具有兩類平行顧客的災難清空排隊系統均衡分析

徐秀麗,張榮榮

(燕山大學 理學院,河北 秦皇島 066004)

從經濟學的角度研究排隊系統的顧客止步行為已成為近年隨機運籌和管理科學研究的熱點.NAOR[1]首次研究了在簡單線性收益函數下可見情形M/M/1排隊系統中顧客的均衡策略.在服務系統中,由于故障出現可能導致在場的顧客全部消失,進而產生了清空排隊.ECONOMOU等[2]研究了顧客到達率和清空發生率隨外部隨機環境變化而變化的清空排隊系統,得到了顧客的均衡策略.張雪露等[3]在幾乎可見情形下將馬氏清空排隊系統應用于交通服務中,得到了顧客的均衡進隊策略.BU等[4]研究了具有啟動時間和多重休假的M/G/1清空服務系統,得到了任意時刻系統的平均隊長等性能指標,并對該系統進行了成本分析.

在清空排隊系統中,故障發生時顧客可能并未接受服務而被迫退出,需要對顧客的損失給予一定的補償,如航空公司因天氣或其他不可抗力取消航班,此時航空公司會負責安排顧客食宿問題或提出其他解決顧客出行的辦法.因而,ECONOMOU 等[5]在不可見情形下討論了不可靠排隊系統中顧客的均衡止步行為.BOUDALI 等[6]研究了顧客因災難到達而被迫退隊離開的M/M/1排隊系統,且被迫退隊的顧客可得到一定程度的補償,服務臺被修理完成后顧客才能進入系統,最后求得了顧客的均衡策略和社會最優進隊策略.隨后,BOUDALI等[7]考慮了更一般的情況,即在維修完成之前允許新到達的顧客進隊.TIAN 等[8]在文獻[7]基礎上考慮了顧客到達時隊長不可見的情形,得到了顧客的均衡止步策略.近期,LI等[9]在重試排隊系統中考慮了系統發生災難的情形,并在完全可見和幾乎不可見兩種信息水平下得到了顧客的均衡止步策略和社會最優策略.

此外,在實際生活中,顧客的類型往往不止一種,如在網絡平臺購物或其他服務中新老顧客的到達;在銀行或其他類似服務系統中,企業顧客和個人顧客的到達;票務服務中心來自不同渠道的訂單等.這些不同類型的顧客以不同速率到達系統,且兩者完成服務得到的收益和等待帶來的損失皆不相同.張淞鈦等[10]研究了服務器不完全可靠的排隊系統,該系統服務臺的維修帶有延遲維修特性,并得到了兩類平行顧客的均衡策略行為.徐秀麗等[11]研究了完全可見情形下,具有完全故障和可中斷啟動關閉策略的排隊系統中兩類顧客的均衡策略和社會最優收益.

考慮到在各種網購平臺大型店鋪特殊節日的限時促銷活動中,新老顧客的到達率不相同,但都會面臨因后臺崩潰而搶單失敗的可能,而商家將通過發放優惠券作為補償.在網絡通信中,服務器可能會在不同類型信息的傳輸過程中遭受病毒的攻擊,而使待傳輸的信息丟失或損壞,系統則通過及時搶修和處理,在一定程度上恢復部分信息,以此可視為補償.基于上述背景,本文將兩類平行顧客與災難清空的系統相結合,基于線性收益-損失函數,在完全可見和幾乎可見兩種情形下,得到了顧客的均衡閾值策略以及系統單位時間的平均社會收益.最后,在數值分析中討論了災難到達率與顧客進隊策略及系統平均社會收益的影響關系.

1 模型描述

考慮一個先到先服務(FCFS),容量無限的M/M/1排隊系統.該系統中兩類平行顧客的到達過程相互獨立且分別是參數為λ1和λ2的泊松過程.服務臺正常工作時,服務時間服從參數為μ的負指數分布.當系統發生災難時,在場的顧客包括正在接受服務的顧客全部被清空,且災難維修期間新到達的顧客不再進入系統.災難發生的時間間隔及維修時間分別服從參數為ξ和η的負指數分布.在該系統中,顧客到達過程、災難到達過程、服務過程及維修過程均相互獨立.

將時刻t系統所處的狀態記為(N(t),I(t)),其中N(t)和I(t)分別表示時刻t系統中的顧客數和服務臺的狀態,且I(t)=0,1分別表示系統處于災難維修狀態或正常工作狀態.因此,隨機過程{(N(t),I(t)),t≥0}是一個二維連續時間馬爾科夫鏈,其狀態空間為Ω={(0,0)}∪{(n,1),n≥0}.

