一種九電平整流器的分數階滑模控制

摘 要：以含耦合電感的單相九電平整流器為研究對象，首先，在分析整流器九電平產生機理及其電容電壓自均衡原理的基礎上建立其數學模型。其次，針對傳統整數階滑模控制（IOSMC）存在的響應速度慢、啟動超調大等問題，提出一種可實現快速收斂的分數階滑模控制（FOSMC）策略，在滑模控制中引入分數階微積分，通過分數階微積分算子增加的自由度改善控制系統的動態性能和收斂過程。最后，采用Lyapunov理論證明分數階滑模控制系統的穩定性和收斂性，并就整數階滑模和分數階滑模的系統收斂速度的差異性進行理論分析。仿真和實驗結果表明所提分數階滑模控制與傳統整數階滑模控制相比，具有系統收斂速度快、控制時間短、魯棒性強的優點。

關鍵詞：九電平整流器；電容電壓自均衡；分數階微積分；分數階滑模控制；參數整定；收斂速度

DOI：10.15938/j.emc.2024.11.015

中圖分類號：TM461

文獻標志碼：A

文章編號：1007-449X（2024）11-0160-12

Fractional order sliding mode control of one kind of nine level rectifier

ZHU Yifeng^1，2， JIA Xiaolei^1，2， ZHOU Feishan^1，2， ZHANG Ziyang^1，2， LI Yan^1，2

（1.School of Electrical Engineering and Automation， Henan Polytechnic University， Jiaozuo 454003， China;

2.Henan Key Laboratory of Intelligent Detection and Control of Coal Mine Equipment， Jiaozuo 454003， China）

Abstract：Taking the single-phase nine-level rectifier with coupling inductor as the research object， firstly， the mathematical model was established on the basis of analyzing the nine-level generation mechanism of the rectifier and its capacitor voltage self-equalization principle. Secondly， aiming at the problems of slow response speed and startup overshoot of traditional integer-order sliding mode control （IOSMC）， a fractional-order sliding mode control （FOSMC） strategy that can achieve fast convergence was proposed， and fractional-order calculus was introduced into sliding mode control. The increased degrees of freedom of fractional calculus operators improve the dynamic performance and convergence process of the control system. Finally， Lyapunov theory was used to prove the stability and convergence of the fractional sliding mode control system， and the difference between the convergence speed of integer-order sliding mode and fractional-order sliding mode system was theoretically analyzed. Simulation and experimental results show that compared with the traditional integer-order sliding mode control， the proposed fractional sliding mode control has the advantages of fast system convergence speed， short control time and strong robustness.

Keywords：nine-level rectifier; capacitor voltage self-equalization; fractional calculus; fractional sliding mode control; parameter tuning; convergence speed

0 引 言

多電平整流器相較于傳統兩電平整流器有諸多優點，如降低開關器件上的電壓應力，降低網側諧波含量，降低開關頻率，并且能夠以更小的體積獲得更高的電壓輸出^[1-2]。所以，近年來多電平整流器被越來越多的學者關注，并應用于中高壓場合改善電能質量。

現今成熟的多電平整流器拓撲主要有飛跨電容、級聯H橋和二極管箝位3種類型^[3-5]。還有不少多電平整流器拓撲是在這3種拓撲的基礎上進行的改進，然而由于拓撲結構固有的特性，使得其電平數增加時存在若干問題^[6-8]。其中，電容電壓平衡控制是很多多電平拓撲需要解決的一個關鍵問題^[9-10]。這是由于多電平拓撲具有較多的分壓電容，通常需要額外的電容電壓平衡電路，一般方法是在調制算法中加入復雜的控制策略。文獻[11]設計了改進型同相層疊載波調制方法實現電容電壓的自均衡。文獻[12]提出一種基于子模塊投入優先級的均壓策略。但是復雜的調制策略給多電平整流器的控制帶來很大的挑戰。

