基于代理模型的永磁直線同步電機多目標優化

摘 要：針對傳統值解析法、有限元等作為分析模型進行電機多目標優化設計，存在建模難度大、時間成本高的問題，提出一種基于代理模型的電機優化設計框架，該框架由遺傳算法優化的極限學習機（GA-ELM）以及多目標粒子群優化（MOPSO）算法組成，并用于一臺永磁直線同步電機（PMLSM）的結構優化。基于單變量掃描、主效應分析以及試驗設計（DOE）的方法建立了模型訓練樣本庫，在保證樣本質量的同時降低了樣本容量、節約了建模時間；采用GA-ELM搭建了電機的代理模型，進一步提高了原模型精度；基于MOPSO優化算法引入擾亂子完成對模型的多目標尋優，獲得了三維Pareto最優前沿解集。最后依據優化結果加工樣機，實驗驗證了該優化設計框架所得優化結果的正確性，且結果表明優化后的電機平均推力提高了11.19%，推力波動降低了21.95%。

關鍵詞：永磁直線同步電機；優化設計框架；多目標優化；代理模型；極限學習機；多目標粒子群優化

DOI：10.15938/j.emc.2024.11.013

中圖分類號：TM359.4

文獻標志碼：A

文章編號：1007-449X（2024）11-0139-12

Multi-objective optimization of permanent magnet linear synchronous motor based on surrogate model

XU Xiaozhuo， GUO Guobin， FENG Haichao， DU Baoyu， ZHAO Yunji

（School of Engineering and Automation， Henan Polytechnic University， Jiaozuo 454003， China）

Abstract：Aiming at the problems of difficult modeling and high time cost in traditional multi-objective optimization design of motors with analysis method and finite element as analysis models， a motor optimization design framework based on surrogate model was proposed. The framework consists of a genetic algorithm extreme learning machine （GA-ELM） and a multiple objective particle swarm optimization （MOPSO） and is used for structural optimization of a permanent magnet linear synchronous motor （PMLSM）. Based on univariate scanning， main effect analysis and design of experiment （DOE）， a model training sample library was established， which reduces the sample size and saves the modeling time while ensuring the sample quality; The surrogate model built using GA-ELM further improves the accuracy of the original model. Using MOPSO as an optimization algorithm， a multi-objective optimization of the model was conducted， and a three-dimensional Pareto optimal frontier solution set was obtained. Finally， the prototype was processed according to the optimization results. The experiment verifies the correctness of the optimization results obtained by the optimization design framework. The results show that the average thrust of the optimized motor is increased by 11.19%， and the thrust ripple is reduced by 21.95%.

Keywords：permanent magnet linear synchronous motor; framework for motor optimization design; multi-objective optimization; surrogate model; extreme learning machine; multiple objective particle swarm optimization

0 引 言

由直線電機直接驅動的直驅無繩提升系統，能夠實現無配重、無提升高度限制、無提升速度限制、無中間傳動機構、無曳引鋼繩的“五無”提升模式，永磁直線同步電機（permanent magnet linear synchronous motor， PMLSM）具有推力密度大、響應速度快、加工裝配簡單等優點，使得PMLSM驅動的無繩提升系統在近年來得到了快速發展^[1-]。

隨著直驅無繩提升系統對電機成本、推力密度等要求的不斷提高，高性能PMLSM的設計結構也變得復雜多樣，在進行電機優化設計時，復雜的電機結構一方面增加了精確解析模型的建模難度；另一方面大量的結構參數使得有限元計算時間成本激增，導致傳統的基于解析法、有限元等作為分析模型進行的多目標優化變得困難^[4-6]。因此，如何在降低優化模型建模難度的同時提高電機優化效率已成為電機設計領域關注的熱點問題^[7-9]。

