利用GeoGebra軟件發展高中生直觀想象素養的數學教學實踐

【摘要】本文結合高中數學教學實踐，論述在概念生成、圖象探究、定理發現、公理探索、數學解題等教學環節利用GeoGebra軟件，將幾何與代數相結合，直觀、動態地呈現教學內容，促進學生對數學知識的理解，發展學生直觀想象素養的策略。

【關鍵詞】直觀想象 GeoGebra軟件 幾何直觀 高中數學

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）32-0097-04

數學具有抽象的數學符號和語言，但是高中生將代數和幾何相結合分析問題的意識不強，直觀想象能力較為薄弱，不善于借助幾何直觀和空間想象分析數學問題。如今，隨著大數據時代的到來，數學信息化教學已成為一種必然趨勢。GeoGebra是Geometry（幾何）與Algebra（代數）的結合，簡稱GGB。GeoGebra軟件是一款免費的、使用便捷的、功能強大的數學軟件，可以在Android、Mac、Windows等多個平臺運行。GeoGebra軟件提供了多個工作區，如繪圖區、代數區、表格區、3D繪圖區等，其應用范圍幾乎涵蓋了數學教學的全部領域。GeoGebra軟件強大的展示功能，使學生能夠更容易洞悉數學本質，更容易理解抽象知識之間的內在邏輯聯系。由于該軟件具有免費且操作簡單等特點，教師和學生使用的積極性高，這有助于推動教學和學習方式的變革。本文探討在高中數學課堂教學中借助GeoGebra軟件，通過概念生成、圖象探究、定理發現、公理探索、數學解題等活動發展學生直觀想象素養的途徑。

一、概念生成

數學概念是反映一類事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性的思維形式，一般由數學符號表示，它是具象性和抽象性的統一，同時具有很強的系統性。學生理解和掌握概念的過程實際上是掌握同類事物的共同屬性、關鍵特征的過程。數學概念的獲得通常包括概念形成和概念同化兩種方式。

例如教學人教A版高中數學選擇性必修第一冊“橢圓的標準方程”中“橢圓概念的生成”時，教師提出一個問題：圓是從平面內到圓心的距離等于半徑的所有點的集合，那么，什么是橢圓？橢圓上任意一點有什么特征？

如圖1，設置平面內的兩個定點F1和F2，使得|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，通過滑動條c改變參數，當c=2時，|F1F2|=4，通過滑動條a改變參數，當a=4時，|PF1|+|PF2|=8，顯示點P的軌跡，發現雖然|PF1|與|PF2|不斷變化，但是|PF1|與|PF2|的和總是一個定值，即|PF1|+|PF2|=8，動點P的軌跡為橢圓。如圖2，繼續通過滑動條改變參數a和c，a=3.5，c=3，使得|PF1|+|PF2|=7，|F1F2|=6，仍然可以發現，動點P的軌跡為橢圓。按照這樣的方法，學生繼續改變a和c的值，操作發現，平面內到兩個定點F1和F2的距離的和等于一個常數的點的軌跡為橢圓。也就是當a＞c時，|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|），此時，動點P的軌跡為橢圓。接著，教師可以繼續改變參數，探究當a=c或者a

在橢圓概念的生成教學中，教師借助GeoGebra軟件，通過滑動條改變參數的大小，引導學生發現橢圓的共同屬性和關鍵特征。利用GeoGebra軟件，向學生分別展示當a＞c、a=c、a

二、圖象探究

函數的學習包括函數的概念、圖象、性質和應用等，函數是高中數學中的重要組成部分，而學習函數圖象則是學習函數的一個重要環節。在傳統的教學中，教師通常是借助描點法指導學生認識函數的圖象，這一方法雖然比較簡便，但是學生只能了解函數圖象的大致情況，故此方法不夠嚴謹。教師可以借助GeoGebra軟件引導學生探究函數圖象，讓學生借助幾何直觀更深刻地認識函數圖象與概念之間的內在聯系，認識數學本質。

