漸變氣隙結構下單相無刷直流電機齒槽轉矩解析建模

摘 要：齒槽轉矩的準確計算是解決單相無刷直流電機起動死點問題的基礎。針對單相無刷直流電機有限元建模繁瑣耗時的問題，建立漸變氣隙結構下單相無刷直流電機齒槽轉矩的解析模型。首先推導漸變氣隙結構下氣隙磁密的解析表達式，并利用能量法推導齒槽轉矩的解析表達式，對其中的氣隙磁密和有效氣隙長度函數進行簡化和傅里葉分解，最終得到齒槽轉矩的解析模型。結合自適應復化梯形算法對該解析模型進行計算，避免傳統模型中變量物理意義模糊，造成普適性差、預測精度低的問題。將漸變氣隙結構下齒槽轉矩的解析結果與有限元結果對比，并重點分析過零點偏移角度和峰值，驗證所建立的齒槽轉矩解析模型的正確性。該解析模型能夠利用計算機編程實現快速準確地求解，且模型中各變量均與電機結構相關、物理意義清晰，便于設計人員優化齒槽轉矩時尋找各變量之間的規律。

關鍵詞：解析模型；有限元法；齒槽轉矩；單相無刷直流電機；起動；漸變氣隙

DOI：10.15938/j.emc.2024.11.009

中圖分類號：TM351

文獻標志碼：A

文章編號：1007-449X（2024）11-0094-10

Analytical modeling of cogging torque of single-phase brushless DC motor with gradient airgap structure

SU Yan， WANG Xilian， ZHAO Haizhou， MA Yanshen

（Department of Electrical Engineering，Beijing Jiaotong University， Beijing 100044， China）

Abstract：Accurate calculation of cogging torque is the basis for solving the dead point problem in the start-up of single-phase brushless DC motor. Aiming at the problem of cumbersome and time-consuming finite element modeling of single-phase brushless DC motor， an analytical model of the cogging torque of single-phase brushless DC motor with gradient airgap structure was established. Firstly， the analytical expression for the airgap flux density with the gradient airgap structure was derived. Then， the energy method was employed to derive the analytical expression for the cogging torque. Subsequently， the airgap flux density and the effective airgap length function were simplified and Fourier decomposed. Finally， the analytical model for the cogging torque was obtained. The analytical model of cogging torque was calculated by the adaptive multi-segment trapezoidal algorithm to avoid the problem of poor generalization and low prediction accuracy caused by the ambiguous physical meaning of the variables in the traditional model. The analytical results of the cogging torque under the gradient airgap structure were compared with the finite element results， and the over-zero offset angle and peak value were analyzed to verify correctness of the established analytical model of cogging torque. The analytical model can be solved quickly and accurately by computer programming， and the variables in the model are related to the motor structure with clear physical meanings， which makes it easy for the designers to search for the laws between the variables when optimizing the cogging torque.

Keywords：analytical model; finite element method; cogging torque; single-phase brushless DC motor; start-up; gradient airgap

0 引 言

單相無刷直流電機（single-phase brushless DC motor，SPBLDCM）由于結構簡單、成本低廉、轉速上限高等特點，被廣泛應用于一些對動態性能無嚴格要求的小功率家用電器中，如風機、水泵、光盤驅動等^[1-]。然而，在對稱結構的SPBLDCM中，齒槽轉矩和電磁轉矩的零點是重合的。因此，當電機在不通電的情況下，轉子會穩定在磁阻轉矩最小的位置，即靜止在齒槽轉矩的零點位置；而當電機通電后，作用在轉子上的電磁轉矩為0，導致電機無法起動。為了克服電機的起動死點問題，SPBLDCM通常采用非對稱定子結構，使得電機靜止時的齒槽轉矩發生零點偏離，和電磁轉矩的零點不再重合，此偏離角度能夠為電機轉子提供一定的起動轉矩，實現SPBLDCM的自起動。

