2023年高考數學天津卷與課程標準的一致性分析

劉 勇 沈 婕 王洪亮 李 瑛 譚 毅 劉新亮

一、問題提出

《高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》（以下簡稱“課標”）是普通高中數學課堂教學的圭臬，也是高考命題依據。高考試題遵循“一核、四層、四翼”的命題標準，即以“立德樹人、服務選才、導向教學”為命題的核心，主要考查“必備問題、關鍵能力、學科素養、核心價值”，試題具有“基礎性、綜合性、應用性和創新性”的特點[1]。高考試卷在體現這些特點的基礎上，還要與課標要求保持高度一致性，才能實現“教考合一”，正確“導向教學”。因此有必要用科學的方法對高考試題與課程標準的“一致性”進行分析。

研究借鑒了SEC（Surveys of Enacted Curriculum）的分析方法，采用課標與試題編碼的對應關系進行一致性分析，即按照預設的編碼框架，先將課標中的內容要求進行分解，按照所要求學習水平進行編碼；再結合試題內容及學生答題表現，對高考試題的考查水平進行編碼；最后將課程標準和試卷的編碼統計結果進行對比分析，得出相關結論[2]。

二、一致性分析框架

（一）課程標準分析框架[3]

課標從教學內容和數學核心素養兩個維度提出了學生要達到的水平，借鑒SEC 一致性范式分析對此標準進行編碼。參考李欣欣等對認知水平的編碼方法，對“了解、理解、掌握”等表示結果目標的行為動詞進行分類，具體結果見表1[4]。將四個內容主題順次編碼為1、2、3、4；再對每個內容主題下的二級主題用1、2、3…進行編碼；接著對二級主題下的子目標做進一步編碼；最后將三個認知水平依次用“A”“B”“C”進行編碼，即“水平一”記為A、“水平二”記為B、“水平三”記為C。例如，“在具體情境中，了解全集與空集的含義”，其編碼為“1.1.3A”。

表1 表示結果的目標行為動詞歸類

核心素養水平編碼時要考慮核心素養的表現水平與問題情境的熟練度、技能的難易度、思維及表達的創新度、以及交流與反思的規整度，具體劃分方法參照課標中“附錄”部分。六個核心素養的編碼為：1-數學抽象，2-邏輯推理，3-數學建模，4-直觀想象，5-數學運算，6-數據分析。核心素養水平分別記為A-水平一，B-水平二，C-水平三。

課標要求編碼示例：

例如課標的內容要求為“經歷推導兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義”，解決此問題直觀想象素養要達到水平三的要求，數學運算素養要達到水平二的要求和邏輯推理素養要達到水平三的要求，所以其編碼分別為2.3.11C4C、2.3.11C5B和2.3.11C2C。

（二）高考試題分析框架

試題情境是考查數學核心素養和學生認知水平的載體。試題的情境包括現實情境、數學情境和科學情境，每種情境又可分為熟悉情境、關聯情境和綜合情境。問題是指在情境中提煉出的數學問題，從考生認知的角度可分為簡單問題、較復雜問題和復雜問題。

簡單問題通常運用基礎問題和基本技能以及簡單的數學思想方法和基本活動經驗即可完成，考生解決此類問題可認為達到知識的認知水平一的要求。

較復雜問題通常是將兩個或兩個以上的問題情境關聯在一起，多為同一單元內問題的關聯。該類問題的解決通常需要考生能夠辨析出問題與問題間的關系，并形成有序的解題思路，能清晰地表達條件與結論間的關系，與對數學思想方法的理解和運用程度有直接的關系，考生解決此類問題可認為達到知識的認知水平二的要求。

復雜的問題通常是將多種問題情境交織在一起形成的新問題，具有參數多、情境新、思路分散、運算困難、圖形復雜等特點，問題的表述也較為陌生。此類問題的解決通常需要考生整體規劃解題思路，并能發現和提出一些具有輔助作用的問題，能將猜想和論證的思維過程清晰表達，一般此類問題的解決與考生的創新能力和思辨能力相關，考生解決此類問題可認為達到知識的認知水平三的要求。