文獻[10]利用響應面建立了管狀直線感應電機關于電機重量和推力的解析模型，并采用遺傳算法作為搜索工具對該電機進行優化設計，極大地縮短了電機優化周期。文獻[11]將反向傳播（back propagation，BP）神經網絡引入到電機機殼拉伸成型質量的預測代理模型中，結合電機殼體拉伸成形實驗驗證了該代理模型的精度。文獻[12]為了進一步提高BP神經網絡的建模效率，提出了一種基于數據預處理的建模方法，與傳統BP網絡相比有效減少了網絡節點數量、增強了網絡泛化能力，但在訓練過程中仍需不斷反向調整網絡權值和閾值。文獻[1]提出了基于Kriging代理模型的考慮精度和計算時間的兩步優化設計方法。通過所提出的流程設計的超高速表貼永磁同步電機與初始模型相比，在滿足電氣規格的同時，減小了尺寸，提高了效率。文獻[14]基于深度學習算法并以純數據驅動的方式構建了永磁同步電機的溫度預測模型，數據驅動的特點極大地降低了模型的構造難度，但是，更多的數據需求無疑增加了前期建模成本。

ELM由于良好的學習能力，近年來引起了國內外學者的關注，對模型的研究主要集中在改進算法本身、拓展ELM應用領域兩方面，前者包括自適應差分進化極限學習機（SaDE-ELM）、粒子群優化的極限學習機（PSO-ELM）、卷積神經網絡極限學習機（CNN-ELM）等^[15-17]，后者極限學習機的應用大多使用其分類功能^[18]，利用其預測功能應用于工程問題的實例較少，多集中于流量、速度、效率、壽命等方面的預測。

對于電氣工程領域，尤其是電機設計中，怎樣利用ELM的預測功能，建立較為準確、快速、便捷的代理模型，完成對電機的應力分析、溫度預測、多目標優化等工作，具有很大的研究空間。文獻[19]對一臺變壓器的雜質損耗進行了研究，并在此基礎上加裝了磁屏蔽結構，最后基于ELM以及PSO算法，以總損耗為優化目標，對該結構的兩個設計參數進行了單目標優化，優化后屏蔽結構的性能指標得到提高，但研究內容多集中在損耗的分析及抑制上，且工程設計中多為多目標優化問題。在電機多目標優化中，文獻[20]采用了ELM來建立電機的優化模型，并基于灰狼算法完成了一臺PMLSM的優化，結果表明ELM具有比SVM更高的精度且得到了電機最佳的優化參數，盡管構建樣本庫時有限元采用2D進行求解，但是全因子的實驗設計方法需要至少5⁴=625個樣本數據，造成樣本庫過于龐大，增加了建模時間成本。

為了進一步探究ELM在電機設計中的應用，提高代理模型精度和泛化能力、降低建模時間成本和構造難度，本文提出一種遺傳算法優化的極限學習機（genetic algorithm extreme learning machine，GA-ELM）作為代理模型，多目標粒子群優化（multiple objective particle swarm optimization，MOPSO）作為優化算法的電機優化設計框架。首先，通過關鍵參數的選取、敏感性分析以及合理的實驗設計（design of experiment，DOE）選擇來構建模型訓練樣本庫；其次，基于GA-ELM神經網絡搭建了三目標代理模型，并基于MOPSO算法引入擾亂算子完成對代理模型的多目標尋優，將優化前、后的數據、模型進行對比；最后，制作樣機進行實驗驗證。

1 電機結構與工作原理

1.1 電機結構及參數定義

本文針對直驅無繩提升系統用的混合勵磁凸極直線同步電機（hybrid excited salient-pole linear synchronous motor，HES-LSM）開展多目標優化研究。其結構如圖1所示，由雙邊初級和一個次級組成，初級由三相交流勵磁繞組和鐵心組成，交流繞組采用雙層分數槽集中繞組結構，次級繞組由永磁體、凸鐵和直流勵磁繞組組成。該結構利用次級凸鐵作為電勵磁磁通路徑，通過直流勵磁調節雙邊氣隙均衡，實現電機無接觸運行。表1和圖2給出了電機的主要結構參數。

1.2 工作原理

HES-LSM的運行原理與傳統PMLSM相同，初級三相繞組通電后產生行波磁場與永磁磁場相互作用而產生推力，該電機的法向力調節功能通過混合勵磁結構實現。為了便于闡明其運行原理，忽略初次級鐵心磁阻和漏磁磁阻的影響，簡化為線性等效磁路，分別對混合勵磁次級的永磁體和直流勵磁繞組兩個磁勢源進行單獨分析，然后通過磁場疊加的方法獲得兩者共同作用時的磁場分布情況。