近年來，國內外學者圍繞SPBLDCM本體結構，利用有限元法（finite element method，FEM）對齒槽轉矩做了大量的研究。常用的不對稱結構有階梯型、漸變型、不對稱開槽、不對稱極靴4種。文獻[4]研究了這4種常見的SPBLDCM不對稱結構，研究結果表明，無論采用哪一種勵磁方式，漸變型結構能顯著降低齒槽轉矩峰值，但轉矩脈動仍然較大。為了優化齒槽轉矩并減小轉矩脈動，眾多技巧性的研究紛紛涌現。文獻[5]提出在定子交替使用均勻齒和漸變型齒，因此總氣隙長度比傳統不等氣隙小，能夠降低48%的齒槽轉矩和40%的轉矩脈動，從而提高效率。文獻[6]提出在漸變氣隙結構上增加薄端傾斜，研究結果表明，該方法與錐形氣隙相比，起動轉矩提高了70%以上，齒槽轉矩大幅降低。文獻[7]提出定子凸極鐵心分段的新型拓撲結構，通過在每段選用不同的曲率半徑，可以完全消除起動死點的存在和削弱齒槽轉矩，但這增加了定子鐵心的設計和生產難度。文獻[8]提出在定子齒表面增加非對稱半圓形輔助槽的設計，利用輔助槽尺寸及位置以調整齒槽轉矩諧波的相位，從而實現峰值轉矩削弱的效果。在此基礎上，文獻[9]對半圓形和矩形這兩種輔助槽形狀進行了對比分析，研究結果表明，采用半圓形輔助槽能夠更好地削弱齒槽轉矩。文獻[10]通過優化極弧比，確保反電動勢波形呈現平滑的梯形形狀，有效降低了電流諧波，在換向過程中實現了平穩的轉矩輸出。通過應用有限元法對SPBLDCM的結構進行研究，能夠精確地分析漏磁效應、磁路飽和以及非對稱齒槽結構等關鍵因素。但目前Ansoft、Magnet這些主流電機有限元分析軟件等均無現成的SPBLDCM模型，設計人員需要進行大量的前處理，才能對SPBLDCM進行建模分析，整個設計過程繁瑣而耗時。

除了有限元法，解析法（analytic method，AM）也被廣泛地運用于電機的氣隙磁場以及齒槽轉矩的建模計算中。文獻[11]結合能量法建立了漸變氣隙結構SPBLDCM的齒槽轉矩解析模型，但求解時需要對氣隙磁場能量逐次求導，較為復雜。文獻[12]采用能量法經過傅里葉分解推導得出了齒槽轉矩解析模型，并通過泰勒級數展開對漸變氣隙的氣隙磁導進行簡化，該解析模型可定性分析齒槽轉矩，但計算量巨大且復雜，且泰勒級數只保留前兩項，造成了較大的計算誤差。

有限元法雖然能夠高精度地計算SPBLDCM的磁場，但是當考慮電機優化時，由于有限元法難以將分析結果與電機參數之間的內在聯系描述清楚，若僅采用有限元法會非常耗時且效率很低。因此，利用解析模型中各變量與電機結構參數聯系強、能夠快速尋優的特點，可以在滿足工程精度的情況下，利用計算機編程快速求解獲得電機最優的設計方案，具有一定的應用價值。

本文首先建立漸變氣隙結構下忽略齒槽效應的SPBLDCM氣隙磁密解析模型，并與有限元法進行對比，以驗證解析模型的正確性。在此基礎上，利用能量法推導齒槽轉矩的解析表達式，并對其中的氣隙磁密和有效氣隙長度函數進行簡化和傅里葉分解，得到齒槽轉矩的解析模型。引入數值積分的自適應復化梯形算法實現解析模型快速、精確地求解。最后將解析模型計算結果與有限元仿真結果對比，并對起動死點影響最大的齒槽轉矩過零點偏移角度和峰值進行分析，驗證本文所建立的齒槽轉矩解析模型的正確性。

1 電機結構

本文以一臺漸變氣隙結構下徑向充磁、圓筒形內轉子式的SPBLDCM為載體進行分析，電機模型示意圖如圖1所示。漸變氣隙由偏心圓構成，X為定子齒內沿偏心圓弧的圓心在水平方向偏離電機中心O的距離；Rs為定子內徑；Rm為永磁體外徑；Rr為永磁體內徑；hm為永磁體厚度；g為氣隙長度，他是一個與θ有關的函數，且滿足

