基于符號回歸方法探索磁性斯格明子結構近似解析式*

史猛 王偉偉 杜海峰

1) (中國科學院合肥物質科學研究院,強磁場科學中心,合肥 230031)

2) (中國科學技術大學,合肥 230026)

3) (安徽大學物質科學與信息技術研究院,合肥 230601)

1 引言

磁性斯格明子是一種特殊的拓撲磁結構[1],如圖1(a)和圖1(b)所示,存在于具有由反轉對稱性破缺誘導的Dzyaloshinskii-Moriya (DM)相互作用的手性鐵磁材料或多層膜體系中[2–5].由于其獨特的拓撲保護性、非易失性、小尺寸以及低能耗的驅動特性,磁性斯格明子在自旋電子器件領域具有廣泛的應用前景,尤其是在不同條件下的靜態與動態特性引起了廣泛興趣.磁性斯格明子的特性與其自身的結構密切相關,因此研究其在不同相互作用下的結構變化具有重要意義.

圖1 磁性斯格明子結構 (a) 布洛赫型斯格明子;(b) 奈爾型斯格明子;(c)單磁疇壁Fig.1.Magnetic skyrmion structures: (a) Bloch-type skyrmion;(b) Néel-type skyrmion;(c) magnetic domain wall.

目前,一般的磁結構如磁疇壁(圖1(c))已經有了精確且普適的結構解析式,這些解析式可以直觀地展現不同相互作用對磁疇壁結構的影響.然而,對于磁性斯格明子而言,并不存在這樣一般性的精確解析式.研究者們提出了一些近似公式來描述其基本結構.例如,對于較大半徑的磁性斯格明子,Braun[6]基于顯式一維疇壁結構提出了初步模擬方法,這在結構和動力學特性的檢測中得到了廣泛應用[7–10].在易軸磁各向異性模型的情況下,Komineas 等[11,12]針對不同半徑的磁性斯格明子獲得了漸進意義上精確的結構圖像,甚至擴展到中等半徑大小的磁性斯格明子[13].然而,上述結果仍然是基于經驗性公式的近似推導.隨著對磁性斯格明子的實驗研究日益精細,上述公式逐漸難以滿足解釋實驗現象的需求.因此,如何更高效地獲取更精確、更普適的磁性斯格明子結構解析式,以及這些解析式的具體形式,都迫切需要研究者們的深入探討.

當前,隨著人工智能技術的迅猛發展,利用機器學習等人工智能技術從實驗和計算模擬產生的數據中捕捉不同物理量之間的關系[14–17],構建能夠合理解釋體系變化的模型和公式,在物理研究領域得到了廣泛應用[18–21].在眾多機器學習方法中,符號回歸方法是一種強大的數據驅動模型構建方法.與一般的參數回歸方法不同,符號回歸方法無需預先指定模型或公式的初始結構.它通過遺傳規劃等方法,能夠同時搜索數學解析式的形式以及內部參數的數值,因此在很大程度上不依賴于既有知識,卻能夠生成一系列在理解物理體系方面具有參考價值的公式.對于那些變量之間聯系模糊、整體變化理解不夠深刻的物理體系,符號回歸方法成為一項強有力的工具.

本文一方面提供了通過符號回歸方法處理磁結構數據,獲得更精確、更普適的描述磁性斯格明子的結構解析式的新思路;另一方面將符號回歸方法實際運用到由微磁學模擬以及數值計算得到磁結構數據處理中,獲得描述二維磁性斯格明子的結構近似解析式.首先概述研究所需的磁性斯格明子理論研究成果以及符號回歸方法的整體框架構建;其次描述并討論通過符號回歸方法處理磁結構數據的結果;最后做出總結.

2 模型與方法

2.1 磁性斯格明子理論模型

本文考慮了具有交換相互作用、DM 相互作用、磁各向異性以及外部靜磁場的二維鐵磁性材料薄膜.微磁結構通過單位磁化矢量m=m(x,y)描述,即m2=1,其體系能量表達式為[13]

其中,A,D和K分別是交換相互作用常數;DM相互作用常數以及磁性各向異性常數,外部靜磁場h=H/Ms,其中Ms為 飽和磁 化強 度,eDM為塊體形式下的DM 相互作用單位矢量:(?μm×m),μ=1,2.同時,引入特征長度[13,22]:

其中,lex為交換長度;lw為疇壁寬度;lD給出了強DM 相互作用的螺旋疇周期.在微磁模擬或數值計算中,為了簡化問題和降低運算成本,通常將所研究的體系劃分成一個個的網格且一個網格區域內的所有磁矩被簡化為一個磁矩,而交換長度lex決定了相鄰磁矩之間存在相互作用的最大距離,lw和lD則給出了一個具體磁結構的大小,因此為了計算結果符合實際,網格尺寸不能大于以上三個特征長度.由于在參數設置符合實際的情況下,三個特征長度中最小的通常是交換長度lex,因此本文使用lex作為長度的單位,并依此將磁各向異性常數和DM 相互作用常數無量綱化,且假設外部靜磁場垂直于鐵磁性材料薄膜表面:

從而體系能量表達式修正為

使用磁化矢量的球面角 (Θ,Φ),具有軸對稱的磁性斯格明子解可以通過極坐標 (r,φ) 來表示,其中角Θ滿足下列方程:

下文將使用這樣的約定: 在斯格明子中心Θ(r=0)=π,在空間無窮大r→∞處,Θ=0.

