芻議高中數學解題中構造函數法的應用

趙帥

摘? 要：近幾年，隨著素質教育的不斷推行，學生的綜合素質得到了更多的關注。數學作為一種抽象、有理論意義的學科，在高中階段是一個重要而又困難的課題。學生在求解數學問題時，由于問題的復雜性，求解的方法和步驟比較煩瑣，因此影響了求解的效率和精確度。為了優化求解過程，教師教授了各種特定的解法。構造函數法是一種常見的問題求解方式，可以較好地解決某些困難的類型問題，從而進一步提升學生的數學學習能力。基于此，文章在分析構造函數法基本含義的基礎上，對其在高中數學問題求解中的一些應用進行了探討，以達到提高問題求解效率的主要目標。

關鍵詞：高中數學；解題方法；構造函數法

構造函數法是一種應用于高中數學中的轉換思想，主要是把復雜、抽象的問題轉換成常見的問題，從而使問題更容易得到解答。在實際中，學生必須先對已有的數學問題進行分析，用構造函數法進行算術、方程和向量的構造，再根據問題的條件給出求解的辦法。在高中數學中，構造函數法是一種具有多重特點的解題方式，需要學生掌握相應的解題方法。

一、構造函數法概述

構造函數法就是運用函數的概念和屬性來構造一個輔助函數，在該過程中，要找出輔助函數中能反映主題特性的功能，并利用功能的特性來解決問題。構造函數法是一種更具彈性、創意的問題解決模式，學生必須遵守下列準則：首先，構造函數法一定要和原來的任務相聯系；其次，建立一個主題要比原來的問題處理簡單得多；最后，構造函數法要符合最初的主題，如單調性、奇偶性、周期性等，同時還應對條件、結論等進行分析。在此基礎上，學生需要對構造出的函數邏輯進行優化，并依據對象的具體情況對其進行整合，從而達到設計的目的。

在問題解決期間，學生所建立的功能要符合下列需求：首先，函數一定要和最初的問題聯系在一起。其次，所建立的構造函數一定要比普通的方法更易于處理。函數必須符合問題的范圍，如單調性、奇偶性、周期性等，避免出現功能上的錯誤。最后，函數的構造要基于任務條件。在構造函數時，學生必須對句子的條件、結論、特征進行分析，然后根據題目情況對問題進行重組，得到問題的解題方法，該方法更符合邏輯，便于求解，適用面廣，在高中數學教學中是一種非常有效的教學手段。

二、構造函數法的基本內涵

通過對高中數學問題的大量實踐研究可知，運用設計的思想與方法來解決高中數學問題，可以極大地減少數學問題的復雜性。學生通過對數學基本問題的梳理，對數學內容的分析，運用新的函數、圖形等方法，能夠使數學中的抽象、復雜、模糊問題變得具體、簡單、清晰，并能使數學中的一些簡單問題得到解答。構造函數法是一種特殊的函數形式，可以有效地求解復雜的數學問題。對此教師要對問題進行深入解析，建立相關的功能關系，并將所構造的功能與題目相結合，對問題進行全面的分析、分類，以保證學生在數學問題中應用該方法。

為了更清楚地了解問題的不確定性，減少問題的復雜程度，學生可以用新的圖形、方法或功能對問題進行分析，并運用數學方法來解決問題，這也是一種結構化的方法。結構化的方法是一種靈活、有創意的解決問題的方式，而構造法則是以功能的方式來解答問題。問題的求解方法是創建與初始任務緊密聯系的功能，然后對功能進行分析和系統化，從而得到正確的結果。

在運用構造函數法求解數學問題的過程中，要注意到，數學的功能一定要具備下列特點：第一，建立一個功能，必須和最初的問題相結合；第二，要保證所建立的功能比原來的方法簡單；第三，構造函數法必須能解決周期性、奇偶性、單調性、值字段等問題，從而有效避免構造器的錯誤；第四，要與主題內容相結合，建構對應的功能架構；第五，在建立函數時，必須注意條件、結論、特征等。要對建議進行分析，不要只考慮邏輯、觀點等，可以根據題目情況，將其重新組合，從而得到具有建設性作用的問題。