圖3所示依次為僅永磁勵磁，僅直流繞組勵磁，永磁和直流繞組共同勵磁時的主磁通路徑。次級永磁體磁勢源形成兩個并聯磁路，如圖3 （a）中實線1、2所示，其中每個分支主磁通從永磁體出發依次經過單側初級鐵心、單側氣隙和次級兩個相鄰凸鐵，形成小循環磁通路徑。

圖3（b）虛線3所示為不考慮永磁體，僅有次級直流勵磁源作用時的直流勵磁磁路圖。直流勵磁磁通形成貫穿兩側初級鐵心和次級凸鐵的串聯磁路，該磁通不經過永磁體本身，兩者僅在雙側氣隙中相互作用，永磁體無退磁風險。

圖3（c）為永磁體和直流勵磁共同作用時的磁路圖，此時，在上側氣隙中永磁磁場和直流勵磁磁場方向相同，上氣隙處于增磁狀態，下側氣隙中永磁磁場和直流勵磁磁場方向相反，下氣隙磁場處于去磁狀態，反之亦然。對于推力來說，上初級的推力隨氣隙磁場增強而變大，下初級的推力隨氣隙磁場減弱而減小，二者作用方向相同，合力基本不變。

可見，次級直流勵磁對電機具有較好的磁場調節能力，能夠調節雙邊氣隙均衡而推力基本不變，為無接觸直驅無繩提升系統提供新的參考。

2 代理模型建模

關鍵參數的選取是高精度代理模型的前提，其中包括參數的遴選及敏感性分析；關鍵參數確定后，需要選擇合理的實驗設計并結合有限元模型建立起訓練樣本庫；最后依據GA-ELM建模流程構建代理模型，引入MSE和R²來評價模型精度。

2.1 關鍵參數的選取及實驗設計的選擇

理論上，電機的任何一個尺寸參數都可以作為優化設計的變量，但這顯然是不可能的，不僅消耗大量的人力、物力，而且優化的計算成本是相當巨大的，尤其是對于HES-LSM來說，在優化中不可能將眾多的設計參數都一一考慮。一般來說，選取關鍵參數遵循以下原則：

1）所選關鍵參數對有優化目標和約束性能有較大的影響；

2）所選關鍵參數之間應該互相獨立，且能夠確定其他參數；

3）所選關鍵參數不宜過多，否則影響優化效率，延長優化周期。

為了保證優化結果的有效性，保持初級齒距、次級極距、永磁體用量以及導線材料不變，該約束條件可表示為：

τp=Wt+Wc；

τs=Wsc+Wpm；

C=WpmHpmLaxial。 （1）

基于上述理論，主要結構參數的初步選取見表2，并以平均推力 Favg 、推力波動Frip 和推力密度Td做為優化目標。

平均推力定義為

Favg=∑Ni=1FiN。（2）

式中：Favg為平均推力；Fi為極距下得到的推力值；N為推力值的個數。

推力波動定義為

Frip=Fmax－Fmin。（3）

式中Fmax、Fmin分別為電機穩定運行時的推力最大值與最小值。

推力密度定義為

Td=FavgV。（4）

式中：Td、V分別為電機推力密度，電磁耦合體積。

合理的關鍵參數選擇、科學的設計空間定義是參數敏感性分析以及多目標優化的前提。為了獲得各參數相應的設計空間，分別對其進行單變量掃描，依據掃描結果，選取各參數對3個目標影響較大的區域作為設計空間。掃描結果如圖4所示，關鍵參數的初始值和設計空間如表2所示。