2.2 符號回歸方法

隨著二十世紀末計算機技術和機器學習的迅猛發展,當時的研究者開始探索一種能夠自動編寫軟件代碼的編程解決方案,而符號回歸方法是其中相對較新的算法結構之一.這一方法最初是由John Koza[23]基于他的導師John Holland 所提出的遺傳算法改進而來.遺傳算法基于達爾文的進化論,采用種群進化和優勝劣汰的方式來選擇最優模型.然而,遺傳算法主要用于參數優化,需要預先提供一個已知的公式形式,因此難以解決尋找未知公式以描述數據內在聯系的問題.John Koza 創新地采用二叉樹結構來表示公式形式(圖2(a)),并通過遺傳算法對公式形式和內部參數進行優化,從而找到最佳解.因此,符號回歸方法無需預先設定公式形式,研究者只需提供一組數據,該方法便能從數據中總結出能夠描述數據內在聯系的表達式.

圖2 符號回歸算法中二叉樹結構與遺傳操作示意圖 (a) 用二叉樹表示公式形式;(b) 復制操作;(c) 交叉操作;(d) 變異操作Fig.2.Binary tree structure and schematic diagrams of genetic operations in symbolic regression: (a) Representing the formula in binary tree form;(b) copy operation;(c) crossover operation;(d) mutation operation.

符號回歸方法搜索最優公式的大致流程如圖3 所示,具體步驟如下:

圖3 符號回歸方法流程圖Fig.3.Flowchart of the symbolic regression.

1)設定初始算術符號集,確定運行過程中的設置條件如結束條件等;

2)生成初始種群(即初始公式集);

3)按預測結果與數據結果之間的誤差大小以及公式的復雜度來評估初始種群;

4)通過復制、交叉以及變異操作(圖2(b)—(d))從原種群中生成新的種群;

5)重復步驟3)和步驟4),直至滿足結束條件,并根據評估結果將生成的公式集進行排序.

采用SymbolicRegression.jl 包(SR.jl)[24]來搜索磁性斯格明子結構解析式,并用均方差來評估所得公式對于數據的符合度,其形式為

其中,N為樣本數量;yi,o與yi,p分別為樣本真實值與預測值.同時根據公式復雜度,即

式中,Nvar,Nconst與Nop分別為一個公式中的變量數量、常數數量與算符數量,E為所評估的公式.從低到高列出每個公式復雜度下符合度最高的公式與其對應的均方根誤差大小,來對搜索到的公式進行篩選,即帕累托最優分析,從而避免過擬合的出現.

3 利用符號回歸算法求解磁性斯格明子結構近似解析式

3.1 通過搜索一維單磁疇壁結構解析式驗證符號回歸算法

首先為了驗證符號回歸算法對于搜尋具體磁結構解析式的能力,使用一維單磁疇壁解析式:

可以得到磁疇壁的結構數據,并用符號回歸算法基于該結構數據來搜索公式,結果顯示,符號回歸算法成功搜索到了(8)式.

為進一步增加挑戰,采用JuMag 微磁學模擬程序,通過改變交換相互作用常數和磁各向異性常數,生成了一系列的一維單磁疇壁結構數據,以供符號回歸算法進行公式搜索.然而,微磁學模擬得到的磁疇位置是未對齊的,通過中心校準算法與符號回歸算法的耦合,運用符號回歸算法進行公式搜索,結果顯示符號回歸算法成功地搜索出(8)式.圖4 展示了符號回歸算法搜索得到的(8)式與經過處理的一維單磁疇壁結構數據的擬合情況.

圖4 不同A 與K 值下,(8)式擬合結果與一維單磁疇壁結構模擬數據比較圖 (a) A=1×10–12 J/m,K=1×103 J/m3;(b) A=5×10–12 J/m,K=2×103 J/m3;(c) A=13×10–12 J/m,K=3×103 J/m3Fig.4.Comparison between the fitting results of Eq.(8) and simulation data of one-dimensional magnetic domain wall under various values of A and K: (a) A=1×10–12 J/m,K=1×103 J/m3;(b) A=5×10–12 J/m,K=2×103 J/m3;(c) A=13×10–12 J/m,K=3×103 J/m3.

