導數壓軸題的多視角解法探究及其背景溯源
——以2023年天津卷與全國甲卷文科導數壓軸題為例

郭 蒙

(陜西省榆林市吳堡中學)

本文以多視角探究2023年天津卷高考數學與全國甲卷文科數學導數壓軸題的解法,揭示試題背后的背景,這兩道題綜合性強,區分度高,滿足了高考選拔高層次人才的要求,非常有必要探究.

1.高考試題呈現

(1)當a=1時,討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)+sinx<0,求a的取值范圍.

(1)求曲線y=f(x)在x=2處切線的斜率;

(2)當x>0時,證明:f(x)>1;

甲卷文科導數題將導數與三角函數巧妙地結合起來,通過對導函數的分析,考查函數的單調性等相關問題,通過導數、函數不等式等知識,深入考查了分類討論、化歸與轉化的思想,難度較大.甲卷第一問,天津卷前兩問都屬于基礎題,試題難度上進行了合理控制,體現了學科知識本質的基礎性,落實了高考內容改革,考查學生對基礎知識和基本方法的深刻理解及融會貫通的應用.甲卷(2)問聚焦學科核心素養,立意新穎,計算量大,巧妙地將一次函數、三角函數與函數的單調性等融合在一起,創新性極高.天津卷(3)問以斯特林公式、階乘等價量為背景,第三問繼前一問函數不等式進行應用,結合數列單調性思想,體現了函數與不等式的和諧統一,彰顯了試題的綜合性.

2.解法探究

2.1 甲卷試題解法探究

2.1.1 第(1)問的解法

2.1.2 第(2)問的證明

結論1：若f(x)≥0在[a,b](a,b為常數)上恒成立,且f(a)=0(或f(b)=0),則f′(a)≥0(或f′(b)≤0).

【證明】因為f(x)≥0在[a,b]上恒成立,且f(a)=0,所以存在t∈(a,b],使得f(x)在[a,t]上單調遞增,因此f′(x)≥0在[a,t]上恒成立,故f′(a)≥0.(f′(b)≤0證明方法類似)

結論2：若f(x)≥0在[a,b](a,b為常數)上恒成立,且f(a)=0,f′(a)=0(或f(b)=0,f′(b)=0),則f″(a)≥0(或f″(b)≤0).

【證明】因為f(x)≥0在[a,b]上恒成立,且f(a)=0,所以存在t∈(a,b],使得f(x)在[a,t]上單調遞增,因此f′(x)≥0在[a,t]上恒成立,又因為f′(a)=0,所以存在δ∈(a,t],使得f′(x)在[a,δ]上單調遞增,因此f″(x)≥0在[a,δ]上恒成立,故f″(a)≥0.(f″(b)≤0證明方法類似)

【評注】端點效應是必要性探路的一種特殊情況,利用端點效應求出的參數范圍并不一定就是所求的實際范圍,必須檢驗充分性.利用端點效應可以縮小參數的討論范圍,減少分類討論的類別,降低思維的成本.

解法一(端點效應)

【評注】本題可利用端點效應求解,并且證明充分性成立,即可證明充要性,2016年全國Ⅱ卷文科第20題,2017年全國Ⅱ卷文科數學第21題,2019年全國Ⅰ卷文科數學第20題,2022年全國Ⅱ卷第22題都可利用端點效應完美解答.利用端點效應可縮小參數的范圍,使得分類討論的問題得到簡化,端點效應為我們用分類討論解題提供了參數的分界點.

解法二(連續函數保號性)

當a≤0時,由解法一的充分性可知,滿足題意.

【評注】利用必要性探路可得到參數的分界點,以此分界點進行分類討論,進而完美的解答了此題.

解法三(零點存在定理)

【評注】此解法計算量較大,要求學生要有較強的數學運算能力,參數a的分界點可以利用端點效應得到,當a>0時,我們用零點存在定理推導出矛盾.高考導數題,命題人更傾向于考查學生分類討論思想的運用能力.

解法四(切線放縮法)

【評注】本解法要求學生具有較強的數學運算能力,當a>0時,利用切線放縮,推導出矛盾,進而得出參數的取值范圍.

