應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法定量分析單縫衍射的衍射圖樣

楊文明

(山東省煙臺第三中學(xué))

人教版高中物理教材定量分析了光的雙縫干涉條紋特征,而對于單縫衍射問題,教材未定量展開,但這并不妨礙高中生對定量探究單縫衍射圖樣心生好奇。新課標(biāo)注重提高全體學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng),本文介紹旋轉(zhuǎn)矢量法,討論如何應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法定量分析單縫衍射的衍射圖樣,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力,加深對光的衍射規(guī)律本質(zhì)的理解,引導(dǎo)學(xué)生知其然,更知其所以然。

生活中有很多光的衍射現(xiàn)象:早晨或傍晚,透過羽毛看太陽,可以看到彩色的太陽光如圖1(a);黑夜里,打開手機(jī)閃光燈后拍攝光盤,可以看到漂亮的光圈;如圖1(b)在激光光束的傳播路徑上,放置一個直徑略微小于光束直徑的小鋼球,在小鋼球后方,光束陰影的中央出現(xiàn)一個亮斑,如圖1(c)。這些都是光的衍射現(xiàn)象,反映了光的波動性。

圖(a)透過羽毛看太陽,看到彩色的光

光繞過障礙物偏離直線傳播的現(xiàn)象即是光的衍射。“衍”字的本意是什么呢?

甲骨文“衍”字的外部表示水流的邊界,中間是河流之形,如圖2。這是一個具有畫面感的文字,仿佛可以看到夏季大雨過后,雨水匯集在河溝,水頭奔涌向前。因水在向前流動時(shí)又沿途自然分散開,故“衍”字引申為“漫延”之意。用“衍”字定義光繞過障礙物偏離直線傳播的現(xiàn)象,相當(dāng)準(zhǔn)確、傳神。

圖2 “衍”字的甲骨文

2022年山東省高考第10題對單縫衍射知識進(jìn)行了深度考查。題目如下:某同學(xué)采用圖3甲所示的實(shí)驗(yàn)裝置研究光的干涉與衍射現(xiàn)象,狹縫S1、S2的寬度可調(diào),狹縫到屏的距離為L。同一單色光垂直照射狹縫,實(shí)驗(yàn)中分別在屏上得到了圖3乙,圖3丙所示圖樣。下列描述正確的是

( )

甲

A.圖3乙是光的雙縫干涉圖樣,當(dāng)光通過狹縫時(shí),也發(fā)生了衍射

B.遮住一條狹縫,另一狹縫寬度增大,其他條件不變,圖3丙中亮條紋寬度增大

C.照射兩條狹縫時(shí),增加L,其他條件不變,圖3乙中相鄰暗條紋的中心間距增大

D.照射兩條狹縫時(shí),若光從狹縫S1,S2到屏上P點(diǎn)的路程差為半波長的奇數(shù)倍,P點(diǎn)處一定是暗條紋

可以看出,B選項(xiàng)考查的是狹縫寬度改變后,中央亮條紋寬度如何變化。人民教育出版社高中2019版新教材,選擇性必修一第98頁,對于“狹縫寬度改變后,中央亮條紋寬度如何變化”這一問題的處理相對簡單,僅給出了紅光分別經(jīng)過0.4 mm 和0.8 mm的單縫形成的衍射圖樣。密立根說:“科學(xué)靠兩條腿走路,一是理論,一是實(shí)驗(yàn)。有時(shí)一條腿走在前面,有時(shí)另一條腿走在前面,但只有使用兩條腿,才能前進(jìn)”。高中學(xué)生,尤其是高二的同學(xué)或參加競賽學(xué)習(xí)的同學(xué),具備矢量運(yùn)算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),難免對定量探究單縫衍射圖樣心生好奇。為了加深對光的衍射規(guī)律的物理本質(zhì)的理解、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力,本文介紹旋轉(zhuǎn)矢量法,討論如何應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法定量分析單縫衍射的衍射圖樣。

1.旋轉(zhuǎn)矢量法

圖4 旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在x軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動為簡諧運(yùn)動