三、高中數學解題中構造函數法的應用意義

（一）提升學生對函數的認知

在高中數學教學中，函數教學是較為重要的一部分。然而，由于傳統教學模式中，教師對函數知識的講解較為單一，導致學生對函數知識的認知較為膚淺，無法進一步提升學生的學習效率。因此在高中數學教學中，教師需要對學生加強講解函數知識。而通過構造函數法教學可以幫助學生進一步掌握函數的概念與性質，進而提升了學生的數學素養。教師要積極地引導學生運用構造函數法解題，從而提升學生的認知水平。

（二）促進學生思維能力的發展

構造函數法主要是對函數的一些性質進行研究，然后將這些性質與題目中的信息結合起來，從而得到一個新的函數。因此通過構造函數法解決數學問題，能夠給學生提供一種解題思路，幫助學生解決數學難題。同時構造函數法在解題中的運用還可以幫助學生加深對知識的理解，進而提高學生的數學思維能力與數學水平。因此高中數學教師在教學中，應該注重對構造函數法的運用，并引導學生利用構造函數法解題。對學生而言，他們數學思維的形成與發展，需要經過一個漫長的過程，而通過構造函數法解題可以培養學生良好的數學思維，使學生對數學知識的認知更加深刻，從而提高學生的解題能力。此外，在運用構造函數法解題時，還可以鍛煉學生的推理能力、邏輯思維能力等。由此可見，構造函數法不僅可以豐富學生對數學知識的認知，還能夠培養學生良好的數學思維。

四、構造函數法在高中數學解題中的應用范圍

（一）利用構造函數求解或證明參數范圍

在高中數學中，解參數區間是一個很受歡迎的題型。不同的習題，其解題思路是不一樣的，這要求學生對已有的條件有深刻的了解，再通過構建新的函數來使原來的問題變得熟悉。對同一格式的已知問題，通常要運用“同構”的方法將已知的條件進行變形，構造新的函數，并對新的函數特性進行研究，從而得到所要解決的參數。

比如，函數f（x）=x（1-lnx），設a，b是兩個非等正數

（二）利用構造函數計算變量的值

在高中數學中，計算變量的數值是比較普遍的。解題時，往往要借用函數的單元性，所以，如何在有限元法中靈活地使用各種方法，正確地確定一個函數的單調性是解題的關鍵。在這些問題中，為了減少求解困難，必須建立新的功能。雖然比較簡單，但卻是指數和對數的結合，如果思維不準確，將很難得到正確的答案。如果想解決這個問題，首先要將已知的條件進行變化，由異變同，由虛變實，再構造出兩個新的函數，并在此基礎上，對這兩個新的函數的單元性進行分析，找出其中的兩個特定點。

高中數學結構化思維具有很強的靈活性，在運用構造函數法時，學生要仔細地分析問題，認真地研究函數的表達式，只有確定問題的思路和方向，才能有效地解決問題。建構函數法是高中數學解題的一種主要方法，在課堂上，教師要注意對結構式的理解，在日常教學中讓學生體驗到具體的運用，并通過對問題的總結和思考讓學生積累知識，使學生在練習中得到更多的經驗，不斷地提高學生的數學基礎知識水平。

五、高中構造函數法在具體數學問題中的應用

鑒于高中數學知識的復雜性以及階段教學的緊迫性，教師必須對數學內容進行歸納，尤其是在各個學科間尋找相似點，并不斷完善，以歸納的方式來解決問題。

在高中數學教學中，均衡與等值級數是一個非常重要的概念。同時，高中數學往往會把數理知識和其他的數學知識相結合，并且非常注重學生對數字知識的綜合運用。在高中階段，教師不但要教導學生統一級數的概念、性質，而且要使學生得到一個通式的常用公式，以及觀察與總結。同時，教師也需要教授如何運用數理統計其他數學知識，讓學生進行實際的問題分析。