試題所考查的核心素養水平與試題的難易程度、試題的創新度、情境的熟悉程度和情境的關聯度相關。在分析試題核心素養水平時，仍參考“課程標準”中附錄部分對核心素養水平的劃分，將其分為三個水平。

水平一是指在單一的問題情境中考查學生核心素養，試題考查一個或同一個單元內兩個簡單問題，并考查一個較為明顯的核心素養。試題所對應核心素養具有抽象直白、推理簡單、模型熟悉、運算量較小、圖形單一、數據明確的特點，并容易用數學符號語言表達。

水平二是在關聯的問題情境中考查學生的核心素養，試題考查兩到三個知識點，通常是單元內部的關聯或是單元與單元之間的關聯，問題解決需要運用數學思想方法進行思考，試題中所含的為兩個及以上數學核心素養或對某個核心素養較為深度的考查。該水平的問題表達一般是經常運用并具有一定邏輯性的數學符號語言。

水平三是在復雜的問題情境中考查學生的核心素養，試題通常是多個問題點與多種數學思想方法的綜合，具有一定的創新性，考查學生綜合解決問題的能力。試題需要經歷猜想、推理、想象等綜合的思維過程，包含多種數學核心素養。該水平的問題表達形式較為復雜，要運用大量的數學符號語言和圖形語言進行描述。

問題情境的復雜程度分別用“A”“B”“C”進行編碼，簡單問題記為A，較復雜問題記為B，復雜問題記為C。核心素養水平編碼同課標要求的數學核心素養編碼規則，其中一道試題可由多組編碼構成。

試題編碼示例：

按照以上分析思路，對試卷各題目進行編碼分析，并對照課標的編碼進行一致性分析，見表2。

表2 試題編碼與課程標準一致性分析

三、一致性分析結果

（一）試題情境與課程標準的一致性

根據上述試題情境與課標內容的一致性表現，結合試題所占分值其分布，分析結果見圖1。

從試題情境與課標要求的關系上看，雖然完全一致的占56.67%，但低于課標要求的24.67%的試題中，均為熟悉的關聯情境，考慮這個關聯的因素，這些內容也可視為與課標具有一定的一致性，這樣共有81.34%的題目與課標保持較高的一致性。

（二）試題所考查核心素養與課程標準的一致性

試題對6 個核心素養均有考查，結合素養所占分值其分布（一題含有多個核心素養的，按核心素養的權重賦分值，含選擇填空題），其一致性表現見圖2。

圖2 試題核心素養與課程標準的一致性表現

從核心素養的一致性上看，2023 年高考數學天津卷在核心素養考查上與課標保持了高度的一致性，完全一致的占全卷的72.67%。低于課標要求的18%試題中，有部分題目是一個題目中含多個核心素養，例如17（1）、18（1）中均含兩個核心素養，這樣必然會提高對學生核心素養水平的要求，也可以說是考查到核心素養水平二的要求。

（三）一致性與考生作答表現的關系分析

根據考后數據，得分率0.7 及以上的為容易題，得分率在0.4~0.7 的為中等題，得分率在0.4 以下的為難題。結合試題情境與課標內容的一致性，其難度分布見圖3。

圖3 試題情境與課標內容的一致性與試題難度的關系

從該圖表不難看出，試題與課標的一致性與考生作答情況有著直接的關系。試題情境低于課標內容要求的試題中，均為容易題。這說明大部分考生對低于課標要求的內容均可以掌握，也說明在高考復習中對基礎知識把控較好。