Rs=Rr+hm+g（θ）。（1）

構成SPBLDCM的主要結構參數如表1所示。

為簡化分析，對SPBLDCM模型作如下基本假設：

1）忽略電機端部效應，磁場沿軸向均勻分布，因此可使用二維平面模型來等效真實的三維模型；

2）將定子槽型等效為寬度與實際槽口相等、深度為足夠深的矩形槽；

3）忽略鐵心磁阻，且鐵心不會飽和，即電機定、轉子鐵心的相對磁導率為無窮大；

4）永磁體的磁導率與空氣相同，即μr=1；

5）忽略永磁體退磁效應，即退磁曲線為直線，不考慮永磁體的渦流損耗。

2 漸變氣隙結構下無槽SPBLDCM氣隙磁密解析模型推導

圖2所示為漸變氣隙結構下無槽SPBLDCM簡化模型及其對應的氣隙長度波形。為簡化分析，假定氣隙長度在1個定子齒間距范圍下呈線性變化，則漸變氣隙長度函數g（θ）為

g（θ）=gmax－gminπ/pθ+gmax+gmin2，

－π2p≤θ≤π2p。（2）

式中：gmin和gmax分別為最小氣隙長度和最大氣隙長度，mm；p為電機極對數。

當定子為無槽結構時，圖2所示的氣隙域Ⅰ和永磁體域Ⅱ中的磁感應強度與磁場強度分別滿足：

BrⅠ=μ0HrⅠ，Rmlt;rlt;Rs；

BrⅡ=μ0μrHrⅡ+μ0M，Rrlt;rlt;Rm。（3）

式中：BrⅠ、BrⅡ分別對應電機氣隙域Ⅰ和永磁體域Ⅱ的磁感應強度，T；HrⅠ、HrⅡ分別對應氣隙域Ⅰ和永磁體域Ⅱ的磁場強度，A/m；μ0為真空下的磁導率，μ0=4π×10^-7 H/m；μr為永磁體磁導率，μr=1 H/m；M為永磁體剩余磁化強度，A/m。

在二維極坐標下，M可表示為

M=Mrr+Mθθ。（4）

式中Mr、Mθ分別對應永磁體剩余磁化強度的徑向和切向分量。

Mr、Mθ可通過傅里葉級數分解表示為：

Mr=∑∞n=1，3，5，…Mncos（npθ）；

Mn=2Brαpμ0sinnπαp2nπαp2；

Mθ=0。（5）

式中：Br為永磁體剩磁，T；αp為永磁體的極弧系數。

電機氣隙域Ⅰ和永磁體域Ⅱ的標量磁位分別滿足如下的Laplace方程和Poisson方程，得到：

2φⅠr2+1rφⅠr+1r22φⅠθ2=0，Rmlt;rlt;Rs；

2φⅡr2+1rφⅡr+1r22φⅡθ2=divMμr，Rrlt;rlt;Rm。（6）

再結合無槽SPBLDCM模型的磁場邊界條件，得到：

HθⅠ（r，θ）|r=Rs=0；

HθⅡ（r，θ）|r=Rr=0；

BrⅠ（r，θ）|r=Rm=BrⅡ（r，θ）|r=Rm；

HθⅠ（r，θ）|r=Rm=HθⅡ（r，θ）|r=Rm。（7）

于是，在忽略齒槽效應的情況下，可求得漸變氣隙結構下SPBLDCM氣隙磁密的徑向分量BrⅠ和切向分量BθⅠ分別為：

BrⅠ（r，θ）=∑∞n=1，3，5，…KB（n）fBr（r）cos（npθ）；BθⅠ（r，θ）=∑∞n=1，3，5，…KB（n）fBθ（r）sin（npθ）。（8）

式中：

KB（n）=（np－1）+2RrRm^np+1－（np+1）RrRm^2np21－RrRs^2np×

μ0Mnμrnp（np）2－1；

fBr（r）=rRs^np－1RmRs^np+1+Rmr^np+1 ；

fBθ（r）=－rRs^np－1RmRs^np+1+Rmr^np+1。

在實際設計中，為減少電機因氣隙不均勻引起的振動和噪聲問題，漸變氣隙的尺寸通常會遠小于定轉子之間的氣隙寬度。因此，漸變氣隙對等磁位面的影響可以忽略不計，則可在工程應用范圍內通過式（1）～式（8）來求解漸變氣隙結構的情況。