（一）運用構造函數法解析數學不等式

不等式是高中數學的一個重要知識，內容比較抽象，很容易根據不等式的基本性質改變題型，有些題型則結合其知識點來考查學生的能力，因此很難直觀看出不等式是否成立以及學生不能快速解析不等式。為此，教師必須利用構造函數的方法來解析不等式，其基本步驟是：依據題目的情況，合理地利用函數的特性，將不等式的條件轉化為函數，并對其進行分析，反復試驗，使問題得到最優解。

（二）二次函數構造的運用

在求解某些數字的數值區間時，可以用二次函數的構造來獲得。舉例而言，a²+b²+c²=1，a+b+c=1，a、b、c為常量，解a的值范圍。

在求解此類問題時，學生可以通過構造法的觀點對問題進行簡化，并進行合理的分析，得出1-a=c+b，1-a²=c²+（x-b）²=2×2-（b+c）²=0，則4（c+b）²-8（c²+b²）=0，就可以得到a的值區間。這個問題的關鍵在于，要將b²+c²和b+c看作一個完整的函數值，然后用二次函數來簡化運算，最后由不等式得到一個值區間。

（三）一次函數構造的運用

對某些基本不等式，或與圖像相結合的問題，教師可以先分析問題中的條件邏輯，然后依據方便原理構造一次函數，再利用數字與圖形相結合的方法，對數學問題進行直觀求解。這種一次函數與圖像相結合的方式，既能將題目條件與解題方式相結合，又能通過圖表直觀地分析出推理過程，有助于學生對有關數學概念的了解，從而使學生形成科學的數學思考能力。

（四）在數列題中的應用

在高中數學中，數列包括了等比、等差數列等內容，在高中數學中是一個非常困難的問題。關于數列的知識，往往要結合其他的數學知識進行命題，這是一個難點。在解決這類綜合性問題時，教師要指導學生熟悉各種類型的數列概念，以及通項公式的求解方法，打好數列學習的基礎；同時，教師要選取具有典型意義的問題，讓學生練習，在解決問題的同時，不斷地總結技巧，不斷地獲得經驗。

例題：已知｛a_n｝為等比數列，且a₁=2，a₈=4，函數f（x）=x（x-a₁）（x-a₁）（x-a₁）…（x-a₁）。求f′（0）的值。

這是一道關于函數與數列的綜合問題，解決問題的重點是對函數表達式及求解內容進行細致的解析，使用構造函數法列式：f（x）=xg（x），然后通過數列的性質來進行計算。令g（x）=（x-a₁）（x-a₂）（x-a₃）…（x-a₈），因此f（x）=xg（x），求導后得出f′（x）=g（x）+xg′（x）。可知，f′（0）=g（0）=a₁·a₂·a₃·…·a₈，因a₁=2，a₈=4，可知g（0）=a₁·a₂·a₃·…·a₈=（2×4）4=212。

六、結語

綜上所述，由于高中數學知識的復雜性，導致學生在學習過程中遇到了許多困難，因此教師必須不斷尋求更加科學的學習方式，并充分了解構造函數的優點和應用范圍。在教學過程中，教師不但要教授有關的概念、理論，還要運用具體的數學實踐例子，引導學生逐漸發展自己的數學思考能力，幫助學生解決問題。教師要鼓勵學生從多個視角探究同樣的數學問題，使學生能夠從事例中得到結論，并不斷優化問題的解決方案，從而發展學生的解題能力。在高中數學教學中，構造函數法的運用是一種十分重要的解題思路，對提高解題效率、解題質量具有十分重要的意義。因此，高中生要正確理解問題解決思維的重要性，掌握問題的本質與形式，并以此為依據，靈活地應用問題、解決問題，從而有效提高實際問題的解決能力。

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（責任編輯：向志莉）