傳統整數階滑模控制（integer-order sliding mode control，IOSMC）是一種算法簡單、易于實現、響應速度快的非線性控制策略，同時滑模控制對干擾和未建模動態具有魯棒性，因此被廣泛應用于非線性控制系統^[13-14]。文獻[15]針對網側換流器提出了一種反饋線性滑模控制策略，但是實現困難，且存在超調。文獻[16]提出一種快速終端滑模算法，但是控制精度差，穩態誤差并未消除。文獻[17]針對buck變換器電壓環設計了離散積分滑模算法，雖然實現了高精度控制，但是動態性能有待進一步提升。

隨著對分數階微積分算子逼近方法的研究，近年來分數階滑模控制（fractional-order sliding mode control，FOSMC）算法被廣泛關注。分數階滑模主要是通過在整數階滑模控制中引入分數階微積分，使整數階滑模控制增加一個額外的可調參數，從而使傳統整數階滑模控制性能得到改善。文獻[18]針對并網逆變器設計了模糊分數階滑模算法，具有抗擾能力強和恢復時間短的特點。文獻[19]針對風電系統設計了一種可快速收斂的分數階滑模控制策略，使其在多種工況下的振蕩得到快速抑制，實現了快速收斂的目的。文獻[20]針對同步電機設計了電流環的離散型分數階滑模控制策略，在減小抖振的同時又增加了控制精度和動態性能。可以預見的是，分數階滑模控制在整流器上具有很好的應用前景。

針對以上問題，本文以一種含耦合電感的單相九電平整流器為研究對象，以加快系統的收斂速度，提高系統的響應能力為目標，提出一種分數階滑模控制策略。首先，分析整流器的工作狀態及電壓自均衡原理，并建立dq坐標系下的數學模型；然后，針對整流器的電壓環設計分數階滑模控制策略，并對此控制策略下的系統穩定性和收斂速度進行分析；最后，將本文所提FOSMC算法與IOSMC算法和PI算法進行仿真和實驗對比。

1 主電路拓撲及數學建模

1.1 單相九電平整流器電路拓撲

圖1是含耦合電感的單相九電平整流器的電路原理圖，其在二極管箝位三電平整流器的基礎上添加一個耦合電感及2個功率開關管組成。

其中：us為電網電壓；is為網側輸入電流；Ls為網側電感；ib、ic為流過耦合電感上的電流；Lb、Lc為2個順接的耦合電感；C1、C2為直流側的2個電容；u1、u2分別為直流側兩支撐電容C1、C2上的電壓；i1、i2是直流母線上正向和負向電流；R為純電阻負載；Udc為直流母線電壓；S1～S10為10個功率開關管。將第一橋臂中a點與兩耦合電感公共端點d點連接，耦合電感Lb左端點b點和耦合電感Lc的右端點c點分別與第二、三橋臂相連接，則a點與d點之間的電壓即為單相九電平整流器拓撲輸入端電壓uad。

1.2 單相九電平整流器工作原理

根據圖1中電壓和電流的關系，可以得到兩耦合電感上面的電壓：

（M+Lσ）dibdt－Mdicdt=ubn－udn；

（M+Lσ）dicdt－Mdibdt=ucn－udn。（1）

式中：Lσ為耦合電感的漏感；M為耦合電感互感；ubn、udn、ucn分別為b點、d點和c點與參考點n之間的電壓。

由基爾霍夫電流定律有

ib+ic=is。（2）

將式（1）代入式（2），可得

udn=12（ubn+ucn+Lσdisdt）。（3）

忽略漏感，根據式（3）可得輸入電壓uad為

uad=uan－udn=uan－ubn+ucn2。（4）

該整流器拓撲有3個橋臂，左起第1個橋臂的2個開關管為互補導通工作，只有2種開關狀態。第二、三橋臂上下4個開關管中的第1個開關管與第3個開關管、第2個開關管與第4個開關管為互補導通的工作方式，有3種開關狀態。令T1、T2、T3分別表示第一、二、三橋臂的開關狀態，則邏輯開關函數可表示為：

