簡諧運動的深度剖析
——以機械振動常考題型為例

江秋萍

(福建省漳州第一中學)

簡諧運動在生產生活中應用比較廣泛,但學生對簡諧運動的直接體驗較少,而簡諧運動的知識規律抽象、難懂。本文深度挖掘簡諧運動的特征,剖析運動本質,旨在幫助學生更深刻地認識簡諧運動規律,厘清思路,快速尋找解題入手點。本文從簡諧運動的相關物理量推理、典型例題解析、解題思路歸納總結三個角度對簡諧運動的知識點進行梳理,引導學生由淺入深、由表及里地分析和解決問題,培養科學的學習方法,讓學生真正理解物理學科內涵,提高物理核心素養。

一、簡諧運動的相關物理量推理

(一)簡諧運動周期公式

如圖1所示,小球從最高點開始做勻速圓周運動,經過t時間,轉過的圓心角為θ,則θ=ωt,小球做勻速圓周運動的向心力大小為F=mω2A(A為矢量圓的半徑),小球的水平分運動是簡諧運動,說明向心力的水平分力在提供小球水平方向做簡諧運動的回復力,即F回=mω2Asinθ。

圖1 矢量圓的水平分運動為簡諧運動

簡諧運動回復力與位移關系F回=-kx。(這里負號僅代表回復力與位移方向相反)

小球水平投影的位移為x=Asinθ

(二)簡諧運動能量公式

小球圓周運動的線速度大小v=ωA

縱觀高中物理,能量的本質較為抽象,且很大程度上是通過能量的守恒體現出來的。其推理的中間過程比較煩瑣,但結論相對固定,故而在高中階段可以考慮將“能量本質觀”做隱形處理,并將其作為二級結論來使用。以下從簡諧運動的兩個常見模型進一步驗證簡諧運動的能量公式。

1.彈簧振子模型

圖2 水平彈簧振子

2.單擺模型

如圖3所示,不可伸長的輕繩上端系在天花板上,下端懸掛一個質量為m的小球,擺長為l,不計空氣阻力,則單擺在擺動過程中的機械能等于擺球的重力勢能和動能的總和。假設小球在擺動過程中最低點處為零勢能點,則小球在擺動到最高點時所具有的重力勢能為Epm=mgl(1-cosθ)

圖3 單擺

(三)回復力系數k值的物理意義

(四)簡諧運動對稱性思想和振動圖像問題

圖4 簡諧運動x-t圖像

二、典型例題解析

1.(2023·山東卷改編)(多選)如圖5所示,沿水平方向做簡諧振動的質點,依次向右通過相距L的A、B兩點。已知質點在A點的位移大小為振幅的一半,B點處于最大位移處,質點向右經過A點時開始計時,t時刻第一次經過B點,該振動的振幅和周期可能是

( )

A.2L,3tB.2L,6t

圖5

【答案】BC

【試題分析】本題截取簡諧振動的部分運動為情境,分析質點可能的運動情況,求解相應的振幅和周期,考查的必備知識包括簡諧運動的周期性和對稱性問題,主要考查學生的理解能力、模型建構能力、以及學科素養中的物理觀念和科學思維,突出考查基礎性和應用性特點。

圖6

由題意可知tb-ta=t

解得T=6t

解得A=2L

圖7

tb-ta=t

解得T=3t

2.(2022·湖南卷改編)下端附著重物的粗細均勻木棒,豎直浮在河面,在重力和浮力作用下,沿豎直方向做頻率為1 Hz的簡諧運動,與此同時,木棒在水平方向上隨河水做勻速直線運動,如圖8(a)所示。以木棒所受浮力F為縱軸,木棒水平位移x為橫軸建立直角坐標系,浮力F隨水平位移x的變化如圖8(b)所示。已知河水密度為ρ,木棒橫截面積為S,重力加速度大小為g。則x從0.21 m到0.25 m的過程中,木棒加速度方向豎直________(填“向上”或“向下”),大小逐漸________(填“增大”或“減小”),木棒在豎直方向做簡諧運動的振幅為________。

圖(a)

【試題分析】本題以木棒在水中做簡諧運動為背景,考查了簡諧運動的加速度變化規律和振幅的求解。主要考查學生構建理想模型的意識和能力、分析論證能力以及利用F-x圖像靈活處理信息能力。培養學生的關鍵能力和必備品格,即能夠應用知識解決實際問題的能力,形成嚴謹的科學態度與責任。

【解題思路】木棒在豎直方向做簡諧運動,由簡諧運動的對稱性可知,0.1 m、0.3 m、0.5 m時木棒處于平衡位置,x從0.21 m到0.25 m的過程中,木棒從平衡位置上方向下運動(未到平衡位置),位移豎直向上,加速度豎直向下,大小逐漸變小。

【解題技巧】通過簡諧運動的證明,可以將k值求解出來,這對于簡諧運動周期和振幅的求解有重要意義。原題還對圖8(b)進行深度考查,學生會誤認為這幅圖為波動圖,實際上這是一幅振動圖像,圖像表示的是同一根木棒在不同位置對應不同時刻所受的浮力大小,浮力最大時,木棒處在最低點處,浮力最小時,木棒處在最高點處。而木棒的實際運動速度是由豎直方向的簡諧運動和水平方向隨水流做勻速直線運動的矢量疊加。

( )

圖9

B.小球的最大加速度為g

【參考答案】D

【試題分析】本題以彈簧振子模型為背景,考查簡諧運動的動力學特征和能量問題。涉及的必備知識包括機械能守恒定律、牛頓運動定律和對稱性思想。主要考查學生的理解能力、建模能力、推理能力,突出考查知識的應用性。

【解題技巧】簡諧運動的最大回復力與振幅有關,F回max=-kx,此時|x|=A,可以求得簡諧運動的振幅A,再利用簡諧運動總能量公式可以求動能、勢能等物理量。

4.(多選)如圖10所示,半徑為R的光滑圓弧槽和半徑為4R的光滑圓弧槽在B處平滑相連,兩圓弧槽的曲率圓圓心O1、O2連線為同一豎直線且過B點。質量為m的小球半徑為r,r?R。小球在A處(擺角θ約為5°)由靜止釋放,沿兩圓弧槽內表面做來回運動,在右側曲面上最遠能運動到C點。已知重力加速度為g,則下列說法正確的是

( )

圖10

A.小球在B點兩側圓弧槽內的運動均為簡諧運動

C.小球在B點兩側所走的最大弧長相等

D.若擺球在平衡位置右側的最大擺角為α,則θ=2α

【參考答案】ABD

【試題分析】本題以等效單擺的擺長可變為情境,涉及的必備知識為單擺的周期公式和能量公式,通過能量守恒算出兩個圓弧槽上的振幅關系。主要考查學生的理解能力、推理能力和知識的遷移應用能力,培養學生核心素養中的科學觀念,形成物質觀、運動觀和能量觀的素養。

三、簡諧運動解題思路歸納總結

求解簡諧運動問題的思路如下:

本文通過引導學生深度學習簡諧運動的特點和相應題型的解題思路,其核心是對簡諧運動概念的深度理解,最終目的在于使學生達到高階思維、能夠靈活應用知識解決實際問題的能力。物理學家勞厄曾說過:“重要的不是獲取知識,而是發展思維能力,教育無非是一切都忘掉的時候所剩下來的東西。”教師在一線教育教學中可以對知識難點進行深度剖析,引導學生通過深度學習來提高學生的科學思維能力,使學生打下扎實物理的基礎內容,掌握基本規律,更好地將知識點遷移和應用,提高學生的物理核心素養。