試驗設計包括全因子設計和部分因子設計，一方面，全因子設計會帶來巨大的計算成本；另一方面，神經網絡數據驅動的特點又不得不要求樣本庫應當具備較好的均勻性。基于空間填充技術的最優拉丁超立方（OLHD）實驗設計滿足投影特性，能夠實現樣本點在設計變量空間內每一維上的投影都是均勻分布的，即可以在降低樣本容量的同時保障樣本點的質量。因此本文采用OLHD進行實驗設計，其所需最少樣本點個數為

ns=（nv+1）（nv+2）2。（5）

式中nv為設計空間的維數。

2.2 參數敏感性分析及樣本庫的建立

關鍵參數的設計空間確定后，采用OLHD進行實驗設計進而對其進行敏感性分析并建立模型訓練樣本庫。根據式（5）可知，選取的6維變量進行抽樣所需的最少樣本點數為28個，選取的部分樣本點如表3所示，其對應的有限元計算結果見表4。其中，為了保證樣本的可信度，有限元模型采用統一建模原則，包括：各有限元模型的網格采用相同剖分原則、相同的電流驅動源以及相同的邊界條件等。

各響應的主效應圖如圖5所示，圖中通過斜率的大小和正負分別反映了各因子對各響應的貢獻排序和正、反效應之分，為便于直觀分辨各因子對每個響應的影響程度，基于極差分析原理，以百分比的形式制于圖6。

結合圖5、圖6可知，盡管直流繞組的高、寬對三個目標會產生一定程度的影響，但總體而言對模型貢獻度占比較小，因此，確定最終優化設計參數為：初級齒高Ht、初級軛高Hy、永磁寬Wpm、初級齒寬Wt。隨后更新關鍵參數并建立訓練樣本庫如表5所示。

2.3 GA-ELM代理模型的構建

ELM隨機產生輸入層與隱含層間的連接權值（IW）及隱含層神經元的閾值（B），且在訓練過程中無需調整，只需設置隱含層神經元的個數，便可獲得唯一的最優解，相比傳統的BP神經網絡，沒有負反饋多層迭代的大量數學計算，極大地減少了算法運算時間的同時又滿足了隱藏層進行非線性運算的需求。由于IW和B是隨機產生的且取值直接決定了ELM模型的精確度，所以本文采用遺傳算法（GA）對IW和B進行優化，優化流程圖如圖7所示。

采用均方正則誤差（MSE）以及決定系數（R²）來描述模型預測值和實際值之間得差異，進而間接驗證模型得精度。MSE如下式所示，其值越小說明預測模型擬合效果更好：

MSE=1n∑ni=1（yi－y^i）2，∈［0，+∞）。（6）

R²如下式所示，其值越接近于1則表明預測值越接近真實樣本值：

R2=1-∑ni=1（y^i－y-）2∑ni=1（yi－y-）2，∈［0，1］。（7）

式中：n表示測試樣本數量；yi表示第i個樣本的真實值；y^i表示第i個樣本的預測值；y-表示真實值的平均值。

圖8、圖9分別給出了GA-ELM模型優化前后的預測結果對比以及GA-ELM與RBF、KG代理模型的對比，從圖中可以看出：

1）經過GA優化ELM權值和閾值后能夠極大改善網絡性能，提高網絡精度；

2）與GA-ELM相比，RBF和KG需調試參數眾多，訓練難度較大；

3）GA-ELM自適應能力強，具有比RBF和KG強的泛化能力，可以為后續多目標優化提供精確的快速計算模型。

3 基于代理模型的多目標優化

基于代理模型的優化設計利用代理模型擬合目標值與輸入變量的數學關系，再借助適合的尋優算法多次迭代，從而快速尋找到全局最優值。

3.1 多目標粒子群優化算法

MOPSO是一種經典的仿生算法，屬于啟發式算法的一種。該算法通過模擬鳥集群飛行覓食的行為，鳥之間通過集體的協作使群體達到最優目的。它的核心思想是利用群體中的個體對信息的共享使整個群體的運動在問題求解空間中產生從無序到有序的演化過程，從而獲得問題的可行解。

MOPSO算法是在PSO算法的基礎上拓展而來，其具體過程如圖10所示。通過增加外部儲備集Archive保存算法迭代過程中出現的非劣解，依據Archive集中粒子的密度信息選擇Gi，在每一次迭代過程中都需要更新粒子的速度和位置，并計算適應值更新Archive集。粒子速度和位置更新公式為：