T1=1，S1導通，S2斷開；－1，S2導通，S1斷開。（5）

T2=1，S3、S4導通，S5、S6斷開；0，S4、S5導通，S3、S6斷開；

－1，S5、S6導通，S3、S4斷開。（6）

T3=1，S7、S8導通，S9、S10斷開；

0，S8、S9導通，S7、S10斷開；

－1，S9、S10導通，S7、S8斷開。（7）

將式（5）～式（7）代入式（4）可得：

S=T1－（T2+T3）/2；

uad=SUdc/2。（8）

式中S表示開關函數。

若整流器器件處于理想狀態，忽略整流器損耗，根據功率守恒可得：

uadis=u1i1－u2i2；

u1=u2=Udc/2。（9）

將式（8）代入式（9）中，可得

i1－i2=Sis。（10）

由上述分析可得出整流器正負半周期內開關狀態與各電壓之間的關系，如表1所示。

表1中，由于整流器在（1 1 -1）、（1 -1 1）、（0 1 -1）、（1 -1 1）這4種開關狀態工作時，耦合電感上電壓最大，導致基波含量最大。在滿足整流器輸入端電壓uad九電平的前提下，耦合電感上的電流越小越好，所以這幾種開關狀態一般在調制中不做選擇。

1.3 電容電壓自均衡分析

由于正半周期和負半周期的對稱關系，直流側電容C1兩端的電壓u1在網側輸入電流正半周期內遞增，在網側輸入電流負半周期內遞減；電容C2兩端的電壓u2在網側輸入電流正半周期內遞減，在網側輸入電流負半周期內遞增，且增減的速率保持一致，即電容C1和電容C2充電和放電的速率一致。一個基波周期內，電容C1和電容C2在正半周期和負半周期交替進行充放電并且給負載供能。若兩電容充放電時長一樣，那么兩電容電荷變化量也一致。所以電容C1和電容C2兩端的的電壓在1個周期內能夠達到平衡。圖1所示的單相九電平整流器中直流母線兩支撐電容C1、C2上的電壓u1、u2有自均衡的效果，不需要額外的中點電壓平衡控制。

1.4 數學建模

忽略內阻，取C1=C2=C，由圖1電路根據電路定理可得：

Lsdisdt=us－uad；

Cd（u1+u2）dt=i1－i2－2UdcR。（11）

由于單相系統無法進行坐標變換，需要構造虛擬正交信號，利用構造的正交虛擬電壓、電流信號分別與實際的電壓、電流值疊加之后即是交流側電壓、電流矢量us和is。本文選用原理簡單且動態性能好的二階廣義積分（second-order generalized integral，SOGI）算法^[21]來構造虛擬正交電壓、電流信號。

經過αβ/dq坐標變換，得到網側電壓us和網側電流is以及輸入端電壓uad在dq坐標系下的表達式為：

us=usdcos（ωt）－usqsin（ωt）；

is=idcos（ωt）－iqsin（ωt）；

uad=udcos（ωt）－uqsin（ωt）。（12）

結合式（10）～式（12），可以得到整流器在dq坐標系下的動態方程為：

Lsdiddt=usd－ud+ωLiq；

Lsdiqdt=usq－uq+ωLid；

Cd（u1+u2）dt=（Sdid+Sqiq）－2UdcR。（13）

式中：usd、usq分別為網側電壓在dq坐標系下的分量；ud、uq、id、iq分別為整流器輸入端電壓、輸入端電流在dq坐標系下的變量。

2 控制系統設計

2.1 整數階滑模設計

傳統整數階滑模控制策略的核心思想是通過調節控制律使系統狀態迅速收束到所設定的滑模面，并沿滑模面按照預定運動軌跡做滑動模態運動從而實現系統誤差在有限時間內的最小化。在本文中，為改善直流側輸出電壓的動態性能，將滑模控制算法應用于電壓環的控制當中。