試題情境與課標內容要求完全一致的題目中，容易題占據較大的比重，這些題目的特點是比較熟悉的關聯情境，試題均是單元內知識的關聯，直接運用數學概念、定理、法則、性質等，也是復習中常見的問題。中等題具有情境較綜合的特點，要將知識與數學思想方法相結合解決問題，考查知識的本質，并非是知識簡單的應用。但對于第20（1）題，各組考生得分率如表3（采用安格夫法，依據考生2023 年高考數學天津卷的成績，將考生分為四個水平組，其中G4 精通水平組的分數段為110 分—150 分，G3 熟練水平組的分數段為92 分—109.5 分，G2 基本水平組的分數段為72 分—91.5 分，G1 基本水平以下組的分數段為72 分以下；G5 組為全體考生）。其中G1 和G2 組考生得分非常低，這說明考生求導數沒有達到課標的基本要求，因此教學中每個知識點都要評價學生是否達到了課標的要求。在難題中，第18（2）題主要是由于考生未能掌握解析幾何的思想方法，特別是將圖形關系轉化為代數關系的過程考生仍不熟練，達不到課標要求的能力；第19（2）題，主要是由于考生沒有理解數列概念的本質；第20（2）題主要是對函數的變形的探究存在問題，即轉化與化歸思想方法掌握不到位。說明試題情境與課標內容完全一致的題目中，呈現出不同層次的答題結果，這與日常教學中落實深度的把控、難度的調整、復習的導向性、全面性有直接的關系。

表3 全市不同水平組考生第20（1）題的作答概況

試題情境高于課標內容要求的題目中的難題均為函數問題的復雜情境，除知識本身外還要運用特殊與一般、猜想與證明、反證法、構造函數等較高維度的數學思想方法，且問題的數學表達的過程，考生也難以駕馭，致使這些題得分率均低于0.1。這說明，精通水平組的考生對于高于課標內容要求的試題也存在較大的困難，需要在情境的理解、問題的抽象、推理思路的形成以及數學表達等層面再下功夫。

根據考后數據，結合試題所考查的數學核心素養水平與課標要求的一致性，其難度分布如圖4。

圖4 試題核心素養與課標要求的一致性與試題難度的關系

從該圖表不難看出，試題核心素養與課標要求的一致性與考生作答仍具有明顯的關系。核心素養低于課標要求的題目均為容易題，說明教師在教學中注重核心素養的基礎內容的落實。

核心素養與課標要求一致的題目中，容易題仍占較大的比重，這些核心素的考查較為直接，考生能直接辨析和運用對應的核心素養，這與復習中反復練習是密不可分的。中等難度試題集中在直觀想象和數學運算素養上，這說明在教學中，要對學生直觀想象素養的要求進一步提煉，要用課標要求定位教學目標，反復評價學生水平并及時調整教學；對于數學運算素養要為學生創設關聯的運算情境，讓學生意識到運算是解題的基本工具，教學中要讓學生在探究運算思路、設計運算程序、總結運算特點上下功夫。難題主要涉及直觀想象、邏輯推理和數學運算素養，特別是邏輯推理素養所占比例較大。其中第19（2）題是將多種邏輯推理的方法關聯在一起，主要涉及不等關系、不等式的放縮以及數列角標變化等推理，同時還要能用數學語言準確表達。考生此題的得分率如表4。數據表明，考生對于關聯的新情境的理解能力較差，無法將邏輯推理的方法綜合起來，用數學語言表述論證的能力欠缺。在教學中要經常為考生選擇一些較新的情境，讓學生自主探究推理思路并嘗試用數學符號語言表達，教師可通過“問題導引”的方法為學生搭設“腳手架”，不斷提高學會推理論證的能力。

表4 全市不同水平組考生第19（2）題作答概況

核心素養高于課標要求的題目均為難題，甚至得分率低于0.1，這些題目是知識的掌握水平、核心素養認知水平以及數學思想方法的理解應用水平的綜合體現。在復雜的情境中，考生在較短時間內很難達到核心素養水平三的要求，這就要求教學中要適當地進行因材施教，有計劃有目的地進行拔尖人才培養。

