量參數數據分布

為此，首先設工作臺上表面與X軸平行度數據統計量為Cpu1，工作臺上表面與Y軸平行度數據統計量為Cpu2，采用章節3 提出的基于Bootstrap-Cpu的進給機構裝配過程能力評估方法對該批機床進給機構裝配過程能力進行評估。

其次，分別對現有20 組工作臺上表面與X軸平行度數據和工作臺上表面與Y軸平行度數據進行有放回抽樣，抽樣1 000 次，分別得到它們的1 000 組Bootstrap 樣本。利用式（2）計算工作臺上表面與X軸平行數據的1 000 組Bootstrap 樣本的Cpu1估計值，得到統計量Cpu1的Bootstrap 經驗分布如圖5 所示，可以看到在中，值小于1 的百分比為0.6%，值大于等于1 的百分比為99.4%；同時，利用式（2）計算工作臺上表面與Y軸平行度數據的1 000 組Bootstrap 樣本的Cpu2估計值，得到工作臺上表面與Y軸平行度數據統計量Cpu2的Bootstrap 經驗分布如圖6 所示，可以看到在計算結果中，值小于1 的百分比為1%，值大于等于1 的百分比為99%。顯然，Bootstrap 經驗分布和中各Bootstrap 樣本Cpu估計值大于等于1 的百分比均達到了99%，說明該批機床進給機構裝配過程能力可能是足夠的。

圖5 工作臺上表面與X 軸平行度數據統計量Cpu1的Bootstrap 經驗分布

圖6 工作臺上表面與Y 軸平行度數據統計量Cpu2的Bootstrap 經驗分布

最后，按照式（6）、式（7）、式（9）和式（14）進行Cpu95%置信度下的SB、PB、PTB 和BCPB 置信區間計算，得到基于Bootstrap-Cpu的進給機構裝配過程能力指數計算結果，見表4，這里引入覆蓋率（Cov）的概念來表示真值落在置信區間的頻率值。由表4 可知，工作臺上表面與X軸平行度數據Cpu估計值Cpu的Bootstrap 估計值對應的SB、PB、PTB 和BCPB 置信區間下限值均大于1，4 種置信區間都有著較高的覆蓋率（93%、95%、93% 和95%），并且置信區間長度最大不超過1.03；工作臺上表面與Y軸平行度數據Cpu估計值Cpu的Bootstrap 估計值對應的SB、PB、PTB 和BCPB 置信區間下限值均大于1，4 種置信區間都有著較高的覆蓋率（93%、95%、94% 和94%），并且置信區間長度最大不超過1.1。

表4 基于Bootstrap-Cpu 的機床進給機構裝配過程能力指數計算結果

顯然，在95% 置信度條件下，工作臺上表面與X軸平行度數據和工作臺上表面與Y軸平行度數據Cpu的4 種Bootstrap 置信區間（SB、PB、PTB 和BCPB）計算結果沒有顯著性差異，它們對應的4種置信區間下限值均大于1，對應的值分別為1.47 和1.40，且工作臺上表面與X軸平行度誤差數據最大置信區間長度為1.03 時對應的最小覆蓋率為93%，工作臺上表面與Y軸平行度誤差數據最大置信區間長度為1.1 時對應的覆蓋率為94%。因此，該批機床進給機構裝配過程能力是足夠的，其裝配質量波動較小。

5 結語

本文在對過程能力指數Cpu和Bootstrap 方法進行分析的基礎上，構建基于Bootstrap-Cpu的機床進給機構裝配過程能力評估方法，得到了95% 置信度條件下進給機構裝配質量參數誤差數據最大置信區間長度均大于1、最小覆蓋率均大于93%的結論，表明實例中的該批機床進給機構裝配過程能力是足夠的，進而實現了機床進給機構裝配過程能力評估。