令e（t）表示參考電壓與實際電壓的誤差項，其表達式為

e（t）=U*dc－Udc。（14）

為減小系統抖振，可設計整數階滑模面為

s1=e（t）+k1e·（t）。（15）

對式（15）求導，并將Udc=u1+u2代入式（13）可得

s·1（t）=－dUdcdt+k1e··（t）=2UdcCR－Sdid+SqiqC+k1e··（t）。（16）

為了使整流器直流側電壓狀態變量能夠平滑的進入滑動模態，本文選用冪次趨近律進行設計。即

s·1（t）=－k|s1（t）|αsgns1（t）。（17）

式中：sgn（x）=－1，xlt;00，x=01，xgt;0；k、α為趨近律的系數，k gt;0，0lt;αlt;1。

結合式（16）、式（17）可得

－k|s1（t）|αsgns1（t）=2UdcCR－Sdid+SqiqC+k1e··（t）。（18）

當系統達到穩態時有did/dt=diq/dt=0，iq=0，usq=0，同時ud=SdUdc/2，uq=SqUdc/2，代入式（13）中可得：

Sd=2usdUdc；

Sq=2ωLidUdc。（19）

將式（19）代入式（18）中，可以得到內環電流的參考值為

i*d=U2dcRusd+kCUdc2usd|s1（t）|αsgns1（t）+k1CUdc2usde··（t）。（20）

2.2 分數階滑模設計

2.2.1 分數階微積分

分數階微積分即是將經典微積分理論拓展到整數階以外的階次，所以相較于整數階微積分具有更加普遍的意義。而今的控制系統領域中應用最廣泛的3種分數階微積分定義為Riemann-Liouville（RL）型、Grunwald-Letnikov（GL）型、Caputo型。本文引入RL型分數階微積分設計FOSMC算法，其積分和微分的表達式為：

aD^－λtf（t）=1Γ（λ）∫ta（t－τ）^λ－1f（τ）dτ;（21）

aDλtf（t）=Dn［aD^－σtf（t）］=

1Γ（σ）dndtn［∫ta（t－τ）^σ－1f（τ）dτ］。（22）

式中：aD^-λt表示分數階微積分算子，λ是分數階次且λgt;0，a、t是算子最大、最小值；σ= n-λ，n是比λ大的最小整數；Γ（λ）是伽瑪函數，其定義式為

Γ（λ）=∫∞0e^－tτ^λ－1dτ。（23）

定理1：設n為自然數m-1lt;μlt;m，且μ≠ngt;0，f（t）存在r（r=max{m，n}）階導數，則有

Dn［aDμtf（t）］=aD^n+μtf（t）。（24）

定理2：RL型分數階微積分的Laplace變換為：

L［0Dλtf（t）］=sλF（s）－∑n－1j=0［0D^λ－j－1tf（t）］t=0sj;

L［0D^－λtf（t）］=s^－λF（s）。（25）

式中n-1lt;λ≤n。

定理3：設α、βgt;0，Mittag-Leffler函數Eα，β（x）=∑∞k=0［xk/Γ（αk+β）］的Laplace變換為

∫∞0e^－stt^αk+β－1E^（k）α，β（±atα）dt=k！s^α－β（sαa）^k+1。（26）

2.2.2 分數階滑模控制策略實現

針對整數階滑模控制中收斂速度慢以及存在超調現象的問題，考慮在傳統滑模控制算法中引入分數階微積分。通過分數階微積分算子增加的自由度改善系統的動態響應能力，同時實現系統的高精度控制。可重新設計分數階滑模面s2為

