升維思考問題 引領素養發展
——從新課標理念下平行線判定的引入談起

廣東省廣州市真光中學(510380) 蘇國東

廣東省廣州市南武實驗學校(510280) 李 平

1 前言

《義務教育數學課程標準(2022 年版)》(以下簡稱“新課標”)提出了素養導向、知識結構、單元整體等教學關鍵詞. 在新課標理念下, 數學教學不僅要關注學生的知識學習結果,更應關注學生在學習過程中提出和分析問題、探究和解決問題的思考方法和思維品質. 引領學生學會升維思考,從更多或更高的維度去理解問題,透過表象洞悉問題本質,形成俯瞰全局的獨特思維視角,是促進核心素養發展的重要途徑.

2 引入鄒議

“平行線的判定”是人教版數學七年級下冊第五單元“相交線與平行線”的教學內容,是繼三線八角內容之后學習的一個重要知識,是今后學習平行線性質、三角形、四邊形等幾何知識的基礎,更是培養學生數學思維,發展核心素養的重要抓手.

不少人抱怨初中幾何最難學的就是添輔助線解決問題,原因是沒有洞見添輔助線解決問題的本質,讓學生錯失了一些學習添輔助線的機會. 事實上,學生在初中幾何學習中第一次接觸添輔助線解決問題便是在平行線判定的學習之中.對于平行線判定的引入,學生的認知困惑在于判定兩直線平行為何需要添加第三條直線? 教材只告訴了學生怎么做,沒有說明為什么要這樣做. 平行線判定的教學就像初中幾何教學的一條中軸線,能體現不同教師的教學理念、探究方法和學習的指導方式.

當站在以發展學生探究能力為本的制高點處便會看到,有的教師為快速完成新知教學, 騰出更多時間做配套練習,直接告知學生添第三條直線進入三線八角模型探究平行線的判定,重應用而輕探究;也有教師要求學生先動手畫平行線,在不知不覺中進入三線八角模型的探究,其理念是引領學生去理解動手操作與操作背后的數學原理,完成從實驗幾何到論證幾何的轉變;還有教師先引導學生思考學習相交線時為何引出對頂角和鄰補角,讓學生理解從研究相交位置關系轉為研究角的數量關系的幾何研究的一般方法,啟發學生當探究平行線判定遇到困境時,可考慮將判定位置關系轉為研究角的數量關系,從而萌發添第三條線的靈感思路;更有教師大膽放手,給予學生足夠的時間發散思維進行開放性探究,對學生探究思路的得失作出精辟點評,這樣教師的預設越開放,學生的生成就越精彩!

3 教學實踐

筆者在平行線判定的教學中,就以發展學生核心素養為導向,通過巧設導入情境,給予學生提出問題、升維思考的機會,讓學生在聯系舊知中找到解決新問題的靈感,促成思維的提質.

教師先在平面內畫出兩條直線,讓學生思考用什么方法能判定這兩條直線平行. 結果,學生呈現出了令人回味無窮的回答.

生1: 平行就是不相交,可以把圖中的兩條線延長,看很遠處有沒有交點.

生2: 可以把其中一條直線平移,看平移后的兩直線是否重合.

師: 很直觀的想法,但在幾何證明中較難操作,能否提出更具操作性的方法呢?

生3: 只有單獨的兩條直線很難說明它們本身平行或不平行,可能要引入一些工具.

生4: 可以再添加一條直線,根據平行公理的推論,如果它與這兩直線都平行,那么這兩直線也互相平行.

師: 很有啟發,想到添加平行線的方法,但如何說明它與這兩直線分別平行, 又回到了如何判定兩直線平行的問題.大家繼續運用發散思維提出更新的方法.

生5: 可以觀察教室的墻壁、黑板、課桌這些長方形圖案,它們的對邊是平行關系,而鄰邊則是垂直關系,這啟發我們要得到兩條平行邊,可以借助一條與它們都垂直的鄰邊來實現. 即作其中一條直線的垂線,如果它也垂直另一條直線,就可以說明原來的兩直線平行.

師: 非常巧妙,兩直線本身只有四個平角,沒有特殊結果,通過添加一條垂線將它們銜接起來,由兩個垂直關系得出了平行關系.

生6: 不一定要作垂線,作任意一條與它們相交的直線即可. 回憶用三角板和直尺畫平行線的方法. 如圖1,直尺可以看作是這條相交線,三角板在移動中保持∠1 = ∠2,則畫出的直線與原直線平行.

圖1

師: 從垂線到相交線,從特殊直角到一般角,再將角度的數量關系轉到直線位置關系,十分精彩. 你能用一句話概括這個判定方法嗎?

生6: 同位角相等,兩直線平行.

生7: 我發現如果∠1 不等于∠2,就能說明兩直線不平行. 如圖2,因為此時∠1+∠3 ＜180°,由三角形內角和定理可知兩直線在右側某處會相交于一點.