以轉子圓心為原點，氣隙測量半徑取r=5.6 mm，所得漸變氣隙結構下無槽SPBLDCM氣隙磁密的徑向分量和切向分量的解析解與有限元解對比如圖3所示。由圖3可知，由于忽略了定子齒尖的聚磁效應^[1]，解析解與有限元解波形存在一定誤差，但二者變化趨勢大體一致，由此驗證了氣隙磁密解析模型的正確性。

3 基于能量法的漸變氣隙結構下的齒槽轉矩解析模型推導

圖4所示為定子齒與磁極的相對位置，規定α=0為定子齒中心線與磁極中心線對齊的位置，θ=0為磁極中心線。

齒槽轉矩為定子鐵心的齒槽和轉子的磁極之間相互作用而產生的磁阻轉矩，其為永磁電機獨有的技術難題。根據能量法，齒槽轉矩Tcog（α）定義為電機繞組未通電時內部的磁場能量W（α）相對于位置角α的負導數，即

Tcog（α）=－W（α）α。（9）

根據第一節中的假設3），電機內部的磁場能量主要來源于電機氣隙和永磁體，而永磁體中的磁場能量不隨位置角α改變，一般可忽略，因此只對能產生齒槽轉矩的氣隙磁場能量進行考慮，即

W（α）≈12μ0∫^Lef0∫^2π0∫^{Rr+δ（θ，α）}Rm［Br（θ，α）×

hmδ（θ，α）2rdrdθdz=

Lefh2m4μ0∫^2π0B2r（θ，α）×

R2r－R2mδ2（θ，α）+2Rrδ（θ，α）+1dθ。（10）

式中Br（θ，α）、δ（θ，α）分別為SPBLDCM氣隙磁密和有效氣隙長度沿圓周的分布函數。

由第2節的分析可知，漸變氣隙結構下無槽SPBLDCM氣隙磁密沿圓周的分布可以近似為沿y軸對稱的平頂波，因此B²r（θ，α）為偶函數，可以在區間（θ-α）∈[-π/（2p），π/（2p）]進行傅里葉展開為

B2r（θ，α）=B0+∑∞k=1Bakcos［2kp（θ－α）］。（11）

因為定子結構不對稱，可對R2r－R2mδ2（θ，α）+2Rrδ（θ，α）在區間θ∈[-π/Ns，π/Ns]進行傅里葉展開，即

R2r－R2mδ2（θ，α）+2Rrδ（θ，α）=G0+∑∞m=1［Gamcos（mNsθ）+

Gbmsin（mNsθ）］。（12）

因為Ns=2p，由式（10）～式（12）可得

W（α）=∑4i=1Wi（α）。（13）

式中：

W1（α）=Lefπ2μ0B0（G0+1）;

W2（α）=Lefh2m4μ0∫^2π0B0∑∞m=1［Gamcos（mNsθ）+

Gbmsin（mNsθ）］dθ=0；

W3（α）=Lefh2m4μ0∫^2π0（G0+1）×

∑∞k=1Bakcos［2kp（θ－α）］dθ=0；

W4（α）=Lefh2m4μ0∫^2π0{∑∞k=1Bakcos［2kp（θ－α）］×

∑∞m=1［Gamcos（mNsθ）+Gbmsin（mNsθ）］} dθ。

由于三角函數系具有正交性，因此當2kp≠mNs時可得：

∫^2π0{∑∞k=1cos［2kp（θ－α）］×∑∞m=1cos（mNsθ）}dθ=0；

∫^2π0{∑∞k=1cos［2kp（θ－α）］×∑∞m=1sin（mNsθ）}dθ=0。（14）

又因2p=Ns，令k=m=n，則式（10）可表示為

W（α）=Lefπh2m2μ0B0（G0+1）+Lefπh2m4μ0×

∑∞n=1Ban［Gancos（2npα）+Gbnsin（2npα）］。（15）

由式（9）和式（15），可得漸變氣隙結構下SPBLDCM的齒槽轉矩解析表達式為

Tcog（α）=Lefpπh2m2μ0∑∞n=1nBan［Gansin（2npα）－Gbncos（2npα）］。（16）

由式（16）可知，只要針對漸變氣隙結構下的SPBLDCM模型，通過簡化分析求得氣隙磁密傅里葉系數Ban、漸變氣隙的相對磁導傅里葉系數Gan和Gbn，即可求得相應的齒槽轉矩解析模型。