V′id=WiVid+c1r1（Pid－Xid）+c2r2（Gid－Xid）；

X′id=Xid+V′id。（8）

式中：Vid、Xid分別代表第i個粒子在d維空間中的速度和位置；V′id、X′id分別代表粒子更新后的速度和位置；d為粒子飛行空間的維數；Wi為慣性權重；c1、c2為加速系數（學習因子）；r1、r2為[0，1]之間的隨機數；Pi、Gi分別為個體最優解和全局最優解。

此外，為了確保種群的多樣性，解決PSO易陷入局部最優解的問題，在MOPSO中加入變異，引入擾亂算子，其表達式為

p=（1－（gen－1）/（Max_gen－1））＾（1/m）。（9）

式中：p為擾亂算子；gen、Max_gen分別代表當前迭代次數和最大迭代次數；m為突變率。

優化后的解集如圖11所示。每個最優解確保至少有一項結構參數被優化，確保了解集的多樣性。為進一步驗證解集的有效性，選擇一個最優解作為最終優化結果。初始方案和優化方案的結構參數見表6。

3.2 優化前后對比分析

優化前后電機性能對比如圖12至圖15所示，其中空載反電動勢以單側A相繞組為例，進而對其進行傅里葉分解，并計算其總諧波畸變率（total harmonic distortion，THD）。THD計算公式為

THD=E22+E23+…+E210E1×100%。（10）

空載反電動勢、推力波形以及磁鏈波形如圖12所示，HES-LSM優化前后的平均推力分別為1 370.36、1 523.69 N，提高11.19%；推力波動分別為34.12、26.63 N，降低21.95%；推力密度分別為35.17、39.78 MN/m3，提高13.11%；空載反電勢分別為106.06、113.36 V，提高9.71%；磁鏈分別為0.68、0.75 Wb，提高10.29%。

分析上述效果產生的原因如下：

1）由式（10）計算可得優化前后的THD分別為10.22%和8.66%，首先優化后空載反電動勢的諧波畸變率顯著降低，且基波幅值明顯增加，進而提高了空載反電動勢；其次，高次諧波中，3次和5次諧波是影響波形正弦度的主諧波，優化后二者均有所降低，使得反電動勢波形得到改善。

2）從結構上看，優化后初級齒與次級凸鐵的增大使得有效磁通路徑面積變大，電機初次級之間的電磁耦合面積隨之增大，這有助于電機推力的增加，且優化后空載反電動勢以及磁鏈均增大，進而電機推力得到提升。

3）從幅值上來看，電機優化前后的推力波動峰峰值分別為34.12、26.63 N，相較于平均推力1 370.36、1523.69 N而言較小，當推力波動峰峰值略有降低且平均推力提高時，推力波動在平均推力中的占比將顯著降低。其次，理想邊界條件下，推力波動產生的原因包括齒槽力、初次級之間耦合作用對電機氣隙磁場的影響等等，隨著電機齒槽尺寸以及次級凸極尺寸的改變，均會對氣隙磁場產生一定作用，進而對電機推力波動產生影響。

電壓激勵下電機推力隨功角變化的曲線如圖13所示，優化后電機的推力得到提升，以額定推力點為例，與優化前結構相比推力提升約10.8%，與電流激勵下提升11.19%相比誤差較小。優化后電機在不同激勵下的初級繞組電流對比如圖14所示，不同激勵下電機的穩態電流幅值基本相同，電壓激勵下的電流波形正弦度較差，對電壓激勵下的初級繞組電流進行傅里葉分解，并計算諧波畸變率為11.5%，其中高次諧波中2次和3次諧波占比較大。

此外，為了驗證優化后的電機靜態性能的優越性和合理性。對優化前后電機的永磁磁場分布進行分析，如圖15所示，圖15（a）給出了初始方案和優化方案的磁場分布圖，從結構上看，優化后，次級永磁寬的減小使得次級凸鐵寬增大，同時初級齒變寬，二者綜合作用使得有效磁通路徑增大。從數值上看，初始方案局部位置的磁場發生畸變，磁場強度最高為2.01 T，而優化后該現象得以改善，磁場強度最高區域為1.77 T，最大磁通密度減小。圖15（b）中，磁力線呈偶對稱邊界條件連續分布，即忽略端部效應的影響，初級齒與次級凸鐵相對應的位置磁力線分布很密，為磁場強度最高區域，最大磁通密度為1.77 T。

