基于“缺點改進”的聾校中學數學教學實踐與研究

揚州市特殊教育學校(225000) 雷 麗

缺點改進是指師生審視常見的教學行為,從中發現與聾生認知特點、學習方法、應用發展等不符的教學缺點,通過改進或優化這些缺點,推動教學效能有效提升,發展學生創新能力和數學素養[1]. 缺點改進能較好地落實《聾校義務教育數學課程標準(2016 年版)》中提出的“數學教育在培養學生的數學素養,發展學生的邏輯思維能力、語言表達能力、創新能力等方面有著不可替代的作用[2]. ”在聾校中學數學教學中,可以看到缺點改進的幾處實踐蹤跡.

1 缺點改進利于知識理解

由于聽覺障礙,聾生的視覺優勢明顯,善于直觀發現,但抽象思維較弱,總結概括能力不足. 教學實踐發現,對于某些常見的數學知識, 聾生會有獨特的、創造性的認識. 這就要求聾校教師,一方面在課前設計時要站在聾生的角度去揣摩“如何學”,真正的幫助學生理解知識、掌握知識,千萬不能想當然地設想“如何教”,脫離了學生實際的教學,再美的設想都只是空想;另一方面要注重捕捉聾生思維的閃光點,提煉、匯集成寶貴的教學經驗,在實踐中加以運用,促進教師教學水平和學生學習能力的提升.

案例1方差是描述數據離散程度的量,它刻畫了一組數據遠離其中心值(即平均數)的程度. 那么,方差是如何刻畫各個數據遠離其平均數的程度的呢? 教材中直接出示計算方差的式子,并以此給出方差概念. 筆者認為如此教學不利于培養聾生思維能力,,所以教學時筆者引導聾生自主思考、小組交流和個體表達. 設有n個數據x1,x2,x3,...,xn,它們的平均數是.

教師: 這個式子有個缺點,就是每一個括號的得數可能是正數,也可能是負數,正負數會相互抵消,最后相加的得數不能精準刻畫離散程度. 這個式子要如何改進呢?

生2: 為了解決正負數抵消的問題,我們可以用絕對值來保證每一個得數都是正數. 我們認為可將上面式子改進為.

生3: 可是,絕對值帶來了新的缺點,就是去絕對值有時候會比較困難,以前我們遇到過分類討論去絕對值的練習題.

教師: 有道理! 在改正缺點的過程中,常會遇到改正一個舊缺點之后,又產生一個新缺點. 因此,我們還需改正新缺點,直到所有缺點得到全部改正.

學生們爭先恐后的回答,但答案不夠成熟. 于是,教師要求學生先小組內交流一下,匯總意見后派出代表回答. 教師引導學生匯總代表們的回答,得出結論:n表示樣本容量,如果不除n,那么n不同的樣本之間比較方差,n越大,方差自然就越大,這樣的結果是不公平的,不能精準說明離散程度.

教師總結: 本節課同學們經歷了缺點改正發現方差計算式子的過程,掌握了方差的計算方法. 數學學習不能只是死記硬背教材知識,而要能通過自主學習,不斷挖掘知識深層涵義. 我們的人生也是不斷發現缺點然后缺點改正的過程,大家要將學到的方法運用到人生中,讓自己的人生更加完美.

案例2“平方差”新授課結束后, 筆者布置了幾道利用平方差公式進行運算的練習題作為家庭作業. 第二天批改作業時發現正確率并不高. 尤其是諸如“利用平方差公式計算(-2a+3b)(2a+3b)”等題,絕大多數同學得出的是“4a2-9b2”的錯誤答案,極個別同學得出正解“9b2-4a2”. 筆者逐個當面交流,發現大多數同學不能正確分辨所求題目中的“a”和“b”分別是什么,誤以為每個括號內前面的項都是“a”,后面的項都是“b”. 針對這一缺點,筆者在借鑒正解同學方法的基礎上,優化教學設計,增加“觀察公式”和“計算前先口答符號相同項與符號相反項”等活動糾正學生認識. 在之后的多年教學生涯中, 這些教學活動一直被筆者所應用,教學效果非常明顯.

比如,新授課上學生探究完“平方差”公式后,筆者要求學生仔細觀察公式左右兩邊,思考并用自然手語表示: 1. 公式左邊兩個括號內的a, 符號相同嗎?b呢? 2. 公式右邊a2從何而來?b2呢? 減號呢? 3. 如果將公式左邊改寫成(b+a)(a-b)、(b+a)(b-a)、(-a+b)(a+b),計算結果分別是什么? 通過問題串引導學生不斷辨析平方差公式中a、b的真正含義,概括總結公式中的“a”本質是指“符號相同項”,“b”是指“符號相反項”. 聾生發揮視覺優勢,觀察公式兩邊特點,配合自然手語形象表示,將抽象的數學知識形象化,整個過程非常符合聾生認知規律,答題正確率顯著提高.