3.1 永磁體的氣隙磁密傅里葉系數Ban

當電機永磁體厚度相同且均勻分布時，B²r（θ，α）沿圓周的分布函數可簡化為沿y軸對稱的矩形波，如圖5所示。

B²r（θ，α）的各次傅里葉系數為

Ban=1π/2p∫^π2pαi－π2pαiB2rh2mcos（2npθ）dθ=

2nπB2rh2msin（nαiπ）。（17）

式中αi為計算極弧系數，其定義為一個極距下氣隙磁密平均值與最大值的比值，即αi=Bδav/Bδ。

3.2 漸變氣隙的相對磁導傅里葉系數Gan和Gbn

Gan和Gbn的各次傅里葉系數分別為：

Gan=1π/Ns∫^πNs－πNsR2r－R2mδ2（θ）+2Rrδ（θ）cos（nNsθ）dθ；（18）

Gbn=1π/Ns∫^πNs－πNsR2r－R2mδ2（θ）+2Rrδ（θ）sin（nNsθ）dθ。（19）

有效氣隙長度為磁通從永磁體內徑Rr至定子齒內沿偏心圓弧的路徑長度，如圖6所示，其可根據路徑的不同分為：

1）經過漸變氣隙的路徑1，其氣隙長度按轉子鐵心到定子鐵心的磁通路徑計算；

2）經過定子槽的路徑2，其氣隙長度按轉子鐵心到定子鐵心的直線距離和定子槽內理想化為四分之一圓弧的磁通路徑之和計算。

由于SPBLDCM每個定子齒的結構是相同的，下面以其中一個定子齒為例，對齒槽轉矩進行求解和分析。如圖7所示，定子齒內沿為偏心圓弧，記偏心圓的圓心坐標為（X，0），半徑為Rg，電機定子齒寬為ts。

以電機軸為極點，定子中心線為極軸，順時針為極角的正方向，將偏離圓心坐標（X，0）轉換為極坐標（ρ0，θ0），表示為：

ρ0=X；θ0=π2。（20）

定子齒內沿的偏心圓弧的半徑Rg為

Rg=R2s+X2－tsX。（21）

根據極坐標下圓的方程，定子齒內沿的偏心圓弧的曲線方程為

（ρsinθ－ρ0）2+（ρcosθ）2=R2g。（22）

由式（20）～式（22），即可求得漸變氣隙所對應的有效氣隙長度，即路徑1的長度為

δ（θ）=－ρ20cos2θ+R2g+ρ0sinθ－Rr；θ∈－πNs+b2，πNs－b2。（23）

將磁通在定子槽內的路徑理想化為四分之一圓弧，且圓弧的半徑為求解位置與定子齒端點的最短距離，則路徑2的長度為：

δ（θ）=－π（gmin+Rm）2θ+πNs－b2+

hm+gmin，θ∈－πNs，－πNs+b2；

δ（θ）=π（gmax+Rm）2θ－πNs+b2+

hm+gmax，θ∈πNs－b2，πNs。（24）

式中：

gmin=－ρ20cos2－πNs+b2+R2g+

ρ0sin－πNs+b2－Rm；

gmax=－ρ20cos2πNs－b2+R2g+

ρ0sinπNs－b2－Rm。

4 基于自適應復化梯形的齒槽轉矩計算

漸變氣隙函數沿圓周的分布如圖8所示。由式（16）～式（24），即可得到漸變氣隙結構下SPBLDCM的齒槽轉矩解析模型為

Tcog（α）=pLefNsB2rh2mμ0π∑∞n=1sin（nαiπ）×

∫^πNs－πNsR2r－R2mδ2（θ）+2Rrδ（θ）cos（nNsθ）dθsin（2npα）－

∫^πNs－πNsR2r－R2mδ2（θ）+2Rrδ（θ）sin（nNsθ）dθcos（2npα）。（25）

由式（25）可知，所推導出的齒槽轉矩解析模型中各變量如p、Rr、Rm、δ（θ）等均與電機結構相關、具有明確的物理意義，便于設計人員在齒槽轉矩優化時尋找各變量之間的規律。但其定積分中含有三角函數與有效氣隙長度分段函數的倒數的乘積，難以直接求解。為提高計算精度、減小計算量，采用自適應復化梯形求積法對解析模型進行求解。即當被積函數無法用表達式表示，或者被積函數有表達式但無法求得其原函數時，用數值積分的方法對其進行離散化^[14]。先將求積區間分為N個子區間，并用低階的求積公式求得每個子區間上的梯形面積，然后將所有子區間的梯形面積進行累加求和，得到整個求積區間上的近似積分值。當被積函數為x（t），求積區間為[a，b]時，利用復化梯形公式得到的數值積分結果^[15]為