s2（t）=e（t）+k2aDλte（t）。（27）

對式（27）求導得到

s·2（t）=e·（t）+k2D1［aDλte（t）］。（28）

根據RL型微積分定理1可得

s·2（t）=e·（t）+k2aD^λ+1te（t）。（29）

選用冪次趨近律并結合式（13）、式（29）可得

－k|s2（t）|αsgns2（t）=2UdcCR－Sdid+SqiqC+k2aD^λ+1te（t）。（30）

將式（19）代入式（30）中，可以得到內環電流的參考值為

i*d=U2dcRusd+kCUdc2usd|s2（t）|αsgns2（t）+k2CUdc2usdaD^λ+1te（t）。（31）

3 穩定性和系統收斂速度分析

3.1 穩定性分析

為分析所提FOSMC策略的穩定性和收斂性，構造正定Lyapunov函數如下：

V=12STS。（32）

對其求時間的導數為

V·=dVdt=s2（t）s·2（t）=

s2（t）［e·（t）+k10D^λ+1te（t）］=s2（t）［－k10D^λ+1te（t）－k|s2（t）|αsgns2（t）+k10D^λ+1te（t）］=

s2（t）［－k|s2（t）|αsgns2（t）］=

－k|s2|^α+1lt;0。（33）

根據式（33）可以看出，V·lt;0，即V·是負定的。由Lyapunov穩定性判據可知，受控系統是穩定且收斂的，系統狀態變量能夠收斂至分數階滑模面上。

3.2 系統收斂速度分析

若系統的誤差項到達滑模面所需的時間為tr，則s（tr）=0，由定理2對其進行Laplace變換，可得

E（s）+k2sλE（s）－k2e（t）t=tr=0。（34）

式中：E（s）為誤差項e（t）在復頻域的表達式；e（t）t=tr代表系統到達滑模面的起始誤差。由式（34）可得E（s）的表達式為

E（s）=e（t）t=trsλ+1k2。（35）

由定理3可知，在分數階滑模控制下，系統誤差在時域內可表示為

e（t）=e（t）t=trEλ，λ［－（t－tr）λk2］。（36）

當λ=1時（整數階滑模），系統誤差在時域內可表示為

e0（t）=e（t）t=tre^－t－trk2。（37）

根據式（37）可以看出，當采用整數階滑模控制時，若滑模面的參數一旦被確定后，則整個系統的收斂速度也是確定唯一的，已不可調整。而當采用分數階滑模控制時，由式（36）可知，滑模面的參數被確定之后，仍可通過調節分數階微積分算子λ調節系統的動態性能。所以，分數階滑模控制通過引入分數階微積分算子增加了控制系統的自由度，使傳統整數階滑模具備了更加靈活的調節性能，為提高系統的收斂速度創造了條件。為了更加清晰地比較整數階和分數階滑模控制下系統狀態的收斂速度，圖2展示了時域誤差e0（t）與e（t）取不同階次時的函數曲線。根據圖2可以看出，相同條件下，分數階滑模收斂速度明顯快于整數階滑模，動態響應能力更加優異，且其收斂速度隨階次（λ）減小而加快。

3.3 分數階次（λ）的整定

根據式（31）可知，分數階滑模控制器參數有k、k2、α、λ，相比整數階滑模控制器多了1個可調參數λ。其中k是滑模面切換增益，若取值太大會加劇抖振，太小會影響控制器精度。k2、α影響系統進入滑模面的速度。圖3給出了控制器參數λ的整定流程圖，首先調節k、k2、α三個參數與整數階滑模控制器參數保持一致，在此基礎上進而調整階次λ直至整流器系統收斂速度和控制精度達到最優，以此來彌補整數階滑模運用到九電平拓撲存在的缺陷。本文中分數階微積分算子的計算采取Oustaloup濾波器擬合方法實現，該方法通過配置整數階傳遞函數的零極點從而實現對分數階微積分算子的全局逼近，實現簡單且逼近精度高。

為了方便配置整數階傳遞函數的零極點，分數階傳遞函數的階次一般選取為0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9，所以只需采用Oustaloup濾波器擬合方法近似九組分數階傳遞函數，選出使系統控制性能達到最優的階次即可，即本文分數階次整定工作最多重復9次。最終的控制器參數為：k=30、k2=8、α=1、λ=0.3。