2 缺點改進促進教法優化

現階段,聾校八、九年級還未有配套數學教材. 教師們一般借用普校教材,如人教版或蘇教版等. 顯然,普校教材并不完全適用于聾校教學,這就需要教師們及時發現借用教材的缺點,對教學內容進行合理增加、刪除或調整,優化課堂教學方法,促進教育教學有效開展.

案例3聾校數學新課標要求教學內容的呈現應符合聾生的認知水平, 體現數學學科特征. 符合學生的認知水平,即教學內容要貼近聾生生活現實和學習現實; 體現數學學科特征,即體現數學知識的邏輯性和嚴謹性. 人教版八年級上冊“14.2.2 完全平方公式”一節中,教材通過引導學生在一般化的多項式乘法的基礎上探究特例, 即多項式乘法法則(a+b)(c+d) =ac+ad+bc+bd,當a=c,b=d時變為完全平方公式,由此引入新課教學[3]. 這種教學方法展示了從一般到特殊的數學思想,是數學研究的常見操作,契合數學知識發生發展邏輯,有利于學生勾連新舊知識,形成結構化知識體系. 但此教學方法存在缺點: 多項式乘法法則和完全平方公式都是抽象的代數公式,大部分聾生抽象思維水平不足,難以達成學習目標.

在缺點改進理念的指導下, 筆者采用既偏重聾生認知,又兼顧學科特征的教學方法: 先要求聾生用兩種方法計算正方形面積,直觀、形象地發現完全平方公式,然后引導聾生利用多項式乘法法則驗證完全平方公式成立,體會多項式乘法法則與完全平方公式的一般與特殊的關系.

1. 探究: (1) 分別用兩種方法計算圖1 中大正方形的面積和圖2 中灰色中正方形的面積, 你發現了什么? (2)你能利用多項式乘法法則說明(a+b)2=a2+2ab+b2、(a-b)2=a2-2ab+b2嗎? (3)請仔細觀察公式左右兩邊,你又發現了什么結構特點?

圖1

圖2

2. 應用:(1)用完全平方公式計算(3m+n)2、(-2p+1)2、(-a-b)2等題;(2)簡便計算992、1012等值.

3. 總結: (1)我們如何發現完全平方公式的? 又是如何說明公式成立的? (2)從說明過程看,完全平方公式是多項式乘法法則的一個特例. 若a=c,b=-d,你還有什么發現?

案例4再以人教版八年級下冊“勾股定理逆定理”為例[4]. 很多聾校同行發現探究定理對聾生來說比較困難,故而課堂教學時會淡化探究過程或降低探究難度,將教學時間更多的分配給定理應用. 筆者認為此舉欠妥. 培養聾生的邏輯推理能力是數學學科核心素養提出的要求. 勾股定理逆定理是培養聾生邏輯推理能力不可多得的教學資源,數學教學有必要引導聾生充分經歷勾股定理逆定理的探究過程. 筆者基于缺點改進,借鑒、實踐、反思、總結形成了如下探究定理的教學方法,與各位同行分享,不當之處,敬請指正.

1. 定理引入. 定理引入是探究定理的首要環節. 如果學生整體的思維能力較弱,可以通過介紹古埃及人結繩故事引入. 如果學生整體的思維能力較強,可以通過探究勾股定理這個原命題的逆命題是否成立來引入. 兩種引入方法的目的都是將學生的思考方向聚焦到勾股定理的逆定理上.

2. 定理形成. 指導學生先作出三邊分別為3cm,4cm,5cm的ΔABC;再作出兩直角邊分別是3cm,4cm 的RtΔA′B′C′.結合勾股定理和全等三角形知識,比較ΔABC和ΔA′B′C′,發現ΔABC也是一個直角三角形. 為輔助聾生比較,還可將兩個三角形剪下比較,或者用量角器度量ΔABC中最大角的度數.

3. 定理猜想. 引導學生猜想并簡單驗證“一個三角形的三邊滿足什么樣的關系,這個三角形就是直角三角形? ”請試著自己舉幾組特殊的數值,或者按照教材中“試一試”提供的數組,作出以特殊數值為三邊長的三角形,度量三角形的最大角,試著從三邊的特殊等量關系出發說明所作三角形是直角三角形.

4. 定理證明. 引導學生將猜想作一般化推廣并證明猜想“如果我們把一個三角形的三邊推廣為一般情況,即三邊分別為a、b、c,且滿足a2+b2=c2,那么這個三角形一定是直角三角形嗎? 請構造兩個三角形,結合勾股定理和全等三角形知識,證明你的猜想.”

3 缺點改進有助應用發展

數學應用是指運用數學知識、技能、思想和方法分析問題,并研究和解決問題的過程. 數學應用能力是學生未來生活必備的基本素質之一[5]. 學生數學應用能力的發展離不開課堂教學中的解題訓練. 數學家加德納說:“數學的真諦在于不斷尋求越來越簡單的方法證明定理和數學問題”. 用缺點改進理念進行解題訓練,追求更簡單、更自然的解題方法,也就是用簡單的方法說明深刻的道理.