四、基于一致性分析結果的教學與命題建議

（一）教學中的問題情境要依據課程標準的要求設定

一致性的分析結果表明，教學中教師要不斷挖掘新課標的教學理念，不斷調整、改善自己的教學[5]；要以課程標準中的要求為依據，為學生選擇例題、練習以及考試訓練題等；要在教學中反復檢測學生是否達到課標中的內容要求及核心素養要求，對于不達標的學生，要幫助他們查找問題根源，逐個點位進行落實；要結合課標要求，加強基礎知識和基本技能的練習，加強單元內關聯知識的結合，加強數學核心素養的培養。有意識地培養學生不斷形成數學知識、技能、思想方法和核心素養相融合的分析和解決問題的能力。

根據課標要求要加強基礎知識的教學。以課標要求為依據，對相關概念、定理、公式的復習要厘清其脈絡，讓學生能理解知識的來龍去脈，形成探究知識的基本活動經驗和典型題目的解題經驗。教材中的例題、習題、復習參考題與課標聯系最為密切，要將這些問題弄清弄透，以這些題目為根本，運用變形、嫁接、關聯等方法，為學生創設變形的問題情境。

根據課標要求要加強基本技能的練習。教師要把握了解、知道、理解、掌握等不同程度行為動詞的含義，教學中有意識地檢測學生的解題技能是否達標。特別是對于要求較高的內容，要經歷循序漸進的過程，注重學生的參與度，適當采用“點撥總結”“練習體驗”“誤試”“反思”等方法，讓學生親身經歷解題過程，形成基本技能，積累解題技巧和經驗。

根據課標要求加強數學思想方法的提煉。學生要達到“數學核心素養水平二”的要求，必須能從數學思想方法的維度分析和解決問題。教學中教師要注重思想方法在解題中的引領作用的總結，深刻體會課標要求的思想方法的層次，有計劃、有目的、有載體地讓學生在問題情境中分析數學思想方法的表現形式，引導學生嘗試從“為何用”“如何用”“由何用”等方面分析數學思想方法。

根據課標要求加強基本活動經驗的積累。教學中要讓學生經歷基本活動經驗的形成過程，感知問題解決的一般化方法，通過反思、歸納等過程形成活動經驗。教師要經常以課程標準為依據，對基本圖形、基本題型、常見條件、常見問題進行提煉，形成基本的解題“模型”。還要以課標中的認知水平為指導，為學生創設檢測活動經驗的情境，讓學生在變化的問題情境中應用經驗、提升經驗，從而實現活動經驗的螺旋式上升。

（二）教學中數學核心素養的培養要具體可行

研究結果顯示，試卷完全根據課標中附錄部分對核心素養的水平劃分，呈現出不同水平的試題。教師一定要精讀每個水平的要求，并進行深入的思考，感知每個水平的標準，特別要結合課標中每個知識的要求，梳理出其對應的核心素養水平，教學中有計劃有目的地開展活動。每個核心素養培養都要在教學上有抓手，做到具體可行。

數學抽象素養，要讓學生自主尋找問題情境所對應的單元，并理解情境的關聯意義，這個過程一定要給學生充分的思考與表達的機會，不斷提高學生的數學抽象能力。

邏輯推理素養，要讓學生逐漸形成分析和論證問題的方法，在條件與結論之間自主搭建“橋梁”，課堂多問學生一些“為什么”，幫助學生形成探索論證的好習慣；要給學生形成論證思路的機會，幫助學生形成由“猜想—證明”的推理方法；要給學生用數學語言表述過程的機會，教師適當示范和引導；還要給學生辨別推理方法優劣的機會，幫助學生分析如何選擇一些便捷的方法，例如分析法、反證法等。

數學建模素養，要為學生創設適當的生活情境和數學模型情境，幫助學生總結模型的特點；建立運用數學模型解決問題的方法，特別是對于一些常見的問題，可幫助學生總結出數學模型，讓學生在辨析情境特點、運用數學模型的過程中解決問題。

直觀想象素養，要讓學生體會數形結合的作用，不但從總體上理解數形結合，還要從微觀角度分析數形結合的表現形式，例如，要讓學生從“為什么可以數形結合，數與形是如何結合的，‘數’的微觀性與‘形’的宏觀性各起到什么作用”等問題的思考中，提升對數形結合的內涵的理解。