3.4 九電平整流器分數階滑模控制算法的實現

圖4是九電平整流器采用分數階滑模控制的實現框圖。首先，根據直流側電壓參考值與實際值的誤差形成輸入分數階滑模控制的狀態變量，計算出滑模面s2，然后根據式（31）計算得到dq坐標軸下內環電流的參考值i*d，并結合內環控制輸出控制信號，最后將控制信號反變換后送到空間矢量調制模塊，經調制后的觸發信號送至各開關管實現對整流器的控制。

4 仿真與實驗結果分析

4.1 仿真分析

為驗證所提FOSMC策略的正確性及其控制性能，在仿真軟件上搭建了基于單相九電平整流器的PI算法、IOSMC算法以及FOSMC算法。針對3種控制策略下的整流器的穩態和動態性能進行對比研究。其中各模塊的仿真參數如表2所示。

圖5為施加FOSMC算法下的九電平整流器的穩態仿真波形。圖5（a）為輸入端電壓uad的仿真波形，可以看出為九電平，且與上文所分析產生九電平的原理相對應。圖5（b）是FOSMC算法控制下直流側電壓Udc和上下電容電壓u1、u2的仿真波形，可以看出，直流側電容C1兩端電壓u1在網側輸入電流正半周期內遞增，在負半周期內遞減；電容C2兩端電壓u2在網側輸入電流正半周期內遞減，在負半周期內遞增，且兩電容電壓u1、u2有效值均為直流側電壓Udc的一半，單相九電平整流器能夠實現電容電壓自均衡。

圖6是分別采用PI、IOSMC以及FOSMC 3種不同控制算法下的輸出電壓仿真波形。圖6（a）為3種控制算法的直流側啟動時電壓對比波形，可以看出，3種控制策略下，直流側電壓最終都穩定在給定值，但是分數階滑模控制算法相比于其他2種算法，收斂至穩態所需時間最短，沒有起動超調，既保證了系統的快速起動，又能夠實現對系統的高精度跟蹤。圖6（b）是給定電壓突增時的輸出電壓波形，可以看出，給定值突變后，PI和IOSMC算法都要經過較長時間重新跟蹤上給定值，而FOSMC算法很快就能夠跟蹤上給定值，使系統重新恢復穩定。圖6（c）是直流側負載突變時的輸出電壓波形，可以看出，相比于PI算法和IOSMC算法，FOSMC算法下直流側電壓波動最小，對外部干擾不敏感，魯棒性最強。

圖7是3種控制算法下網側電壓和網側電流波形，可以看出，PI、IOSMC、FOSMC 3種算法下整流器網側和網側電流相位差均為0，即整流器都能夠實現單位功率因數運行。

圖8是3種控制算法下網側輸入電流的快速傅里葉分析（FFT）結果圖，可以看出，PI控制下整流器輸入端電流的總諧波畸變率（total harmonic distortion，THD）為2.95%，IOSMC的THD為2.90%，FOSMC的THD為2.87%。相比于其他2種算法，FOSMC算法下整流器的網側電流總諧波畸變率最小。

4.2 實驗驗證

為了更加深入驗證所提算法的有效性和可行性，搭建了DSP+RT-LAB的半實物平臺，對PI算法、傳統整數階滑模算法和本文所提分數階滑模算法這3種控制算法的穩態和動態性能進行實驗對比。其中，DSP采用TI公司的TMS320F28335，RT-LAB由上位機、運算單元、模擬板和數字模塊組成，如圖9所示。實驗中主電路各模塊參數選擇與仿真一致，詳見表2。

圖10給出了在電網電壓存在5%的3次諧波和5%的5次諧波工況下3種控制算法的實驗波形。可以看出，3種控制算法在電網電壓含有低次諧波工況下都能夠實現單位功率因數運行，但FOSMC算法相較于PI算法和IOSMC算法網側電流畸變程度更小，且正弦度最高，穩態性能更加優秀。