圖2

生8: 這么看來,還可以轉化為利用內錯角、同旁內角的關系來判定兩直線是否平行……

實踐點評以上的教學生成相當精妙. 教師妙在肯定學生探究的前提下,不露痕跡地順應學生給予方法點撥,回歸背后如何探索兩直線平行的初心;學生妙在發散性的思維探究,將研究直線位置關系轉化為研究角的數量關系,從添一條平行線(有想法欠抓手),到添一條垂線(有抓手欠普適性),再到添一條相交線(有抓手有普適性),體現了學生潛意識地將一般性問題轉化為特殊性問題,將抽象探索轉化為具體研究. 學生切實體驗到原來添第三條直線是一個很好的創意.

當學生直面真實問題引發思維沖突時,能從新舊知識結構化的角度分析問題,促進思維發散. 學生的探究思路由無序到有序,教師的反饋時機切中探究支點;學生的互動分析由直觀到理性,教師的定位點撥直擊探究困惑;學生的迭代認知由現象到本質,教師的精準小結抵達探究本質. 教師的“退”成全了學生的“進”,師生高質量的對話讓學生歷經了命題學習的完整過程: 發現命題→提出命題→驗證命題→證明命題,學生在升維思考中也就生成了許多超越教師的獨特見解.

4 進階感悟

4.1 素養導向,提升認知境界

新課標強調,數學教學要以學生發展為本,以核心素養為導向. 教學片段中,教師沒有給出現成的結論或思維指向,只提供了兩條直線,學生面對真實問題情境,需要運用已有的數學知識和方法發現、提出、分析和解決問題. 學生從找對研究方向卻未找到研究抓手,到找對研究抓手將特殊情況推廣到一般情況研究,形成了對直線位置關系的新認識,發展了探究和應用能力,更獲得了三個層次的認知境界.

第一層次認知境界, 即學會了用數學的眼光觀察世界-——將平行線分解為位置與角度兩個維度觀察,用數學的思維分析世界——將線的位置關系轉為角的數量關系,用數學的語言表達世界——用符號化、圖形化的語言表示平行的判定;第二層次認知境界,即感悟到了平行與相交不是絕對的對立關系,它們在特定的變化條件下能夠互相轉化,如研究相交關系的思想方法啟發研究平行關系,平行關系運用相交關系表征;第三層次認知境界,即學會了從動靜結合、數形結合的角度進行升維思考,將解題方法實操化,解題策略具體化.

4.2 升維思考,發展高階思維

著名教育家布盧姆將認知領域的教學目標分為認知、理解、應用、分析、評價、創造等六個層次,其中認知和理解屬于低階思維,應用、分析、評價和創造屬于高階思維. 高階思維是核心素養的關鍵詞,升維思考則是能將學生帶向高階的思維方式.

真正的發現之旅不在于尋找新的景觀,而在于擁有新的眼光. 添輔助線解決問題的本質就是升維思考問題. 當學生停留在認知和理解層次,用位置關系研究位置關系的一維視角難以解決判定平行的問題;當學生上升到應用層次,結合真實情境添加垂線,進入了從一般到特殊的動態探索;當處在分析與評價層次時,學生又從特殊到一般添加一條相交線進入三線八角模型, 從線的位置關系轉向了角的數量關系,從研究形的維度升級到研究數的維度,從研究位置關系單維度升級到研究“數量+位置”關系雙維度來思考問題;當到達創造層次,學生從多維視角又產生了用內錯角、同旁內角判定平行的想法. 最終,學生領悟到研究平行線判定固然重要,但為何這樣研究平行線判定更重要;研究圖形判定與研究圖形性質的一般方法固然重要,但發現兩者方法具有思維類比性和思維互逆性更重要.

4.3 把握核心,構建單元教學

契合新課標理念,緊扣本單元的核心——位置關系,深挖數學知識的內在邏輯聯系,體現學習內容與核心素養的關聯,可以進一步構建單元整體教學. 在單元整體教學視角下,章起始教學“相交線生成對頂角和鄰補角”已蘊藏了位置關系轉為數量關系的研究契機,即開啟了平行線判定中添加第三條線的研究思路;添加第三條線的思路對于解決章末拓展教學“平行線的拐點問題”又有所啟示,拐點問題即是將第三條線換作折線。

如圖3,當學生從線的維度思考,將拐角還原至180° 的情形, 即可添加延長線AB解決問題;而從平行的維度思考, 分解出兩組兩線平行的圖形, 即過拐點添加平行線AC解決問題. 這為單元整體教學的設計與實施指明了方向.

圖3

如圖4,在本單元整體教學實踐中,教師應有意識地鼓勵學生從知識結構化的角度多提問題,升維思考,讓學生能從動態的角度考量兩直線的位置關系,把握單元知識核心;在研究兩線相交時能轉化為研究四角的數量關系,從一般到特殊地研究垂直關系,從兩線到三線研究八角的關系;在研究兩線平行時,能受其啟發產生添加第三條線的思路,生成平行線的判定與性質;在研究拐點問題時能站在不同維度思考,巧添輔助線解決問題;最后通過歸納總結,學生能深刻體會單元知識的整體聯系,掌握單元學習的基本套路: 兩線位置關系→分類為相交與平行→判定與性質→應用與拓展,為后續的平移、三角形、平行四邊形等幾何圖形的學習提供了研究方法的思路支撐、思想方法的研究范式,以及幾何圖形的分析框架.

圖4