Tn=h2x（a）+2∑n－1i=1x（ti）+x（b） 。（26）

式中：h=（b-a）/n為積分步長；ti= a+ih為分點，其中i=0，1，2，…，n；x（a）和x（b）為所選區間兩端點上的函數值。

在使用復化梯形公式進行數值積分之前，必須選擇適當的步長。如果步長太大，求積精度難以得到保證；而如果步長太小，將增加計算量。然而，事先確定一個合適的步長通常是困難的^[16]。為解決上述問題，本文采用自適應復化梯形的求積方案。該方法通過逐次等分步長，在計算過程中反復利用復化梯形求積公式，直到每次等分前后的兩次積分近似值接近為止。這種方法具有計算精度高、易于計算機編程實現的特點，相比有限元法而言，計算時間大大縮短。

本文以圖8中第I部分為例應用自適應復化梯形求積法，具體算法流程如下所示。

步驟1：定義

δ（θ）=－π（gmin+Rm）2θ+πNs－b2+hm+gmin；

步驟2：定義

f（θ）=R2r－R2mδ2（θ）+2Rrδ（θ）cos（nNsθ）；

步驟3：初始化積分區間[-π/Ns，-π/Ns+b/2]和精度要求eps；

步驟4：使用復化梯形公式計算區間[-π/Ns，-π/Ns+b/2]上的積分值I1；

步驟5：將區間[-π/Ns，-π/Ns+b/2]二等分，繼續使用復化梯形公式計算子區間上的積分值I2、I3；

步驟6：計算I的近似誤差e=1/3×|I1-（I2+I3）|；

步驟7：如果egt;eps，則調用遞歸算法，將子區間繼續二等分并計算積分值；否則，返回I為區間[-π/Ns，-π/Ns+b/2]的數值積分解，結束。

同理，可再使用兩次自適應復化梯形求積法，對圖8中Ⅱ、Ⅲ區間的的數值積分解進行求解，將三次數值積分的結果進行累加，即可求得式（18），式（19）同理。通過以上步驟，得到漸變氣隙結構下SPBLDCM齒槽轉矩的解析模型。

5 有限元法驗證

本文以一臺內轉子SPBLDCM為例，通過有限元仿真驗證所提出的漸變氣隙結構下SPBLDCM齒槽轉矩解析模型的有效性。

如圖9所示為在均勻氣隙和漸變氣隙結構下的SPBLDCM齒槽轉矩有限元解。其中B、D分別為均勻氣隙結構下齒槽轉矩的正峰值點和負峰值點。A、C、E是齒槽轉矩的過零點。但由于在A、E兩點處，轉子受力后將在齒槽轉矩的作用下逐漸遠離，因此該兩點被認為是不穩定定位點，在本文中不予討論，下文所提及的過零點均指的是穩定定位點C。漸變氣隙結構下的A′、B′、C′、D′點同理。

由圖9可知，由于電機轉子傾向于在磁阻最小的位置停留，因此當SPBLDCM采用均勻氣隙結構時，齒槽轉矩和電磁轉矩的過零點均位于定轉子幾何中心線α=0處。當定子繞組通電后，電機轉子所受的電磁轉矩也為0，因此存在起動死點問題。另外，由于磁極與定子槽之間的相互作用，齒槽轉矩的波形在一個極距范圍內表現為正、負峰幅值相等，平均值為0。而當SPBLDCM采用漸變氣隙結構時，一方面，過零點會偏離α=0的位置，由點C位置向點C′位置移動，定義該夾角為過零點偏移角度；另一方面，會使齒槽轉矩波形的正峰明顯大于負峰。這與現有的理論分析結果相吻合，同時驗證了有限元模型的正確性。