4 實驗驗證

4.1 樣機及測試平臺搭建

依據優化結果制作樣機，電機的初級結構和混合勵磁次級結構分別如圖16（a）和圖16（b）所示。電機初級鐵心由硅鋼片疊壓而成，嵌入繞組后采用環氧樹脂封裝。電機次級凸鐵極由整塊電工鐵加工而成，槽內嵌入直流勵磁繞組；永磁體雙面涂專用膠，用夾具將其壓入兩凸鐵極之間固定。

電機整體采用3段次級單元連續安裝在定子側，動子為雙邊初級模塊結構，在初級模塊與背板之間裝設輪輻式拉壓力傳感器，并在電機初級四個角沿法向安裝微動滑塊，如圖17所示，保證動子初級模塊在法向偏移的自由度。添加另外一套雙邊隱極式直線電機作為基準電機，本文的混合勵磁凸極電機作為被測電機，基準電機動子和被測電機動子之間設置拉/壓力傳感器，通過法蘭剛性連接成一體。利用磁柵位移傳感器高精度檢測兩臺電機的位置和速度，磁柵尺沿定子底板安裝，讀數頭及配套的數據處理單元分別裝在兩臺電機動子上。整體測試平臺如圖18所示。

4.2 空載反電勢測試

HES-LSM被測電機的繞組開路，基準電機通入23 Hz電源并帶動實驗樣機初級以1.035 m/s的速度沿直線方向勻速運動，測得樣機單側反電勢波形如圖19所示，從波形上可以看出，三相反電勢波形正弦度較好，相位互差120°。從數值上看，三相反電勢幅值基本相等，反電勢幅值為106.79 V，略低于有限元仿真值113.36 V，誤差為5.8%。

4.3 靜推力及推力測試

為了更好地測試該電機的性能，對其進行靜推力測試。將雙側A相繞組通入5A直流電，同時利用基準電機帶動絲桿拉動樣機初級沿直線方向做勻速運動，圖20給出了拉力傳感器檢測該電機在不同位置時靜推力變化特性，靜推力實測波形與有限元仿真波形變化趨勢基本保持一致，并且以兩倍極距為周期。其中，靜推力實測值為990.75 N，略小于有限元仿真值1 055.87 N，誤差為6.17%。

圖21給出了電機推力、定位力的測試值與仿真值波形對比。從數值上看，實驗結果與仿真結果的趨勢基本吻合，平均推力測試值與仿真值的最大誤差為3.2%，定位力實測值與仿真值的最大誤差為9.2%。

從波形上看，推力實測的波動與電壓激勵下仿真的波動相比較大，這是由于仿真是在初級鐵心無限長的前提下進行，即忽略了端部力的影響，分數槽集中繞組又很好地削弱了齒槽力的大小，而為了清晰地展示樣機的混合勵磁結構，實測樣機設置為短初級、長次級結構，受端部力的影響，導致推力實測波形中波動較大，定位力的測試結果再次驗證了定位力對推力波動的影響。

5 結 論

本文提出一種適用于電機優化設計的優化框架，該框架通過搭建電機的GA-ELM代理模型，進而引入MOPSO算法獲得多目標最優解，最后成功地將該優化框架應用于一臺HES-LSM的結構優化，并制作樣機，完成了實驗驗證，得出如下結論：

1）GA優化后的ELM網絡具有更高的擬合精度，且無需設置網絡權值、閾值等參數便可得到精確的代理模型，在一定程度上降低了建模難度。

2）所提出的優化框架能夠同時利用ELM模型的計算速度、有限元模型的分析準確度以及MOPSO算法的全局尋優能力，在保證模型精度的前提下，顯著減少有限元樣本個數，縮短優化周期。

3）優化結果與初始方案對比，電機平均推力提高了11.19%、推力波動降低了21.95%、推力密度提高了13.11%，電機性得到改善。通過修改約束條件和設計參數，該框架可應用于其他電機的優化設計。

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（編輯：劉素菊）