基于PLS等價權回歸的系統諧波阻抗計算

錢永亮，唐明淑，陳 波，郭 成，馮 躍

（1. 云南電網有限責任公司文山供電局，云南 文山 663099；2. 昆明理工大學 電力工程學院，昆明 650500）

0 引言

隨著非線性負荷和新型電力電子器件的投入，電力系統的諧波污染問題受到越來越多的重視，諧波源注入系統的諧波電流會降低鄰近饋線用戶的電能質量，嚴重時甚至危及電力系統正常運行［1-2］。因此，確定系統諧波超標用戶的獎懲方案十分必要，定量分析用戶諧波發射水平、明確劃分用戶諧波責任是獎懲方案實施的前提［3-4］。通常通過系統側和用戶側在PCC（公共連接點）對諧波電壓的貢獻率來衡量其諧波責任，評估用戶諧波發射水平的關鍵是系統側諧波阻抗的計算［5-6］。

主導波動量法采用統計學中奈爾系數檢驗法篩選出用戶主導波動量樣本，修正用戶諧波水平。該方法可消除背景諧波的影響，克服原始波動量方法中只根據比值符號不能判斷諧波電壓波動的主導側的缺點，提高計算精度［7-8］。二元線性回歸法通過將PCC 處測得的電壓、電流數據進行實部和虛部分離后，構造回歸方程，求取系統諧波阻抗。相比于主導波動量法，二元線性回歸法能夠估計出諧波復阻抗中的實部和虛部，缺點是缺乏對奇異值的處理，且背景諧波波動時誤差難以估計［9-10］。

隨機獨立矢量協方差方法利用概率論中兩隨機矢量協方差為零的性質，近似認為PCC 處的電流與背景諧波電壓無關，削弱了背景諧波電壓的影響。但是隨著系統諧波發射水平的提高，計算誤差增大，僅在一定的系統諧波發射水平范圍內具有較好的準確度［11-15］。基于LS（最小二乘法）等價權的回歸法，以LS 初值進行迭代。LS 屬于平方逼近，當存在異常值時，為了遷就異常值，使得回歸方程偏差變大，無法克服異常值的影響，數據處理上會帶來誤差［16］。

獨立分量法［17］是最近幾年發展起來的一種盲源分離算法，利用統計數據的獨立性將原有信號進行分解，得到獨立分量，利用LS 求解回歸系數，得到待求量，但數據微弱相關性的影響不可忽略，計算準確度不夠理想。

PLS（偏最小二乘法）利用PCC 處測量得到的諧波電壓和諧波電流數據，對數據進行分解篩選，提取對因變量解釋性能最強的綜合變量，有效辨識信號中的噪聲和信息，克服了由于建模變量具有相關性而導致回歸結果存在誤差的缺點，但其未考慮測量數據中存在較大誤差或存在異常值的影響［13］。文獻［14］提出的改進PLS，克服了常規PLS 無法有效提取對因變量解釋能力最強綜合變量的缺點，提升了諧波阻抗計算和諧波發射水平估算的準確性，但其仍未考慮異常值的影響。文獻［15］提出的基于三點篩選與PLS的算法，以三點為一組數據建立方程，利用判別式篩選出背景諧波電壓穩定的數據，然后采用PLS 估計系統側諧波阻抗，減小了背景諧波電壓波動的影響，提高了估算精度，但該方法對異常數據的剔除能力有限。

本文提出的基于PLS 初值等價權穩健回歸的系統諧波阻抗計算方法，通過對PCC 處測量得到的諧波電壓、電流數據進行分解篩選，提取自變量和因變量相關性最強的變量來建立回歸方程，求解得到背景諧波電壓和系統諧波阻抗，利用該解向量作為回歸估計的初值解，再根據等價權法進行迭代計算［18-22］，克服了異常值對回歸結果準確性的影響。

1 PLS等價權回歸法

1.1 PLS回歸

以m個自變量x1，x2，…，xm和p個因變量建模為例，先提取自變量集第一成分t1及因變量集第一成分u1，需要使t1和u1相關程度最大；然后，建立因變量y1，y2，…，yp與t1的回歸方程，如果以t1建立的回歸方程達到精度要求，則停止提取主成分，否則繼續提取第二成分，如果最終提取了r個成分，PLS將建立y1，y2，…，yp與自變量t1，t2，…，tr的回歸方程，進而再表示為因變量y1，y2，…，yp與自變量X的回歸方程。

記F0為因變量Y的標準化矩陣，E0為自變量X的標準化矩陣，提取兩組變量的第一主成分t1、u1，需要使得t1和u1盡可能多地提取變量組的變異信息，且t1和u1相關程度最大，Cov(t1，u1)可以轉換為得分向量和的內積來計算，得分向量。PLS 的目標函數，需要找到該目標函數G的最大值。

利用拉格朗日乘數法，將問題簡化為求解單位向量w1和s1，使。問題的求解只需計算矩陣M=ET0F0FT0F0的特征值和特征向量。M的最大特征值為θ21，對應的特征向量就是w1，因此s1=(1/θ1)FT0E0w1。

回歸模型為：

式中：E1和F1為殘差矩陣；α1和β1為回歸系數。

回歸系數α1和β1的表達式分別為：

用殘差矩陣E1和F1代替E0和F0，重復上述步驟，通過交叉有效性校驗，當模型達到精度要求時，即停止提取成分。

1.2 交叉有效性校驗

建立回歸方程時并不需要用到PLS提取的r個成分，與主成分分析建模問題類似，只利用前s個成分（s＜r）就可以建立回歸性能良好的偏最小回歸模型。對于建模所需使用的前s個主成分，可通過交叉有效性原理確定。

每次舍去第i個觀測值（i=1，2，…，n），用剩下的n-1 個觀測值建立模型，且抽取h個成分后擬合回歸式；然后，把舍去的第i個觀測值代入所擬合的回歸方程式，得到yj（j=1，2，…，p）在i點的預測值。對于i=1，2，…，n重復上述操作，可得到抽取h個成分時第j個變量（j=1，2，…，p）的預測誤差平方和PRESS，j(h)及Y=[y1，y2，…，yp]T的預測誤差平方和PRESS，j(h)：

再利用全部的觀測數據，擬合以h個主成分為對象的回歸方程，記i點的預測值為，定義yj的組內方和Sj(h)和Y的誤差平方和S(h)如下：

當PRESS(h)達到最小值時，此時的h即為s個成分中提取的擬合主成分，通常PRESS(h) ＞S(h)，而S(h) ＜S(h-1)，故成分驗證時，希望比值PRESS(h)/S(h-1)趨近與零，通常設置限值為0.05， 即 當PRESS(h)/S(h-1)≤(1-0.05)2=0.952時，增加成分th可以提高模型精度。

定義交叉有效性為：

在下一次建模開始之前，均進行交叉有效性校驗，第h步時若Q2h＜1-0.952=0.097 5，則說明模型達到精度要求，可停止提取成分；若Qh≥0.097 5，則表示第h步提取的th成分不滿足要求，須繼續提取成分。

1.3 等價權

設有相互獨立的觀測樣本{li}和觀測權重{pi}（i=1，2，…，n），LS準則為：

式中：f為目標函數；pi為第i點觀測樣本權重；vi為第i點觀測值殘差向量。

穩健估計的平方準則為：

式中：ρ(vi)為第i點殘差向量的權函數。

若ai為A中第i個行向量（A為vi的微分矩陣），則有：

式中：B為系數矩陣；為等價權矩陣；為樣本的改正數向量；l為自由項。

權函數與觀測權重的乘積Pˉ為等價權，權函數選取是等價權迭代的關鍵，它直接決定了抗差性的大小。等價權函數的設計目標是抗差估計，函數通常包含正常段、可疑段和淘汰段。正常段應該保持原始權重不變；可疑段在不確定觀測值是否受到污染的情況下，需要降低原始權的權重；淘汰段觀測值明確受到污染，需要使權重降為零，從而消除異常值的影響。

1.4 PLS等價權回歸步驟

將PLS得到的回歸系數作為回歸估計的初值，再依據等價權函數進行迭代計算。選取使用較為廣泛的IGGΙΙΙ（抗差權因子函數）方案，相關等價權函數Pi為：

式中：k0取值范圍在1.0～1.5；k1取值范圍在2.5～3.0；δbi為樣本bi的單位權重誤差；δ為由中位數計算的單位權重誤差。基于PLS等價權回歸法的具體計算步驟如下：步驟1：提取標準化矩陣主成分進行偏回歸計算。

步驟2：根據收斂結果，得到系統阻抗初始估計值。

步驟3：利用IGGΙΙΙ 方案計算等價權函數Pi，得到初始權重，并對初始估計值施加權重得到二次估計值。

步驟4：用步驟3 中的二次估計值代替步驟2中的估計值，得到新的單位權重和殘差。

步驟5：返回步驟3，計算新的等價權函數及估計值，繼續進行迭代回歸計算，當某一次估計值Fi與上一次估計值Fi-1絕對值的差小于給定的誤差ε時，結束迭代過程，輸出最終結果。

1.5 LS和PLS的比較

LS須使得實際輸出值與測試輸出的平方之和最小，雖然可以用于曲線擬合，但由于異常值的存在，勢必導致擬合方程為遷就異常值而出現偏差。基于改進的加權LS 可以減輕異常值的影響，提高擬合數據準確度。

PLS 可以克服變量共線性的影響，且當樣本點個數少于變量個數時，依然可以進行回歸建模。由于PLS 回歸在主成分建模之前就對數據進行了標準化，因此可以從二維視角研究多維數據特性，建立樣本間的復雜相關關系。因為PLS 并沒有直接對自變量進行回歸建模，而是先提取對自變量解釋性能最強的變量來建立回歸模型，因此可以認為PLS集合了多元線性回歸、典型相關性分析、主成分分析三者的優點。

2 基于PLS等價權回歸法的諧波阻抗估算

圖1 系統和用戶等效電路Fig.1 Equivalent circuits of the system and user

根據圖1可以列出如下方程：

將式（16）按實部、虛部展開，可得：

式中：Us，h，x和Us，h，y分別為系統側等值h次諧波電壓實部和虛部；Upcc，h，x和Upcc，h，y分別為h次諧波在PCC 處的電壓實部和虛部；Ipcc，h，x和Ipcc，h，y分別為PCC 電流實部和虛部；Zs，h，x和Zs，h，y分別為系統側阻抗實部和虛部。

根據上述回歸方程將PCC 處電壓、電流數據經PLS 計算得到回歸系數Us，h，x、Us，h，y、Zs，h，x、Zs，h，y。從式（17）和式（18）可以看出，一組數據可以得到兩個諧波阻抗，通過回歸系數可以計算得到系統諧波阻抗平均值Z?s，h（n=2）和系統側背景諧波平均值Us，h：

計及用戶側諧波阻抗遠大于系統側諧波阻抗，則用戶側諧波發射水平為：

基于PLS 等價權計算系統諧波阻抗流程如圖2所示。

圖2 PLS等價權計算諧波阻抗流程Fig.2 Flow chart of harmonic impedance calculation using partial least squares equivalent weight

3 仿真分析

2）用戶側等值諧波阻抗服從高斯分布，均值為53+j315 Ω，其中實部加上22.0%的標準偏差，虛部加上9.5%的標準偏差。

3）系統側等值諧波阻抗服從高斯分布，均值為5+j25 Ω，其中實部加上3.5%的標準偏差，虛部加上4.5%標準偏差。

在PCC 處采集諧波電壓值和諧波電流值樣本（共計1 440個）進行分析。為了模擬系統中奇異值對計算結果的影響，令諧波電壓采樣值在（300，500，800，1 000，1 200）處產生異常值，每60組數據進行一次計算，共得到1 381組計算結果。

分別采用PLS、LS初值等價權和PLS等價權回歸法進行計算，得到3組不同的結果。

由圖3可知，PCC處3次諧波電流幅值無異常波動，以19.2 A為均值，均勻分布；而PCC處3次諧波電壓幅值分別在（300，500，800，1 000，1 200）點處存在異常，是設置用來檢驗本文所提方法面對異常值時的穩健性。

圖3 PCC處3次諧波電壓、電流幅值Fig.3 Amplitudes of 3-order harmonic voltage and 3-order harmonic current at PCC

由圖4可以看出，3種方法在諧波電壓無異常波動時，都具有較好的擬合度，PLS 并未對異常值進行處理，異常值參與了建模過程。從圖中可以明顯看出，異常點附近計算值波動較大，嚴重失真，計算結果穩健性較差，而LS初值等價權法通過加權處理對正常數據施加原始權重，對可疑數據進行了降權處理，將淘汰數據權重降為零，相當于剔除了淘汰數據。因此，增強了結果的穩健性，相比于PLS 回歸穩健性有所改善，但可疑數據的存在依然使得回歸結果存在較大誤差。

圖4 3種方法所得諧波電壓阻抗結果Fig.4 Harmonic voltage impedance results obtained through three analysis methods

PLS 等價權法通過提取對因變量解釋性最強的綜合變量，有效辨別噪聲，克服了變量間相關性的影響，再將計算結果作為等價權迭代的初值，對波動較大點處施加較小的權重，故異常點處無明顯波動，其穩健性明顯好于其他兩種方法。將圖4中3種方法計算值求平均，得到計算值與理論值的誤差，結果如表1和表2所示。

表1 系統側諧波阻抗均值Table 1 Mean values of harmonic impedance on system side

表2 系統側諧波電壓均值Table 2 Mean values of harmonic voltage on system side

由表1、表2和圖4可知：受異常值影響，PLS在建模過程中因變量與得分向量回歸方程出現偏差，導致系統側諧波阻抗及諧波電壓計算結果偏移較大；LS初值等價權法由于使用了權函數，抗差性得到提高；基于PLS 等價權法的計算結果最貼近參考值，計算精度較高，諧波發射水平的確定也越準確。依據上述用戶側諧波發射水平計算方法，最終得到用戶側在PCC 處的諧波電壓貢獻為318.49 V。

4 結語

1）本文提出基于PLS 等價權回歸的系統諧波阻抗計算方法，經PLS 計算得到初值，再經等價權迭代計算系統諧波阻抗，仿真結果驗證了所提方法的有效性。

2）PLS 等價權法能夠更好地消除噪聲，解決變量相關性建模帶來的誤差，克服了對異常值敏感的缺點，與PLS和LS初值等價權法相比，所提方法更為精確。

3）采用的等價權函數對不同的初始值附加對應的權重，當殘差達到收斂要求時停止迭代，輸出計算結果，故抗差性較好。

4）本文所提諧波阻抗的計算是基于系統側諧波阻抗保持不變的前提，但隨著系統運行狀態的改變、電容器的投切、系統運行方式的變化，系統諧波阻抗在一段時間內會發生變化，未來的研究應該考慮該影響。