2.同一直線上兩個同頻率簡諧運(yùn)動的合成

如圖5,設(shè)有兩個同頻率的簡諧運(yùn)動

x1=A1cos(ωt+φ1),x2=A2cos(ωt+φ2)

圖5 兩個同頻率的簡諧運(yùn)動的合運(yùn)動

0時(shí)刻,兩個同頻率簡諧運(yùn)動的合運(yùn)動可以表示為x=x1+x2=A1cosφ1+A2cosφ2

合運(yùn)動可以表示為x=Acosφ

任意時(shí)刻,兩個同方向同頻率簡諧運(yùn)動合成后仍為同頻簡諧運(yùn)動,由矢量合成公式知

應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法求合振幅可以用圖6表示。

圖6 應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法求合振幅

由此拓展開來,多列簡諧波x0=A0cosωt,x1=A1cos(ωt+φ1),x2=A2cos(ωt+φ2),xn=Ancos(ωt+φn),其相干疊加可以用圖7表示。

圖7 多列簡諧波的疊加

3.應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法推導(dǎo)單縫衍射的光強(qiáng)公式

圖8 單縫衍射光路圖

如圖9所示,P處的合振幅Aθ就是各子波的振幅矢量和。光屏上不同的P點(diǎn)對應(yīng)的θ不同,Aθ亦不同,即光屏上光強(qiáng)不同。

圖(a)N個子波的振幅矢量和

可以求出多縫干涉的合振幅Aθ

在衍射圖樣中心處θ=0,因而狹縫上相鄰兩光帶之間的相位差也為0。如圖10所示。

圖10 衍射圖樣中心P0處的振幅

在這種情況下,向量箭頭首尾相接地排成一條直線,因而合成的振幅具有極大值A(chǔ)0,P0處振幅表達(dá)式為A0=NA

于是,P點(diǎn)的振幅大小可寫成

由于光的強(qiáng)度與振幅的平方成正比,若P0處的光強(qiáng)為I0,則P處的光強(qiáng)I為

4.單縫衍射圖樣的定量分析

4.1 衍射光強(qiáng)最大值

衍射光強(qiáng)的最大值在θ=0的位置,此時(shí),N個子波振幅矢量排在一條直線上,合振幅最大,即光強(qiáng)最大。

4.2 衍射光強(qiáng)極小值(暗紋)的位置

由此發(fā)現(xiàn),在其他條件相同時(shí),波長越長,光的衍射現(xiàn)象越明顯。現(xiàn)如今,5G、人工智能、自動駕駛等領(lǐng)域飛速發(fā)展,芯片集成度不斷提高,晶體管尺寸在不斷縮小,因此要生產(chǎn)更小的晶體管,減少因?yàn)楣獾难苌湓斐傻挠绊?就需要波長更短的光源,這就是高科技公司在研發(fā)EUV(Extreme Ultra-violet)光刻機(jī)的原因。

4.3 衍射光強(qiáng)的分布曲線

圖11 衍射光強(qiáng)的分布曲線

進(jìn)一步計(jì)算,可以得到單縫衍射各次級大的位置和相對光強(qiáng),如表1。

表1 單縫衍射極大值的位置和相對光強(qiáng)

4.4 中央亮條紋寬度

光屏上中央亮條紋的寬度

回到上述高考題,B選項(xiàng)中,遮住一條狹縫,另一狹縫寬度增大,狹縫越大,衍射條紋越窄,圖3丙中亮條紋寬度減小,故B錯誤。

愛因斯坦說過“宇宙最不可理解之處,就是它可被理解”。應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法定量分析單縫衍射的衍射圖樣,可以加深學(xué)生對光的衍射規(guī)律的理解,進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)物理的熱情,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的科學(xué)思維能力,加深對光的衍射規(guī)律本質(zhì)的理解。平時(shí)教學(xué)中,注重對物理概念、規(guī)律的深刻理解,不僅可以拓展學(xué)生的知識面,引導(dǎo)學(xué)生知其然,更知其所以然,而且對高中教育與高等教育的銜接也是有益的,因此,建議中學(xué)物理教師多做些這樣的嘗試。