案例5練習題: 已知x=1+2m,y=1+2-m,用x的代數式表示y為( )

學生分析題意后著手解答. 在教師和伙伴的幫助下,大部分同學能夠正確解答.

師: 同學們,大家花費了近半小時才解答出這道選擇題.我很贊同大家這種堅毅的解題精神, 但希望大家提高效率.請說說你的解法,看誰的解法又對又簡便?

生1:m是x和y表達式的中間橋梁, 解這道題時一定要把m去掉才行. 所以我分別用m表示了x和y, 即m= log2(x-1)和m= -log2(y-1). 因為m相同,所以log2(x-1)=-log2(y-1),整理可得.

生2: 這種解法有缺點. 用m分別表示x和y,理解上有難度;整理log2(x-1) = -log2(y-1)也是比較復雜的,解題過程會增加計算負擔,而且不容易答對. 我認為先用m表示x,然后將m表達式代入y,這樣整理起來步驟會相對簡化一些.

生3: 說到簡化步驟,我還有一個思路. 這道題中m可以取任何數, 那我們假定m= 0, 先算題干中x、y的取值,然后代入四個選項,看看哪一個選項符合取值. 我算出的是x=2,y=2,只有C 選項符合.

師: 大家覺得哪種方法更簡便呢? 為什么?

生1: 從解題時間和解題步驟來看,第三種方法更簡便.

生4: 第三種方法在解答選擇題時是比較簡便的,因為選擇題四個選項中肯定有一個是對的. 但是,如果換成解答題或者填空題,這種方法就沒法用了.

教師總結: 前兩種方法是常規方法,第三種是特殊值法.相比較而言,此題使用特殊值法更加簡便. 特殊值法適用于選擇題. 對于填空題和解答題,特殊值法雖不能用于求解,但可以用來驗證結論是否正確. 特殊值法解決選擇題問題,除了特殊的取值外,以后我們還會遇到特殊的點、特殊的函數、特殊的位置等類型. 一道題目有多種解法時,大家要能通過缺點改進的方法選擇最適合自己的方法.

案例6練習題: 求解一元一次絕對值不等式|x-1|＜2.

師: 前面我們學習了一元一次不等式、一元二次不等式,會利用不等式的性質求解不等式或不等式組. 由此求解一元一次絕對值不等式的思路自然形成, 那就是去絕對值符號,將一元一次絕對值不等式轉化為一元一次不等式或一元二次不等式.

生1: 根據絕對值的定義, 去絕對值符號時要分類討論. 當x- 1 ≥0 時, 原不等式轉化為x- 1 ＜2, 解得1 ≤x＜3;當x-1 ＜0 時,原不等式轉化為-(x-1) ＜2,解得-1 ＜x＜1. 綜上,此不等式的解是-1 ＜x＜3.

師: 從定義出發尋找解題之法,的確比較自然. 但上述解法需要分類討論,運算量加大,如何改進呢?

生2: 絕對值與平方關系緊密. 可將不等式左右平方,得到(x-1)2＜22,不等式左邊利用完全平方公式展開,整理得到一元二次不等式x2-2x-3 ＜0. 解這個一元二次不等式即可得出答案.

生1: 不等式從一元一次轉化成一元二次,雖然升次了,但解法我們是熟悉的. 所以求解過程并不難. 不過還不夠簡便,我還想到一種方法,就是根據絕對值的幾何意義得到-2 ＜x-1 ＜2. 利用不等式性質,不等號各邊同時加1,即可得-1 ＜x＜2. 這樣是不是最簡便呢?

學生紛紛點頭表示贊同.

師: 同學們,根據缺點改進解題方法,我們分別利用絕對值定義、兩邊平方及絕對值的幾何意義三種方法求解一元一次絕對值不等式. 每一種解法的引入都有理有據,自然流暢.對比之下,利用絕對值的性質求解是最簡便的.

教師繼續要求學生研究|x-1|＞2 的解法. 學生自然選擇利用絕對值的幾何意義去掉絕對值符號,轉化為兩個一元一次不等式,分別求解取并集得出答案. 最后師生概括總結|ax+b|＜c、|ax+b|≤c、|ax+b|＞c、|ax+b|≥c等類別絕對值不等式的一般方法,學生對一元一次絕對值不等式有了更一般更深入的認識.

課堂教學不可能十全十美[6]. 其實留有缺點的課堂教學才更真實. 基于缺點改正的聾校中學數學課堂教學,教師要能敏銳發現教學缺點,直面并分析缺點產生原因,帶領學生采取措施改正缺點,并在缺點改正過程中,注重培養學生的創新能力,以及提升教師的教學能力[7][8].