一道不等式問題的解法溯源及推廣

袁 丁

安徽省蒙城縣第二中學 (233500)

問題1 (《數學通訊》2023年第3期問題征解第600題)已知正數a,b,c滿足a+b+c=3,求證:

看到此題,容易聯想到“2011年克羅地亞數學奧林匹克試題”:

對于不等式(2),較為常見的是下面這種簡單的證法.

經過探究發現,證法1對于(1)式的證明卻顯得無能為力.但是,從不等式(1)和不等式(2)的結構上看,都是同一類型的輪換對稱的非齊次不等式,由此猜想問題2一定有某種證法可以傳承到問題1,帶著這樣的思考,經過對(2)式結構的再次分析,獲得如下兩種證法.

點評：證法2和證法3,入手的角度稍有不同,后者看似“多此一舉”了一步,但是后面的處理卻比前者要方便、容易得多,而且用證法3證明(1)式則十分順暢.

一直到四月一日，孫山才來電話，說：“小說家這樣寫，S決定先離開果城，得擺脫一切可能的盯梢者，吃過大虧了，不能重蹈覆轍。他找了一個清靜之所，閉關修煉——在云南香格里拉的建唐鎮隱居，那時還不叫香格里拉，叫中甸。他購買了十幾本如何成為一位私家偵探的書籍，潛心研讀，甚至旁涉了法學、心理學、刑偵學等相關學科，對擒拿格斗及槍械也略有興趣，還去散打俱樂部訓練了三個月。一年多之后，他自信遠非吳下阿蒙，萌生了開一家私家偵探社的想法。那個年月，以抓小三、討欠薪、刺探商業機密等為主要業務的私家偵探社游走于灰色地帶，在大城市像雨后春筍冒出來——”

問題1和問題2中每個分式的分子與分母中不同變量的指數分別是2與4,都是偶數,如果是奇數比如3,上述證法還能用嗎?答案是肯定的.

由柯西不等式知可轉化為

推廣已知正數a,b,c滿足a+b+c=3,n∈N+,求證: