低秩聚類被動壓縮鬼成像

雷 騰， 張義民， 馬一哲， 丁學(xué)專， 吳瀅躍， 王世勇*

（1.中國科學(xué)院 上海技術(shù)物理研究所，上海 200083；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；3.中國科學(xué)院 紅外探測與成像技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，上海 200083）

1 引 言

鬼成像，又稱為關(guān)聯(lián)成像，是一種不同于傳統(tǒng)成像方式的新型成像方式，是近年計(jì)算光學(xué)成像領(lǐng)域的熱點(diǎn)之一。鬼成像最早可追溯到著名的HBT 強(qiáng)度干涉實(shí)驗(yàn)。此后，1995 年P(guān)ittman、Abouraddy 等［1-2］利用參量下轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的動量糾纏光源，通過雙光子計(jì)數(shù)分別實(shí)現(xiàn)了“鬼衍射”和“鬼成像”。2002 年，Bennink［3］等用具有互關(guān)聯(lián)的經(jīng)典光源在相同的雙臂光路架構(gòu)中實(shí)現(xiàn)了鬼成像。2006 年，Scarcelli［4］等將激光照射在旋轉(zhuǎn)的毛玻璃上產(chǎn)生贗熱光源完成了鬼成像實(shí)驗(yàn)。2008 年，Shapiro［5］提出了僅包含物體光路的單光路鬼成像，利用空間光調(diào)制器極大地簡化了實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，并將它命名為計(jì)算鬼成像。這類主動式鬼成像通常是利用數(shù)字微鏡器件（Digital Micromirror Device， DMD）、空間光調(diào)制器（Spatial Light Modulator， SLM）等光場調(diào)制器件對光源進(jìn)行調(diào)制，通過增加時(shí)域上在不同編碼光場下的采樣數(shù)來增加系統(tǒng)的時(shí)間自由度數(shù)，將場景回波信號與贗熱光場進(jìn)行關(guān)聯(lián)，在時(shí)間維上僅通過桶探測器接收目標(biāo)的回波信號，從而獲得目標(biāo)的圖像信息。為了進(jìn)一步提高鬼成像的實(shí)用價(jià)值，需要發(fā)展被動式鬼成像，與主動式鬼成像不同，自然光和物體自發(fā)輻射等被動光源的相干時(shí)間在飛秒量級，而測量光場的時(shí)空漲落需要探測器響應(yīng)時(shí)間小于光場的相干時(shí)間，并且對自然光這類被動光源的光場時(shí)空漲落進(jìn)行實(shí)時(shí)控制非常困難。2015 年，韓申生［6］提出了一種被動式鬼成像系統(tǒng)，即基于稀疏約束的鬼成像（Ghost Imaging via Sparsity Constraints， GISC）光譜相機(jī)。該相機(jī)利用空間隨機(jī)相位調(diào)制器實(shí)現(xiàn)了光場的相位調(diào)制及色散，同時(shí)利用隨機(jī)相位調(diào)制器的極近場衍射，將真熱光轉(zhuǎn)換成贗熱光，解決了真熱光相干時(shí)間短的測量難題。另外，GISC 光譜相機(jī)通過將主動式鬼成像中測量成像視場中各像素所對應(yīng)的光場在時(shí)域上的隨機(jī)漲落轉(zhuǎn)換為空域上的隨機(jī)漲落，并進(jìn)行預(yù)先測量，從而無需分束器分光就能實(shí)時(shí)探測光場隨時(shí)間的無規(guī)漲落。

鬼成像相機(jī)通過對場景圖像進(jìn)行壓縮編碼，隨后利用重建算法解譯編碼光場的信息，這一成像方式突破了傳統(tǒng)被動式光電系統(tǒng)采樣的限制，提高了光學(xué)成像系統(tǒng)的信道容量，實(shí)現(xiàn)了超分辨率成像［6］。為了推進(jìn)鬼成像的實(shí)用化進(jìn)程，必須實(shí)現(xiàn)欠采樣條件下的高質(zhì)量被動式鬼成像。重建算法是鬼成像技術(shù)中最重要的環(huán)節(jié)之一，目前常用的鬼成像算法都是基于壓縮感知的圖像重構(gòu)算法。壓縮感知是一類通過求解欠定逆問題實(shí)現(xiàn)信號恢復(fù)的方法，鬼成像通常是求解以下兩類問題［7］：（1）求解(P1)的最小l1范數(shù)約束優(yōu)化問題，常使用貪婪迭代優(yōu)化算法，如OMP 算法［8］、ROMP 算法［9］。貪婪迭代類算法的計(jì)算速度較快，但是需要較多的采樣次數(shù)，對小尺度信號的重建效果較好，但對大尺度信號的重建效果并不理想［7-8］。為了解決這一問題，BP 算法［10］、FIST 算法［11］等凸優(yōu)化算法被提出，用于對大尺度稀疏信號的有效重建，這些算法對噪聲有較高的穩(wěn)定性。（2）求解(P2)的最小化TV 或TC 問題，l1-Magic［12-13］，TwIST［11，14］，NESTA［15］，GAP［16］以 及ADMM［17］經(jīng) 常 被 使用。人們還提出 了TVAL3 算法［18］，該算法利用圖像局部平滑的先驗(yàn)信息，圖像重構(gòu)過程中在保護(hù)圖像邊緣結(jié)構(gòu)信息的同時(shí)抑制噪聲，但TVAL3 忽略了因像素間差異導(dǎo)致的圖像梯度差異問題，抗噪性能減弱，并且容易在圖像平滑區(qū)域產(chǎn)生階梯效應(yīng)。為了進(jìn)一步改進(jìn)TVAL3算法，2021 年Wang 等［19］提出了GISCNL 重建算法，該算法在TV 約束的基礎(chǔ)上考慮了圖像的非局域自相似性，并將它作為約束項(xiàng)加入到重建算法中。經(jīng)過數(shù)值仿真論證，GISCNL 相比于TVAL3算法有更強(qiáng)的穩(wěn)定性。為方便論述，本文將求解(P1)問題的鬼成像稱為基于稀疏基約束的鬼成像（Ghost Imaging based on Sparse Basis Constraints， GI-SBC）［20-22］，將求解(P2) 問題的鬼成像稱為基于全變分約束的鬼成像（Ghost Imaging based on Total Variation Constraints， GITVC）［23-25］。

近年來，為了進(jìn)一步提高鬼成像算法的重建 性 能，2018 年Huang 等［26］提 出 了 一 種 基 于Landweber 正則化與引導(dǎo)濾波聯(lián)合迭代的壓縮鬼成像算法，該算法有效降低了欠采樣噪聲，提高了分辨率。這表明通過分解預(yù)重構(gòu)步驟和去 噪 步 驟 來 重 建 原 始 目 標(biāo)。2019 年，Wu 等［27］在鬼成像模型中引入了低秩約束，實(shí)驗(yàn)與仿真均表明：對于擁有較強(qiáng)低秩特性的圖像，低秩約束下的鬼成像比稀疏約束下的鬼成像有明顯的圖像質(zhì)量改善，特別是在欠采樣情況下。基于以上兩種算法的特點(diǎn)，本文搭建了鬼成像相機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺，提出了一種基于低秩聚類的鬼成像算法，并應(yīng)用于被動式鬼成像系統(tǒng)中，提高了欠采樣條件下被動式鬼成像系統(tǒng)的圖像重構(gòu)質(zhì)量。該算法將圖像重構(gòu)分解為預(yù)重構(gòu)與低秩聚類降噪兩部分。在預(yù)重構(gòu)步驟中，利用共軛梯度法求解最小二乘問題以提取更多細(xì)節(jié)，對圖像進(jìn)行快速重構(gòu)；在低秩聚類降噪步驟中，將非局域相似的圖像塊拉成一維向量，并聚合為二維矩陣，利用廣義軟閾值算法對該矩陣進(jìn)行低秩矩陣近似，達(dá)到抑制重構(gòu)噪聲的目的。在圖像重構(gòu)過程中，算法交替執(zhí)行預(yù)重構(gòu)步驟與低秩聚類降噪步驟。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的算法能夠在有限次的聯(lián)合迭代步驟中提取出散斑場中的場景信息，實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量的鬼成像。

2 原 理

2.1 成像模型

本文搭建的鬼成像相機(jī)原理示意圖如圖1（a）所示。自然光源照明目標(biāo)，前置成像鏡頭將目標(biāo)的反射光成像至第一成像面上。將第一成像面劃分為N個(gè)小面元，不同位置的小面元出射的寬帶熱光在自由空間中傳播，隨后由空間隨機(jī)相位調(diào)制器進(jìn)行相位調(diào)制，并在其后表面附近進(jìn)行強(qiáng)度疊加形成散斑干涉場。最后，由顯微成像鏡頭將該散斑干涉場成像至像元數(shù)為M(M?N)的CCD 上［28］。在該鬼成像相機(jī)中，選擇散射片作為空間隨機(jī)相位調(diào)制器。這一成像過程可以用如下矩陣描述［28］：

圖1 鬼成像相機(jī)原理Fig.1 Principle for ghost imaging camera

將式（1）簡寫為矢量形式，得到：

其中：Y=(y1，y2，…，yM)T，代表由像元數(shù)為M的探測器采集到的場景的散斑場的圖像矢量；X=(x1，x2， …，xN)T，代 表 與 原 始 場 景 共 軛 的第一成像面的圖像矢量；Φ為鬼成像相機(jī)的測量 矩 陣，第i列 元 素Φi=(Φ1，Φ2，…，ΦM)T，代表第一成像面上第i個(gè)面元產(chǎn)生的散斑場的圖像矢量。

由式（1）可知，在實(shí)際成像之前，需要對空間隨機(jī)相位調(diào)制器進(jìn)行預(yù)先標(biāo)定以獲得測量矩陣Φ。標(biāo)定方式如圖1（b）所示：將第一成像面劃分為N個(gè)面元，第一成像面處的針孔光闌按劃分面元的順序依次移動，由像元數(shù)為M(M?N)的探測器采集不同面元輻射的散斑場圖像，最后將散斑場圖像拉成一個(gè)列向量，并作為測量陣Φ的某一列。

為了對比不同算法在圖1（a）所示的被動式鬼成像系統(tǒng)中的成像效果，需要對系統(tǒng)中的光場調(diào)制模塊進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，從而便于鬼成像重建算法的數(shù)值仿真。

2.2 光場調(diào)制模型

鬼成像相機(jī)的光場調(diào)制原理如圖2 所示。第一成像面上一點(diǎn)出射的熱光場經(jīng)過z1距離的自由傳播到達(dá)空間隨機(jī)相位調(diào)制器（本文使用散射片作為空間隨機(jī)相位調(diào)制器），經(jīng)過光場調(diào)制后，再與空間隨機(jī)相位調(diào)制器后表面相距z2的平面形成散斑場。

圖2 光場調(diào)制原理Fig.2 Schematic diagram of light field modulation

由于第一成像面上各點(diǎn)光源近似為空間不相干，因此第一成像面上任意兩點(diǎn)S1(ξ1，η1)以及S2(ξ2，η2)之間的互強(qiáng)度可表示為：

其中δ(·)表示狄拉克函數(shù)。第一成像面上點(diǎn)S1處的熱光場在自由空間中傳播z1后到達(dá)空間隨機(jī)相位調(diào)制器的前表面，成為空間部分相干光。此時(shí)，空間隨機(jī)相位調(diào)制器前表面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的互強(qiáng)度為：

其中：為熱光場的中心波長，為中心波長對應(yīng)的波矢，K(θ1)，K(θ2)為傾斜因子。在傍軸近似條件下有：

將式（5）～式（7）代入式（4），并利用狄拉克 函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行積分，化簡得：

其中：J(P1，P2)表示ξ-η平面上任意兩點(diǎn)傳播到x-y平面上得到的互強(qiáng)度分布。假設(shè)在第一成像面上的(ξ0，η0)處放置一個(gè)透光直徑為d的針孔光闌來構(gòu)造小面元，令：

其中：circ(·)為圓域函數(shù)。將式（9）代入式（8），并計(jì)算積分得：

其中J1(·)為一階第一類貝塞爾函數(shù)。那么散斑場 上 任 意 兩 點(diǎn)Q1(s1，t1) 和Q2(s2，t2) 的 互 強(qiáng)度為：

其中?(P1)，?(P2)分別表示空間隨機(jī)相位調(diào)制器對點(diǎn)P1，P2處的光場調(diào)制作用，K(θ3)，K(θ4)為傾斜因子。在傍軸近似條件下有：

將式（12）～（14）代入式（11）得：

令Q1=Q2，并將式（10）代入式（15）得到點(diǎn)Q1處的光場強(qiáng)度為：

設(shè)第一成像面上有兩個(gè)面元分別位于(ξ0，η0)，(ξ0+Δξ，η0+Δη)處，對應(yīng) 的散斑場 的光場強(qiáng)度分別為I(s，t)，I(s+Δs，t+Δt)。由式（16）可知，滿足：

此 時(shí)有I(s，t)=I(s+Δs，t+Δt)。這說明在空間隨機(jī)相位調(diào)制器后表面附近形成的散斑干涉場存在空間相干性。因此，已知第一成像面上某點(diǎn)(ξ，η)對應(yīng)的散斑場的光強(qiáng)分布，可以通過平移得到其近鄰點(diǎn)的散斑場的光強(qiáng)分布。

通過測量第一成像面上某一面元對應(yīng)的散斑場，而后通過平移構(gòu)造一個(gè)矩陣，將這個(gè)矩陣作為測量矩陣Φ，即可進(jìn)行成像數(shù)值模擬。根據(jù)散斑場的空間相干性，可以大大減少空間隨機(jī)相位板標(biāo)定的工作量。在標(biāo)定過程中等間隔地采集第一成像面處面元產(chǎn)生的散斑場，其近鄰面元對應(yīng)的散斑場由已知的散斑場通過平移得到。

3 算法原理

欠采樣條件下的鬼成像實(shí)質(zhì)上是一個(gè)不適定問題。為了得到合理的圖像估計(jì)，需要充分合理利用稀疏/可壓縮信號的幾何結(jié)構(gòu)。為此本文提出了聯(lián)合迭代的圖像重構(gòu)算法，代替?zhèn)鹘y(tǒng)的壓縮感知方法來解決最小化問題。在實(shí)際應(yīng)用中，由于采樣次數(shù)有限，欠采樣噪聲一直存在，不能忽略。為了提高成像的穩(wěn)定性，減小欠采樣噪聲的影響，提高重構(gòu)圖像的信噪比，算法首先利用共軛梯度法來解決不適定問題，得到關(guān)聯(lián)成像的預(yù)重構(gòu)圖像，然后基于圖像的非局域自相似性，利用低秩聚類降噪算法來抑制圖像的預(yù)重構(gòu)噪聲，提高成像質(zhì)量。經(jīng)過圖像預(yù)重構(gòu)和低秩聚類降噪的多次聯(lián)合迭代，充分利用空間調(diào)制光場中所包含的有效物體信息，即可在較低采樣率下得到成像效果較佳的重構(gòu)圖像。該算法流程如圖3所示。

圖3 聯(lián)合迭代的重構(gòu)算法流程Fig.3 Flow chart of reconstruction algorithm with joint iteration

3.1 圖像預(yù)重構(gòu)

圖像預(yù)重構(gòu)是求解一個(gè)最小二乘問題。預(yù)重構(gòu)問題描述為：給定測量值Y∈RM以及測量矩陣ΦN×M，確定系數(shù)?使得：

等價(jià)于求解如下函數(shù)的極值：

式（20）屬于無約束二次規(guī)劃問題，可以利用共軛梯度法進(jìn)行快速迭代，使得函數(shù)F(?)取得極小值的?，以達(dá)到快速恢復(fù)圖像細(xì)節(jié)的目的［29］。共軛梯度法在最速下降法的基礎(chǔ)上結(jié)合共軛梯度信息來獲得目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，不僅克服了最速下降法收斂速度慢的不足，相比于牛頓法它沒有計(jì)算Hessen 矩陣和求逆過程，也避免了存儲空間的占用，是解決大型非線性優(yōu)化問題非常有效的算法。

3.2 低秩聚類降噪

圖像預(yù)重構(gòu)解決的是無約束的最小二乘問題，不可避免地會產(chǎn)生預(yù)重構(gòu)噪聲?；趫D像的非局域自相似性，通過對含噪的預(yù)重構(gòu)圖像進(jìn)行低秩建模，可以將目標(biāo)信息從背景噪聲中提取出來，并抑制重構(gòu)噪聲。

對于噪聲圖像中某個(gè)參考塊l，在搜索窗口中選擇一組與該含噪圖像塊l相似度較高的圖像塊，相似度由歐幾里得范數(shù)定義。不妨設(shè)有Nl個(gè)與l相似度較高的圖像塊（包含l），將這些相似的塊向量堆疊起來，構(gòu)成一個(gè)矩陣：

由于自然圖像的非局域自相似性，由非局域相似塊構(gòu)成的矩陣為低秩矩陣，因此，式（21）中由含噪圖像的相似塊堆疊而成的矩陣通過低秩建模為：

其中：Sl為無噪圖像的塊矩陣，Γl為包含噪聲的塊矩陣。Sl可以通過低秩矩陣近似方法獲得。低秩矩陣近似的一個(gè)解決方法是核范數(shù)最小化（Nuclear Norm Minimization， NNM）［30］，即：

其中：λ為 常 數(shù)，||Sl||*為 矩 陣Sl的 核 范 數(shù)，定 義為Sl奇異值的和，即表 示Sl的第i個(gè)奇異值。NNM 的目標(biāo)是通過Sl近似Xl，同時(shí)最小化Sl的核范數(shù)。對于式（23）所描述的問題，Cai［31］等證明通過對觀測矩陣奇異值進(jìn)行軟閾值運(yùn)算可以很容易地解決基于NNM的低秩矩陣逼近問題，其中保真項(xiàng)由F范數(shù)描述。因此，式（25）可由奇異值軟閾值方法解得：

其中：Xl=UΣVT為Xl的奇異值分解，Sλ(Σ)為帶參數(shù)λ的對角矩陣Σ的軟閾值函數(shù)。對于Σ中每個(gè)對角線上的元素Σii，有：

盡管NNM 已廣泛用于低秩矩陣逼近，但它仍然存在一些問題。為了追求凸性，標(biāo)準(zhǔn)核范數(shù)平等地對待每個(gè)奇異值，因此，式（24）中的軟閾值算子以相同的量λ收縮每個(gè)奇異值。然而，這忽略了通常對矩陣奇異值的先驗(yàn)知識。例如，矩陣中的列（或行）向量通常位于低維子空間中；較大的奇異值通常與主要的投影方向相關(guān)，因此期望較大奇異值能夠收縮得少一點(diǎn)，以保留主要的數(shù)據(jù)分量。顯然，NNM 及其相應(yīng)的軟閾值算子未能利用這種先驗(yàn)知識。盡管式（23）中的模型是凸的，但它不夠靈活，無法處理許多實(shí)際問題。為了提高核范數(shù)的靈活性，本文采用加權(quán)Schatten-p范數(shù)進(jìn)行低秩矩陣近似。矩陣Sl的加權(quán)Schatten-p范數(shù)定義為［32］：

其中：σi(Sl)為Sl的奇異值，p為作用于矩陣奇異值σi(Sl)的冪。對于自然圖像，Sl中的較大奇異值比較小奇異值更重要，這是因?yàn)樗鼈兇鞸l主要分量的能量。在降噪過程中，奇異值越大，它們應(yīng)當(dāng)收縮得越小。因此，分配給σi(Sl)的權(quán)重應(yīng)與σi(Sl)成反比，即：

其中：c為常數(shù)，n為含噪圖像Xl的相似塊數(shù)量，ε為一個(gè)避免除零的較小常數(shù)。在初始時(shí)刻，假設(shè)噪聲能量在各個(gè)特征上分布是均勻的，因此初始化σi(Sl)為：

其中：σi(Xl)為Xl的第i個(gè)奇異值，σ2n為Xl的噪聲方差。

將式（26）所示的加權(quán)Schatten-p范數(shù)應(yīng)用于式（23），使用噪聲方差σ2n來歸一化F范數(shù)數(shù)據(jù)保真項(xiàng)，得到如下目標(biāo)函數(shù)：

其中p=0.7。對所有含噪圖像塊執(zhí)行低秩聚類降噪操作，并將去噪后的圖像塊聚合得到一幅降噪后的重建圖像，隨后將降噪后的圖像重新返回到3.1 進(jìn)行共軛梯度下降操作。

本文在被動壓縮鬼成像問題中引入低秩聚類降噪的方法，得到了一種成像效果較好的被動式鬼成像算法，稱該算法為低秩聚類被動壓縮鬼成像算法（Passive Compressed Ghost Imaging with Low Rank Clustering， PCGI-LRC）。該算法運(yùn)行中，最小二乘問題和低秩矩陣近似問題交替求解。當(dāng)?shù)_(dá)到一定次數(shù)時(shí)，停止迭代，得到最終的重構(gòu)圖像。基于低秩聚類聯(lián)合迭代關(guān)聯(lián)成像方法流程如下：

算法1：低秩聚類被動壓縮鬼成像算法輸入： 測量值Y，測量矩陣Φ，最大迭代次數(shù)K，迭代終止閾值ε 1：初始化：X0=0 2：令i=1：K 3：采用共軛梯度法求解最小二乘問題，獲得預(yù)重構(gòu)圖像X?(k+1)：X?(k+1)=arg min X?(k) 1/2X?(k)TΦTΦX?(k)-X?(k)TΦT y 4：對圖像X?(k+1)進(jìn)行分塊得到局部塊x?(k+1)l 5：尋找局部塊x?(k+1)l 的相似塊矩陣組X? (k+1)l 6：對每個(gè)有噪聲的數(shù)據(jù)矩陣X? (k+1)l 進(jìn)行奇異值分解：(U(k+1)l ，Σ(k+1)l ，V(k+1)l )=SVD(X? (k+1)l )7：利用廣義軟閾值算法進(jìn)行低秩矩陣近似8：圖像更新，對所有塊進(jìn)行加權(quán)平均，得到噪聲抑制后的圖像q(k+1)9：若(q(k+1)-X?(k))/X?(k)＜ε，則停止循環(huán)，設(shè)置X=q(k+1)；否則設(shè)置X?(k)=q(k+1)，聯(lián)合迭代繼續(xù)10：若迭代次數(shù)i ＞K，則停止循環(huán)輸出：重構(gòu)圖像X

4 仿真結(jié)果與分析

為了測試PCGI-LRC 的成像效果，首先進(jìn)行數(shù)值仿真，將它與GI-TVC、離散余弦域下的GISBC 兩類算法進(jìn)行對比。為了客觀地評價(jià)該方法的性能，用峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio， PSNR）和 結(jié) 構(gòu) 相 似 性 系 數(shù)（Structural Similarity Index， SSIM）來定量地衡量圖像重建質(zhì)量。這里選取OMP 算法［8］和FISTA 算法［11］作為GI-SBC 的 重 建 算 法，選 取TVAL3［18］和GISCNL［19］作為GI-TVC 的重建算法。

本文選擇灰度圖像“house”（圖像尺寸為128×128）作為仿真中需要重建的目標(biāo)場景?；谑剑?8）和式（19）的結(jié)論，將第一成像面劃分為128×128 塊面元，隨后等間隔地選取第一成像面上各面元對應(yīng)的散斑場，其余面元對應(yīng)的散斑場通過平移獲得，最后將所有面元的散斑場拉成一維向量并聚合成二維矩陣作為被動式鬼成像系統(tǒng)的測量矩陣。

在非局域相似塊低秩近似的過程中，圖像塊的尺寸會影響成像性能。若圖像塊尺寸過大，成像結(jié)果會更平滑；如果圖像塊尺寸過小，則無法達(dá)到抑制重構(gòu)噪聲的目的。在鬼成像過程中，需要在保持圖像細(xì)節(jié)和抑制重構(gòu)噪聲之間權(quán)衡。在4，5，6 之間選取圖像塊的尺寸，并根據(jù)仿真或?qū)嶒?yàn)得到的最佳成像結(jié)果調(diào)整圖像塊的尺寸。從圖像的左上角選擇第一個(gè)參考塊，并按照先列后行的順序從一個(gè)參考塊切換到下一個(gè)。數(shù)值仿真是在Intel（R） Core（TM） CPU i7-11800H處理器（2.3 GHz），16 G 內(nèi)存電腦上的MATLAB R2021a 版本上運(yùn)行的。

不同采樣率下，GI-SBC，GI-TVC 和PCGILRC（圖4（b）中藍(lán)色曲線）對“house”圖像的重構(gòu)結(jié)果如圖4（a）所示，對應(yīng)的數(shù)值仿真結(jié)果計(jì)算的PSNR 曲線如圖4（b）所示（彩圖見期刊電子版）。對比結(jié)果可知：利用不同算法在不同采樣率條件下進(jìn)行鬼成像，本文算法的PSNR 值均優(yōu)于GISBC 和GI-TVC，且目測結(jié)果與原始圖像更接近，重建偽影更少。特別當(dāng)采樣率為0.5 時(shí)，GISBC，GI-TVC 和PCGI-LRC 的PSNR 值分別為22.744 0，22.913 0 和28.307 4 dB。從這些重構(gòu)圖像和評價(jià)曲線上可以看出，PCGI-LRC 在主觀和客觀上都優(yōu)于其他方法。

圖4 灰度圖像仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of gray images

如上所述，PCGI-LRC 是一個(gè)最小二乘問題和非局域相似塊低秩近似問題的聯(lián)合迭代求解過程。為了驗(yàn)證該方法每一步驟的有效性，在采樣率為0.25 的情況下，“house”圖像在不同迭代次數(shù)i下的均方誤差（Mean Squared Error，MSE）的曲線如圖5 所示。由圖5 可知，隨著迭代次數(shù)的增加，MSE 曲線呈單調(diào)遞減趨勢，最終趨于平穩(wěn)，表明本文方法具有較好的穩(wěn)定性。還可以從中觀察到，約10 次迭代即可得到最佳的重構(gòu)圖像。當(dāng)MSE 基本穩(wěn)定或迭代次數(shù)i達(dá)到最大迭代次數(shù)K時(shí)，停止迭代，得到最終的重構(gòu)圖像。

圖5 采樣率為0.25 的條件下本文算法在不同迭代次數(shù)下的MSE 變化曲線Fig.5 MSE variation curve of PCGI-LRC under different iterations at sampling rate of 0.25

5 測量實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

為驗(yàn)證算法的實(shí)際性能，本文搭建了被動式壓縮鬼成像實(shí)驗(yàn)平臺，在采樣率分別為0.062 5，0.125，0.25 以及0.5 的情況下進(jìn)行鬼成像實(shí)驗(yàn)，實(shí) 驗(yàn) 光 路 如 圖6 所 示。 采 用LED 燈（KM-2FL400400， 400 mm×400 mm）作為照明光源，場景“GI”輻射出來的光經(jīng)過準(zhǔn)直鏡頭（Collimating Lens， LBMT-2，f=400 mm）準(zhǔn)直后經(jīng)由分束鏡（Beam Splitter， BS1455-A， 50：50）進(jìn)行分光：其中一束光由監(jiān)視相機(jī)（Monitor， TRI050SMC，3 μm×3 μm）進(jìn)行采集，監(jiān)視相機(jī)將采集到的原始場景圖像作為實(shí)驗(yàn)中的對比圖像，另一束光由被動壓縮鬼成像系統(tǒng)（Passive Compressed Ghost Imaging）采集（圖中虛線框所標(biāo)注）。在被動式鬼成像系統(tǒng)中，前置成像鏡頭（LBMT-1，f=200 mm）將光場聚焦在第一成像面處，空間隨機(jī)相位板（GCL-201123， 1500）將光場信息隨機(jī)編碼至干涉場中，最后由顯微物鏡（KP-10A035X，β=22）將 干 涉 場 成 像 至 CCD（TRI050S-MC， 3 μm×3 μm）中。其中，散射片與第一成像面相距12.70 mm，散斑場與散射片后表面相距1.5 mm。

圖6 被動式壓縮鬼成像實(shí)驗(yàn)光路Fig.6 Experimental optical path of passive compressed ghost imaging

在實(shí)際成像前需要對空間隨機(jī)相位調(diào)制器進(jìn)行預(yù)先標(biāo)定，標(biāo)定過程如圖1（b）所示。在第一成像面處放置針孔光闌作為標(biāo)定過程中的點(diǎn)光源，針孔光闌固定在電位移臺上，可以通過計(jì)算機(jī)調(diào)整針孔光闌的位置。空間隨機(jī)相位調(diào)制器對透過針孔光闌的光進(jìn)行相位調(diào)制，并在CCD的探測面上形成具有強(qiáng)度起伏的光強(qiáng)分布，即散斑場。標(biāo)定過程中，將第一成像面劃分為100×100 個(gè)面元，第一成像面處的針孔光闌按照面元的劃分順序依次進(jìn)行移動。為提高相位板的標(biāo)定效率，針孔光闌在第一成像面上每移動3 個(gè)面元的距離，計(jì)算機(jī)則控制CCD 采集一次散斑場，并作為鬼成像系統(tǒng)中參考臂的贗熱光場。其余面元對應(yīng)的散斑場則由已知的散斑場通過雙線性插值法計(jì)算得到。標(biāo)定完成后，移除針孔光闌與電位移臺便可直接對場景進(jìn)行成像。實(shí)際成像中，在圖6 所示的準(zhǔn)直鏡頭的焦平面處放置靶標(biāo)，用于模擬無窮遠(yuǎn)處的場景。鬼成像相機(jī)收集靶標(biāo)的散斑場信息并送入上位機(jī)（Intel Core i7-11800H RAM 16GB），利用鬼成像算法進(jìn)行圖像重構(gòu)。原始場景的圖像尺寸為100×100，如圖7所示。首先，按不同采樣率對CCD 采集到的散斑場圖像進(jìn)行空間隨機(jī)采樣。例如，對于0.062 5 的空間采樣率，需要隨機(jī)選取散斑場圖像中0.062 5×100×100=625 個(gè)像素點(diǎn)作為式（4）中的列向量Y。隨后基于鬼成像原理，利用重構(gòu)算法對散斑場進(jìn)行反演，最終得到場景的高分辨率圖像。

圖7 目標(biāo)圖像及其散斑場Fig.7 Target image and its scattering field

最后，將PCGI-LRC 與GI-SBC，GI-TVC 兩類成像算法進(jìn)行對比，成像目標(biāo)為刻有字母“SITP”的靶標(biāo)。不同鬼成像算法對場景的成像效果以及客觀評價(jià)指標(biāo)分別如圖8 和表1 所示。

表1 不同鬼成像算法的重建效果對比Tab.1 Comparison of reconstruction effects of different ghost imaging algorithms

圖8 不同算法的成像效果對比Fig.8 Comparison of imaging effects of different algorithms

結(jié)合圖8 的成像效果與表1 所示的數(shù)據(jù)可以看出，GI-SBC 類算法能夠較好地恢復(fù)目標(biāo)的細(xì)節(jié)信息，但重構(gòu)噪聲較大；GI-TVC 類算法雖然相比于GI-SBC 類算法擁有更低的重構(gòu)噪聲，但對于圖像細(xì)節(jié)的重構(gòu)能力不足；本文提出的算法能夠較好地恢復(fù)出目標(biāo)的細(xì)節(jié)，同時(shí)有效地抑制重構(gòu)噪聲。顯然，本文提出的鬼成像算法在PSNR，SSIM 以及MSE 3 項(xiàng)指標(biāo)上均優(yōu)于另外兩類成像算法。

6 結(jié) 論

為了在低采樣率條件下減小圖像重構(gòu)噪聲的影響，提高圖像的重構(gòu)精度，本文提出了一種被動式壓縮鬼成像方案，該方法對最小二乘問題和非鄰域相似塊低秩近似問題進(jìn)行聯(lián)合迭代求解。在聯(lián)合迭代過程中，首先采用共軛梯度法求解最小二乘問題來獲得預(yù)重構(gòu)圖像，隨后利用圖像非局域自相似性的特性以滑動窗口的方式處理預(yù)重構(gòu)圖像，其中滑動窗口尺寸固定。將這些相似塊的陣列堆疊成低秩矩陣，通過廣義軟閾值算法收縮衰減預(yù)重構(gòu)噪聲。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明，被動式鬼成像體制下，本文算法在PSNR、SSIM、視覺觀測和數(shù)值計(jì)算等方面均優(yōu)于GI-SBC 以及GITVC 算法，未來有望應(yīng)用于目標(biāo)檢測、遙感等領(lǐng)域。