例如，在教學人教A版高中數學必修第一冊第五章第四節第一課時“正弦函數、余弦函數的圖象”時，教材中首先呈現一道思考題：在［0，2π］上任意一個值x0，根據正弦函數的定義，怎么確定正弦函數sinx0，并畫出點T（x0，sinx0）？教師帶領學生解答此問時，首先可以引導學生復習正弦函數的定義。如圖3，我們把點P的縱坐標y叫作α的正弦函數，即y=sinα。可以在GeoGebra軟件中的繪圖區域繪制圖4，在單位圓上任取一個點B，度量角x0，描出任意一點T（x0，sinx0），拖動點T（x0，sinx0），引導學生觀察點T的縱坐標sinx0等于點B的縱坐標y0的情況，引導學生建立正弦函數定義和圖象之間的內在聯系，最后顯示點T的軌跡，就可以得到y=sinx，x∈［0，2π］的圖象。

研究余弦函數的圖象時，教師可以引導學生從誘導公式cosx=sin[x+π2]的角度思考，將正弦函數y=sinx圖象向左平移[π2]個單位，就可以得到余弦函數y=cosx的圖象。如圖5，借助GeoGebra軟件制作動畫，可以直觀展現這一平移變換的過程，發展學生的直觀想象素養。

教材在探究正弦函數和余弦函數的圖象時，對知識的發生、發展過程給予了更多的重視。這時教師可以借助GeoGebra軟件，通過動畫呈現正弦函數的定義和圖象之間的內在聯系，生動地展示正弦函數圖象的發生、發展過程，使學生深刻認識正弦函數概念與圖象之間的關聯，體現數學知識之間的關聯性，從而發展學生的直觀想象素養。在圖象平移過程中，幫助學生感知圖象的變化特點和位置關系，對發展學生的空間想象能力也有很大幫助。

三、定理發現

數學定理的獲得需要經歷觀察、比較、類比、分析、綜合、抽象、概括等過程，GeoGebra軟件的3D展示功能有助于學生直觀感知、操作驗證、分析綜合，進而發現定理，有助于促進直觀想象素養的發展。

以教學人教A版高中數學必修第二冊第八章第六節第二課時“直線與平面垂直”中直線與平面垂直的判定定理為例。教材提出一個探究活動：準備一塊三角形的紙片ABC，經過它的頂點A將紙片翻折，折痕為AD，將翻折后的三角形紙片豎起放置在桌面上。折痕AD與桌面垂直嗎？要使折痕AD與桌面垂直，應該如何翻折呢？為什么？

教師首先引導學生進行折紙操作探究，學生容易發現當AD與BD、CD都垂直時，折痕AD與桌面垂直。接下來，借助GeoGebra軟件的3D展示功能對折紙實驗進行驗證。

如圖6，改變點D的位置，當AD不垂直于BC時，觀察∠ADC大小的變化情況。學生發現，在此情況下AD總是不垂直于桌面所在平面。教師可以讓學生自主旋轉桌面所在平面，進行360°全方位觀察驗證。

如圖7，當∠ADC=90°時，AD⊥BD，AD⊥CD，通過控制滑動條，使得△ABD繞著軸AD旋轉，保持∠ADC=90°。借助GeoGebra軟件的3D展示功能，進行360°全方位旋轉觀察發現，無論△ABD旋轉到何位置，總有∠ADC=90°，∠ADB′=90°，即AD⊥BD，AD⊥CD，這也能夠說明，直線AD垂直于過點D的所有直線，符合直線與平面垂直的定義，所以，直線AD總是垂直于直線BD、CD所在的平面。最后，引導學生運用文字、圖形、符號等三種語言敘述線面垂直的判定定理。

在定理教學中，教師借助GeoGebra軟件的3D展示功能，指導學生進行操作探索，讓學生更直觀地觀察到空間幾何圖形的變化規律和特點，GeoGebra軟件3D旋轉的立體效果，能幫助學生更有效地發現定理、探索推理，有助于幾何直觀和空間想象能力的進一步發展。

四、公理探索

公理是基本命題，是無條件承認的、相互制約的規定，是對各個基本概念的相互關系和基本性質的闡述和規定，它是明顯無誤且無須加以證明的命題。在教學中，公理的學習途徑主要是直觀感知、操作實驗以及歸納概括。

例如教學人教A版高中數學必修第二冊第八章第4節第一課時“平面”中的基本事實3時，思考題如下：將一把三角板的其中一個角立在課桌面上，那么，三角板所在的平面和桌面所在平面是不是只相交于一點B？為什么？

在教學過程中，教師可以引導學生拿出三角板按照思考題的要求進行操作探索，觀察分析。有一部分學生能進行空間想象得到基本事實3。但是三角板是有厚度的，而且三角板不能無限延展，桌面的大小也是有限的，受直觀想象能力的制約，有些學生難以得出基本事實3。