3.2 使用符號回歸算法搜索磁性斯格明子結構近似解析式

關于磁性斯格明子結構數據,通過Matlab 軟件中的bvp4c 函數求解二階常微分方程((5)式)來獲取.邊值條件為Θ(r=0)=π ;r→∞處,Θ=0,其中r→∞在實際計算中用r=5 來替代.同時,為了簡化問題的復雜度并考慮到磁各向異性對于磁性斯格明子結構的影響較為特殊,因此在生成磁性斯格明子結構數據時,未將磁各向異性作用考慮在內,即κ=0.通過改變DM 相互作用以及外部靜磁場的大小,生成了56 組二維磁性斯格明子結構數據,并分別運用符號回歸算法來搜索解析式.根據結果以及帕累托最優分析(圖5),總共發現了兩個相對合適的磁性斯格明子結構近似解析式,這兩個解析式的形式為

其中,c表示任意常數.在不同參數下,搜索到的兩個解析式在磁性斯格明子結構數據的符合度方面互有勝負.為了進一步深入研究這兩個解析式誰更符合磁結構數據的條件,對所獲得到的數據做了綜合分析.發現在特定情況下,即λ2/h≤0.16 時,(10b)式符合更好;而在另一情況下,即λ2/h>0.16時,(10a)式更為吻合.具體結果如圖6 所示.

接著,基于參數的設定對搜索的公式進行初步分析.首先,兩個解析式共同的特點是它們都包含雙曲正切函數,且這一函數位于解析式計算的最后一步,這一點確定了磁性斯格明子的基本結構,與磁性材料中的交換相互作用相關聯;這兩個解析式的不同點是雙曲正切函數中包含的另外一種一元函數.在DM 相互作用與外部靜磁場相比較小時,該一元函數為對數函數,該函數在拐點處的變化較為急劇,表明雖然DM 相互作用導致了磁性斯格明子的生成,但由于外部靜磁場是主要因素,DM相互作用的影響受到壓制,從而導致磁性斯格明子尺寸較小.Romming 等[7]的研究中也展示了斯格明子尺寸隨著垂直外磁場的增大會逐漸減小的現象.而在DM 相互作用與外部靜磁場相比較大時,該一元函數為平方根函數,其在拐點處的變化較為平緩,這表明隨著DM 相互作用的增大,其影響范圍擴大,逐漸占據主導地位,因此磁性斯格明子尺寸增大.在Wu 等[25]的研究中,表明了斯格明子的尺寸與A和D的比值大小有關,隨著A/D值的減小,斯格明子尺寸逐漸增大,即意味著D的增大會導致斯格明子尺寸的增大,這和本文的結果是一致的.

隨后,再次運用符號回歸算法,針對先前搜索出的兩個解析式中的常數項關于λ和h來進行公式搜索,從而探尋兩個解析式中的常數項與這兩者之間的關系.將得到的關系式分別代入(10a)式與(10b)式中,其結果為

其中,

接下來,選取了4 個λ2/h的關鍵數值所對應的磁性斯格明子結構數據,分別代入(11a)式與(11b)式,如圖7 所示,擬合結果仍然相當良好.因此,將DM 相互作用、外部靜磁場以及磁性斯格明子結構近似解析式緊密聯系起來,得到了一個更為普適的結論.

圖7 不同 λ2/h 大小下 (11a)式或(11b)式的擬合情況 (a) 0.01;(b) 0.16;(c) 0.167;(d) 0.9Fig.7.Fitting results of Eq.(11a) or Eq.(11b) under various λ2/h values: (a) 0.01;(b) 0.16;(c) 0.167;(d) 0.9.

最后為了檢驗所得(11a)式與(11b)式的泛化能力,本文又另外生成6 組數據進行擬合,其結果如圖8 所示.(11a)式與(11b)式仍然擬合得較好,說明符號回歸算法搜索到的這兩個公式具有較強的泛化能力,這進一步證實了符號回歸方法在搜索磁性斯格明子結構近似解析式方面的強大能力.

圖8 不同 λ2/h 大小下,(11a)式或(11b)式的擬合情況 (a) 0.009;(b) 0.015;(c) 0.139;(d) 0.192;(e) 0.227;(f) 0.769Fig.8.Fitting results of Eq.(11a) or (11b) under various λ2/h values: (a) 0.009;(b) 0.015;(c) 0.139;(d) 0.192;(e) 0.227;(f) 0.769.

4 結論

本文首先通過搜索一維單磁疇壁結構解析式,初步驗證了符號回歸算法的應用潛力,隨后通過求解二階常微分方程,獲取不同DM 相互作用和外部靜磁場大小下的磁性斯格明子結構數據.借助符號回歸算法,對這些數據進行公式搜索,得到了兩個適合的結構近似解析式: 在λ2/h≤0.16 時,(8b)式擬合效果較佳;在λ2/h>0.16 時,(8a)式表現更優.同時,對解析式中函數的構成進行了分析: 當DM 相互作用與外部靜磁場相比較小時,磁性斯格明子結構與對數函數相聯系;在DM 相互作用與外部靜磁場相比較大時,磁性斯格明子結構與平方根函數相聯系.不過,無論何種情況,雙曲正切函數始終決定了磁斯格明子的基本結構.最后,再次運用符號回歸算法,將上述兩個解析式中的常數項與DM 相互作用以及外部靜磁場相關聯,以使上述兩個解析式具有普適性.本文提出了使用符號回歸算法研究磁性斯格明子結構的新方法,同時通過符號回歸算法初步探索了磁性斯格明子結構近似解析式,驗證了符號回歸算法在該研究領域中的強大能力.