解法五(分離參數)

【評注】本題參數a容易分離出來,但導函數比較復雜,為了得到導函數的符號,我們又構造了函數m(x),利用導數得到了m(x)>0,進而得到了h(x)為單調遞增函數,再利用導數定義求出了參數a的范圍,完美避開了由洛必達法則計算極限的問題.

解法六(凹凸性)

【評注】借助函數凸凹性以及切線斜率幾何意義,極大地簡化了問題,使得問題迎刃而解,提升了學生的直觀想象、邏輯推理等核心素養.

2.2 天津卷試題解法探究

2.2.1 第(1)問的解法

【評注】第(1)問屬于常規題型,突出基礎性要求.

2.2.2 第(2)問的證明

證法一(對數單身狗)

【評注】利用“對數單身狗”,將對數型函數獨立出來,構造函數,只需求一次導數,就可以證明不等式,降低了試題難度.

證法二(二階導數)

【評注】利用二階導數證明此不等式,難度大于方法一,從中也能看出對數單身狗可以降低試題難度,簡化解題過程.

2.2.3 第(3)問的證明

證法一(數列單調性)

【評注】第(3)問右邊等式比較容易證明,由于1=a1,猜測{an}單調遞減,因此只需證明{an}是遞減數列即可.

證法二(飄帶放縮)

證法一(飄帶放縮)

證法二(拆和法)

證法三(構造函數)

【評注】利用第二問的結論,構造函數,將不等式放縮,再利用裂項相消法,證明了不等式,ln2≈0.693.

證法四(帕德逼近)

2.3 背景溯源

甲卷解法七(泰勒公式)

【評注】泰勒公式為我們解題提供了新的視角,并且可以明確出題人的命題思路,看透題目的本質,以泰勒公式為背景命題,立意新穎,創新性極高,為學生高等數學的學習做鋪墊,具有選拔人才的作用,利用高觀點可以溯其源,究其本,在學習中可以適當給學生滲透相關知識,這樣可以讓師生深入剖析試題,準確把握命題的方向.在考試中,可以利用泰勒公式迅速得到參數的答案,做到心中有數,利用分類討論等方法完美解答問題.

天津卷證法五

【評注】斯特林公式為我們解題提供了新的視角,并且可以明確出題人的命題思路,看透題目的本質,以斯特林公式為背景命題,立意新穎,創新性極高,為學生高等數學的學習做鋪墊,具有選拔人才的作用,利用高觀點可以溯其源,究其本,今年這道高考題解法很多,讀者可以嘗試用數學歸納法等方法解答,ln2≈0.693,ln3≈1.099.

3.結語

2023年甲卷這道高考題,將三角函數、導數緊密聯系起來,是一道非常精彩的壓軸題,難度較大,創新性極高,真正起到了高校選拔性考試的作用.端點效應是解決含參數不等式恒成立問題的一個有力武器.天津卷高考導數壓軸題,經常引入高等數學背景下的數學問題,如2017,2019,2020,2022年分別以劉維爾不等式、拉格朗日中值定理、函數凹凸性、柯西不等式為背景,高等數學是初等數學的延伸和發展,高考作為高校的選拔性考試,一直關注兩者的銜接,在交匯點命題,這樣設計的試題,立意高遠,角度新穎,可以高屋建瓴地看問題.通過多種視角探究問題,培養學生的發散思維能力和創新精神,提高學生的解題能力,培養和發展學生的邏輯推理、數學運算等核心素養.用高觀點來指導高中數學的教學是很有必要的,高等數學與高中數學的有機結合,將問題化難為易.很多問題只有在高觀點下才能理解得更深刻,才能探索出數學問題的本質,因此在高三復習階段,師生應重視基礎,通過數形結合感受性質,重視導數與三角函數、數列等多元的融合,適當滲透高觀點去探究問題的本質,開闊解題思路,提高學生分析問題,解決問題的能力,進一步提升學生的數學學科素養,希望本文對讀者的學習有一定的啟發作用.