在基本事實3的探索中，教師可以充分發揮GeoGebra軟件3D功能的優勢開展教學。教師可以先作出平面α，過平面α內的任意一點B作出一個△ABC，作出△ABC所在的平面β（如圖8所示），學生容易發現基本事實3。接著，可以保持點B的位置不變，引導學生作出任意一個△ABC與△ABC所在的平面β（α≠β），通過多次操作實驗，學生可以發現并歸納基本事實3，得出基本事實3的文字、符號和圖形語言描述。

在傳統的公理教學中，如果教師只是利用三角板與桌面進行實驗教學，學生由于缺乏想象力，所以學習數學知識的積極性不高，導致無法順利發現基本事實3，也難以發展空間想象能力。但是，如果利用GeoGebra軟件制作空間圖形呈現位置關系，讓學生主動使用GeoGebra軟件，自己操作探索，教師進行適當引導，既能激發學生的學習主觀能動性，又能發展學生的直觀想象能力，教學事半功倍。

五、數學解題

在數學教學中，解題是一種基本的活動形式，無論是數學概念的形成，還是數學命題的掌握、數學方法和技能的獲得，或者是學生能力的發展，都要通過解題來完成。在數學解題中，學生由于缺乏空間想象能力，無法理解和想象一些比較抽象的空間問題，解題效率低、正確率低。教師有必要借助GeoGebra軟件直觀呈現題目中的圖形，一方面提高學生的解題效率與正確率，另一方面發展學生的直觀想象能力。

例如填空題：正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為4，以A為球心、4[2]為半徑的球面與平面A′B′C′D′的交線長為? ? ? ?。

對于這道數學題，大部分學生感覺解決起來比較困難，因為他們只知道球面與平面A′B′C′D′有兩個交點B′和D′，很難想象出以A為球心、半徑為4[2]的球面與平面A′B′C′D′的交線是什么樣的圖形，因而無法準確求出交線的長。在傳統教學中，由于缺乏信息技術的支持，教師一般是徒手把交線畫出來，這對教師的畫圖能力提出了很高的要求，且教師徒手畫出來的圖形不可避免地存在誤差。不標準的圖形將限制學生直觀想象能力的發展，導致題目變式后，學生無法遷移運用相關知識。

如圖9所示，教師可以利用GeoGebra軟件作出棱長為4的正方體ABCD-A′B′C′D′，接著以A為球心、4[2]為半徑作出球面，引導學生觀察想象，最后，教師可以作出正方體各個面與球的交線，并顯示交線，使球體進行360°旋轉，有助于學生更加形象直觀地感受和想象。

通過觀察圖9學生容易發現，球面與正方體面A′B′C′D′的交線是以A′為圓心、半徑為4的四分之一圓弧，因此，交線長是2π。學生求出交線長以后，教師可以追問：為什么球面與正方體面A′B′C′D′的交線是半徑為4的四分之一圓弧？

學生思考并回答后，教師可借助GeoGebra軟件，作出面A′B′C′D′所在的延伸面與球面的交線，學生容易發現，如果正方體面A′B′C′D′無限延伸，與球面形成的交線是圓，但是由于題目求的是正方形A′B′C′D′與球面的交線，因此所求交線是半徑為4的四分之一圓弧。

在教學中，借助GeoGebra軟件的3D功能，能夠有效地提高教學的實效性與趣味性，激發學生的探究興趣，進一步促進學生直觀想象素養的發展。

高中生直觀想象素養的發展不是一蹴而就的，它在概念生成、圖象探究、定理發現、公理探索、數學解題等過程中潛移默化地產生、形成和發展，教師可以借助信息技術，將GeoGebra軟件運用于教學，生動展示空間幾何及圖象圖形的變化規律、運動特點。在活動中激發學生的探究欲和學習興趣，提高學生學習的主觀能動性，推動學生的數學思維向更廣闊的領域發展，循序漸進地培養學生的直觀想象素養。

參考文獻

［1］曹才翰，章建躍.數學教育心理學［M］.北京：北京師范大學出版社，2014.

［2］張雄，李得虎.數學方法論與解題研究［M］.北京：高等教育出版社，2011.

［3］張奠宙，宋乃慶.數學教育概論［M］.北京：高等教育出版社，2009.

作者簡介：蔣秋櫻（1994— ），廣西南寧人，碩士，一級教師，研究方向為學科教學（數學）。

（責編 劉小瑗）