分別利用解析法和有限元法對定子偏離圓心距離X從0變化到1 mm時的齒槽轉矩進行求解，并將計算結果進行比較，如圖10所示。

在圖10中，-10°≤α≤10°對應為定子齒的位置，-22.5°≤α≤-10°和10°≤α≤22.5°對應為定子槽的位置。從圖10可以看出，解析結果與有限元結果變化趨勢一致，驗證了本文提出的漸變氣隙結構下SPBLDCM齒槽轉矩解析模型的準確性與有效性。但由于在構建齒槽轉矩模型中，忽略了永磁體的極間漏磁，且磁密在槽中的路徑也是理想化等效為平行直線與四分之一圓弧，這導致復化梯形積分的誤差被不斷累積，使得解析結果與有限元結果在處于定子槽的位置時有一定偏差。

為進一步驗證本文提出的漸變氣隙結構下SPBLDCM齒槽轉矩解析模型的準確性，需分析對起動死點影響最大的齒槽轉矩過零點偏移角度和峰值。分別將圖10（a）～圖10（f）中解析解與有限元解中的齒槽轉矩過零點偏移角度和峰值進行對比，如圖11所示。在均勻氣隙結構下，也就是定子偏離圓心距離X為0時，齒槽轉矩的過零點偏移角度為α=0，正負峰值以零點為對稱點，呈中心對稱的形狀；在漸變氣隙結構下，隨著定子偏離圓心距離X的不斷增大，過零點偏移角逐漸增大，但漸有飽和趨勢。此時若繼續在增加定子偏離圓心距離X，只能增大齒槽轉矩正峰值，卻無法有效地增大過零點偏移角和起動轉矩。這是由于定子偏離圓心距離X過大時會減小氣隙磁密，降低電機輸出功率。使電機在維持等效功率輸出時體積增大，從而引發損耗的增加以及效率的降低。

由圖11可以看出，解析結果與有限元結果在齒槽轉矩計齒槽轉矩過零點偏移角度和峰值方面的變化趨勢是基本吻合的，但二者在定子偏離圓心距離X較大時仍存在一定誤差，這是因為在仿真中考慮了當X較大時，最小氣隙長度gmin≈0的較為特殊的臨界情況。而在實際電機設計中，氣隙過小會增大摩擦損耗、給定轉子裝配帶來困難，因此gmin不可能達到理想狀態下的最小值。因此本文提出的漸變氣隙結構下SPBLDCM齒槽轉矩解析模型，能在滿足工程實際要求范圍內較好地估計齒槽轉矩過零點偏移角度和峰值，能夠給SPBLDCM設計相關人員提供參考，大大縮短電機設計所需時間。

6 結 論

1）針對SPBLDCM特有的漸變氣隙結構，推導了不計及齒槽效應的氣隙磁密解析模型，并用有限元法進行驗證。計算結果表明，解析解與有限元解具有較好的一致性，表明該模型能較為準確地求解漸變氣隙結構下氣隙磁密分布。

2）針對SPBLDCM有限元仿真繁瑣耗時的問題，利用能量法推導齒槽轉矩的解析表達式，并對其中的氣隙磁密和有效氣隙長度函數進行了簡化和傅里葉分解，得到齒槽轉矩的解析模型。引入自適應復化梯形公式求解該解析模型，并與有限元法進行對比，驗證了解析模型的準確性與有效性。該方法使SPBLDCM齒槽轉矩模型實現了完全解析化，且解析模型中各變量均與電機結構相關、具有明確的物理意義，為SPBLDCM優化設計的自動化編程提供了理論依據。

3）采用本文建立的SPBLDCM齒槽轉矩模型，進一步地對定子偏離圓心距離X為0～1 mm的漸變氣隙結構進行計算，得到不同情況下的齒槽轉矩過零點偏移和峰值。計算結果表明，定子偏離圓心距離X存在一個臨界值Xm，當X≥Xm后，齒槽轉矩過零點偏移角漸有飽和趨勢，但其正峰值卻線性增大。因此，在滿足SPBLDCM順利自起動的前提下，應取X≤Xm來削弱齒槽轉矩峰值，以達到減小轉矩脈動、降低噪音和增加電機運行穩定性的目的。本文提出的齒槽轉矩解析模型為SPBLDCM設計提供了相關參考，有利于設計人員在優化初期就明確齒槽轉矩與電機各設計參數之間的變化規律，從而大大縮短電機設計所需時間。

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（編輯：劉琳琳）