定比分點解答題,巧用坐標不聯立
——談“定比點差法”在解析幾何解答題中的妙用

唐 洵

(福建省福清第三中學)

近年高考圓錐曲線的解答題中,有一類定比分點的問題,既可以通過聯立直線與圓錐曲線得到答案,也可以使用“定比點差法”進行求解;相比聯立而言,“定比點差法”側重于點坐標的轉化與應用,具有計算量小、目的性強的優點,根據此方法可以解決與定點、定線、定值、定比相關的四類問題.

1.預備知識講解——兵馬未動,糧草先行

(1)一個定義：

說明:①若λ>0,則點P在線段AB上(不含端點位置);特別地,若λ=1,則點P為線段AB的中點;②若λ<-1,則點P在線段AB的延長線上;③若-1<λ<0,則點P在線段AB的反向延長線上;其中①中的點P為線段AB的內定比分點,②③中的點P為線段AB的外定比分點.

(2)一個結論：

(3)一種方法：

兩式相減可得,m(x1+λx2)(x1-λx2)+n(y1+λy2)(y1-λy2)=1-λ2,

形如這樣的方法叫作“定比點差法”,它可以看作是點差法的延伸,無論是橢圓、雙曲線還是拋物線中,若遇到定比分點問題,都可以考慮使用該法進行解題.

2.高考真題引航——腳踏實地,付諸實踐

下面先讓我們來看看“定比點差法”在近兩年高考解析幾何解答題中的應用.

(2)記C的左、右頂點分別為A1,A2,過點(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點,M在第二象限,直線MA1與NA2交于點P,證明:點P在定直線上.

圖1 2023新高考Ⅱ卷21題配圖

整理得x1-λx2=λ-1,

而x1+λx2=-4-4λ,

故點P在直線x=-1上.

(2)過點(-2,3)的直線交C于P,Q兩點,直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明:線段MN的中點為定點.

圖2 2023全國乙卷理20文21題配圖

由①可得,x1+2=-λ(x2+2) ③.

故線段MN的中點坐標為(0,3).

圖3 2022新課標乙卷理20文21題配圖

由①②③可知,y1=-λy2-2λ-2,

【題4】(2022新課標甲卷理20文21)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點D(p,0),過F的直線交C于M,N兩點.當直線MD垂直于x軸時,|MF|=3.

(1)求C的方程;(答案:y2=4x)

(2)設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當α-β取得最大值時,求直線AB的方程.

圖4 2022新課標甲卷理20文21題配圖

而MN為焦點弦,故x1x2=1,

即tanα=2tanβ,要使α-β最大,顯然tanβ>0,

3.四定問題展示——百花齊放,精彩紛呈

通過上述高考試題可以看出,“定比點差法”的應用極為廣泛,涉及三類圓錐曲線,事實上,我們主要利用該方法來處理“四定”問題,下面結合幾個模擬題進行展示.

3.1 定點問題

(2)記點A關于x軸的對稱點為M(異于B點),試問直線BM是否過定點?若是,請求出定點坐標;若不是,請說明理由.

則y1+λy2=y1-μy2=0,故λ=-μ.

而M(x1,-y1),B(x2,y2)在橢圓C上,

兩式相減整理得,x0(x1-μx2)=8-8μ,

即x0(x1+λx2)=2x0(1+λ)=8+8λ,

解得x0=4,故直線BM過定點(4,0).

3.2 定值問題

【題6】(2023岳陽一模)已知直線l1:y=2x和直線l2:y=-2x,過動點E作平行l2的直線交l1于點A,過動點E作平行l1的直線交l2于點B,且四邊形OAEB(O為原點)的面積為4.

則λx1=1+λ,μx2=1+μ,

兩式相加得,λx1+μx2=2+λ+μ,

相減可得,λx1-μx2=λ-μ;

同理可得,λy1-μy2=0.

因為點P,Q在曲線E0上,

3.3 定線問題

【題7】(2023淄博一模)已知拋物線C:y2=2px(p>0)上一點P(2,t)到焦點F的距離為3,A,B為拋物線C上異于原點的兩點.延長AF,BF分別交拋物線C于點M,N,直線AN,BM相交于點Q.

(1)若AF⊥BF,求四邊形ABMN面積的最小值(答案:32);

(2)證明:點Q在定直線上.

由兩點弦方程可知,

直線AN:4x=(y1+y4)y-y1y4,

同理可得,

3.4 定比問題

由于x1,x2是變量,故-λ=μ,即λ+μ=0,

4.題后反思小結——錦上添花,畫龍點睛

問題1：當題目給出哪些信息時,可以使用“定比點差法”?

答：若能從題設條件中挖掘出A,B,P三點共線,其中A,B為圓錐曲線上的動點,P為已知定點時,可以考慮使用“定比點差法”.

問題2：在利用A,B,P三點共線構建向量關系式時,要注意什么?為什么?

問題3：你能談談“定比點差法”的大致步驟嗎?

答：①作圖覓關系:繪制相關圖形,在圖形中尋找出三點共線的條件,其中有兩個動點在圓錐曲線上,一個點為已知定點;

③依題乘系數:根據題設條件乘以相應的系數,若是只有一組三點共線,則一般情況下將點N滿足的圓錐曲線的方程乘以λ2即可;若是有兩個關系式,則一般需要將其中兩個點的坐標方程分別乘以λ2,μ2;

④作差再替換:將兩個方程對減,利用平方差公式分解后,再結合②中結果,根據問題的導向進行變形,此時可以使用整體替換變形,不需要求出每個點的坐標,如題5,6,8;也可以分而治之擊破,即用λ,μ等未知量表示每個點的坐標,如題1,2,3,4,7.