圖11給出了在電網電壓跌落工況下的實驗波形，電壓源幅值由311 V突降為255 V。由圖可知，3種控制算法在電網電壓跌落后直流側電壓Udc都會產生一定的電壓波動，網側電流is需要逐漸增大以補償電網電壓突降對直流側功率產生的影響。但是圖11（a）中PI算法下在電網電壓跌落后需要經過88 ms才能夠重新穩定，網側電流也需要同樣時間過渡到穩態，用時較長且直流側電壓具有較大的波動。圖11（b）中IOSMC算法下在電網電壓跌落后直流側電壓和網側電流都需要30 ms重新恢復到穩定狀態，相比PI算法控制時間有所改善，但是仍然存在較大電壓波動。圖11（c）中當采用FOSMC算法時，電網電壓跌落后直流側電壓僅需要7 ms就能夠重新穩定下來，同時網側電流幾乎不需要過渡過程就穩定下來，且直流側電壓無明顯波動。綜上所述，分數階滑模控制算法在非理想工況下相比于其他2種算法具有更加優越的控制性能。

圖12給出了給定電壓由500 V突增到550 V時的3種控制算法下的直流側電壓Udc和網側電流is變化情況。可以看出3種控制策略都能夠使直流側電壓重新跟蹤上給定值，網側電流也重新恢復穩定。但是由圖12（a）可以看出，PI控制時直流側電壓和網側電流大約需要110 ms才能夠重新達到給定值，相較于另外2種算法，用時最長。由圖12（b）可以看出，施加IOSMC算法時直流側約需60 ms重新達到給定值，網側電流約55 ms穩定下來，恢復時間較長。而圖12（c）中，當采用FOSMC算法時，僅需約28 ms直流側電壓就能夠重新達到給定值，網側電流也能夠重新恢復穩定，所需時間最短。所以相較于其他2種算法，分數階滑模控制算法具有更加優越的動態性能。

圖13給出了直流側負載突變時3種控制算法下的直流側電壓Udc和網側電流is變化曲線圖，負載由40 Ω突變為20 Ω。可以看出，圖13（a）中PI控制時直流側電壓需要約140 ms才能重新跟蹤給定電壓，且存在很大的電壓波動，電流也需要相同的時間過渡到穩態；由圖13（b）可以看出IOSMC控制時直流側電壓重新達到給定值約需45 ms，電壓波動有所減小，電流過渡到穩態的時間也相應減少，但仍不理想；從圖13（c）中可以看出當采用FOSMC算法時，直流側電壓重新回到給定值僅需約8 ms，基本沒有電壓波動，網側電流幾乎無需過渡時間就能夠重新穩定。所以，相較于其他2種算法，分數階滑模算法擁有更快的收斂速度，且抗干擾能力更強。

圖14給出了突加負載擾動時整數階滑模面和分數階滑模面s值的變化曲線。通過對比可知，圖14（a）中采用IOSMC算法時，在受到擾動時系統狀態遠離滑模面的程度更大，且重新收束到滑模面需要更長的時間。而圖14（b）中采用FOSMC算法時，系統狀態幾乎一直沿著滑模面運動，對參數攝動性更小，收斂速度更快，魯棒性更強。

5 結 論

本文以一種含耦合電感的單相九電平整流器為研究對象，針對傳統整數階滑模控制應用于此拓撲存在的問題，詳細研究了一種分數階滑模控制策略，并應用到整流器的控制系統中，得到如下結論：

1）通過引入分數階微積分算子可以增加整流器控制系統的自由度，使滑模控制具備更加靈活的調節性能，為提高整流器系統的控制性能創造條件。

2）分數階滑模控制策略相比于整數階滑模控制和比例積分控制，響應時間更短，系統收斂速度更快。同時解決了整數階滑模在整流器控制中存在的超調過大問題，實現了高精度控制。此外，分數階滑模控制策略在多種工況下都能夠快速跟蹤給定值使系統恢復穩態，抗干擾能力強，有力地增強了系統對參數攝動的魯棒性。

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（編輯：劉琳琳）