數學運算素養，要讓學生體驗運算的不同類型以及運算的作用，明晰運算在各單元的表現形式，例如解三角形中的直接運算、轉化為方程的運算；基本不等式中數學運算與基本不等式的結合；解析幾何中方程及含參的運算；導數問題中函數變形給運算帶來的影響等，教學中要時時點撥，讓學生體會運算作用及表現。

數據分析素養，要為學生創設梳理數據及事件關系的情境，要將數據分析與數學模型相結合，與生活背景相聯系。引導學生建立概率統計單元的知識結構圖，明晰概率公式之間的關系，形成由“一維”到“二維”數據的統計解題模型。

（三）教學中要建立因材施教機制

研究結果顯示，試卷中仍有部分低于或高于課標要求的試題。這些題目給基本水平以下的學生帶來了更多的得分機會，也給精通水平的學生搭建了展示的“舞臺”。

從考后數據看，基本水平以下學生在低于課標要求的題目中得分率仍較低，例如第6 題函數圖象，該組考生得分率僅有0.34，第10 題復數運算僅為0.68，第11題二項式定理僅為0.58等，說明這類學生還需要在基礎知識、基本技能層面多加強指導，核心素養水平定位在了解、知道和會用的水平，即可定位于水平一與水平二之間的層次。

精通水平學生在高于課標要求的試題中表現不佳，如第15、20（3）題，該組得分率僅為0.01，無論是從問題的推理過程還是數學問題解決的一般化觀念，抑或是數學解題表達方式，均表現不佳，這也說明在數學拔尖人才培養上存在著不足。

由此看來，在高中數學教學要建立因材施教的機制。對基本水平以下的考生，要降低教學目標要求，以形成最基礎、最核心的活動經驗為目的，加強基礎知識和基本技能的練習。對基本水平的考生，以課標中“水平一”和“水平二”為標準，加強學法指導，教師要經常檢測此類考生的水平，幫助學生樹立信心。對于熟練水平的考生，其目標定位在課標要求中的“水平二”，應加強變式訓練，幫助學生形成知識結構，提高關聯情境的分析能力，加強從數學思想方法的角度分析和解決問題的能力。對于精通水平的考生，其目標要定位在“水平二”，但要將該水平中每個問題細致化，使其能充分理解并掌握其技能與方法，特別要在一些陌生的數學表達上要下功夫，提高對陌生且復雜的問題情境的分析能力，其中部分能力強的考生要以核心素養中某些“水平三”的要求作為學習目標，通過適當的練習、反思、探究等活動，提高發現、提出、分析和解決問題的能力。

（四）高考命題應與課標保持高度的一致

根據上述一致性分析發現，2023 年高考數學天津卷與課標的吻合度較強，試卷難度適中，區分度較好。試題中四個主題均涉及不同層次的問題情境，對評價考生的數學核心素養的水平具有一定的意義。從問題情境的復雜性上看，函數主題中復雜問題情境所占比例較大，而且得分率過低，例如第15題的得分率為0.00，第19（2）題的得分率為0.15，建議此類問題以課標要求為依據，適當地降低難度；對于簡單問題情境，可將個別題目改為簡單且熟悉的關聯情境，這樣不但能與課標保持更高的一致性，而且能更好地區分考生水平。從數學核心素養維度看，仍缺乏對數學建模素養的考查，建議加強此部分內容的考查；邏輯推理素養僅有簡單和復雜的問題情境，缺乏對較復雜的問題情境的考查，而且降低了評價此素養的區分度，建議增加考查邏輯推理的較復雜問題。

總之，2023 年高考數學天津卷與課標具有較高的一致性，數學教學要根據“一致性”的特點，合理為學生選擇問題情境，教學中加強引導、提煉與反思，加強基本水平以下學生的幫扶和數學拔尖人才的培養，加強中等生知識的落實與數學核心素養的提高。