假設顧客是風險中立的,顧客一旦進入系統不能中途退出或決定止步后不能再進入系統.本文關注顧客到達系統時的策略行為,即選擇進入還是選擇止步.記第j類顧客線性“收益-損失”函數為

Sj(n)=RsjPs+Rf(1-Ps)-CjE(W),j=1,2,

(1)

其中,Rsj表示第j類顧客在接受服務后所能獲得的收益,Ps表示顧客接受服務后離開系統的概率,Rf表示因災難發生而被迫退隊的顧客得到的補償,其在一定程度上可減輕顧客的不滿,Cj表示第j類顧客單位時間的等待費用,E(W)表示顧客的平均逗留時間.

顧客需要根據到達系統時獲取的信息作出決策,通過了解顧客是否知曉系統中的顧客數和自身顧客類型,將信息分為以下兩種:

(1)完全可見情形:顧客到達時系統中的顧客數及自身所屬顧客類型均可見;

(2)幾乎可見情形:顧客到達時系統中的顧客數可見,自身所屬顧客類型不可見(實際問題中可由系統分配).

2 完全可見下的均衡策略分析

在完全可見的情形下,到達的顧客知道系統中的顧客數,同時也知道自身所屬的顧客類型.假定第j類顧客進入系統排隊的閾值為Nj,j=1,2,即當系統中的顧客數N(t)≤Nj時,顧客選擇進入;否則止步.不妨假設第一類顧客先止步,即N1≤N2.記λ=λ1+λ2,其狀態轉移圖如圖1所示.

定理1在具有兩類平行顧客且災難清空的完全可見M/M/1排隊系統中,第j類顧客的均衡止步策略為Nj,j=1,2,則顧客的均衡止步策略為:

(2)

證明到達的顧客只在系統正常工作狀態時才進入系統.因此考慮當系統處于狀態(n,1)時,一個標記的第j類顧客選擇進入系統,那么該顧客離開系統時有兩種情形:一是接受服務后離開系統,此時該顧客的逗留時間為n+1個顧客接受服務的時間,記為Yn+1;二是系統發生災難,則該標記顧客被迫退隊離開,此時顧客的逗留時間為災難發生的時間間隔,記為X.因此,第j類標記顧客在系統中的逗留時間為W=min(Yn+1,X).顯然,Yn+1服從參數為(n+1,μ)的Erlang分布,X服從參數為ξ的負指數分布,且Yn+1與X相互獨立.

由式(1)可知,在完全可見M/M/1排隊系統中,當系統具有兩類平行顧客且災難清空時,當第j類顧客觀察到系統狀態為(n,1),進入系統接受服務或被迫離開時獲得的平均收益Soj(n)可表示為

Soj(n)=RsjP(Yn+1

(3)

由模型假設計算得出:

(4)

(5)

將式(4)、(5)帶入式(3)整理得:

(6)

注為滿足第一類顧客先止步即N1≤N2,需滿足A1≥A2,即

接下來求系統的平穩分布.當第j類顧客到達時觀察到系統顧客數N(t)≤Nj時進入系統,令{P(0,0)}∪{P(n,1),n=0,1,…,N2+1}表示系統的穩態概率,可列出系統穩態平衡方程:

(7)

(λ+ξ)P(0,1)=ηP(0,0)+μP(1,1),

(8)

(λ+μ+ξ)P(n,1)=λP(n-1,1)+μP(n+1,1),n=1,2,…,N1,

(9)

(λ2+μ+ξ)P(N1+1,1)=λP(N1,1)+μP(N1+2,1),

(10)

(λ2+μ+ξ)P(n,1)-λ2P(n-1,1)+μP(n+1,1),n=N1+2,…,N2,

(11)

(μ+ξ)P(N2+1,1)=λ2P(N2,1).

(12)

定理2在具有兩類平行顧客且災難清空的完全可見M/M/1排隊系統中,當所有顧客都遵循均衡閾值策略(N1,N2)時,系統的平穩分布為

(13)

(14)

定理3在具有兩類平行顧客且災難清空的完全可見M/M/1排隊系統中,系統單位時間的平均社會收益為

(15)

其中,

證明由圖1可知第一類和第二類顧客的有效到達率分別為

在具有兩類平行顧客且災難清空的排隊系統中,顧客獲得的收益由兩部分構成:服務完成獲得的收益Rsj;因災難到達未接受服務而獲得的補償Rf.因此考慮一個到達的第j類顧客,該顧客獲得的平均收益為Rsj和Rf的加權均值.由式(4)可知,任意一個到達的顧客觀察到系統狀態為(n,1)時,其接受服務的概率為P(Yn+1

由兩類顧客的到達率及式(13)可知,兩類顧客的平均隊長分別為

將上述結果代入式(14),整理可得式(15).

3 幾乎可見下的均衡策略分析

考慮一個標記顧客,在幾乎可見情形下,該顧客到達時系統中的顧客數對該顧客可見,自身所屬的顧客類型對該顧客不可見.假定兩類顧客有相同的閾值策略Ne,即N1=N2=Ne,系統狀態轉移圖如圖2所示.

定理4在具有兩類平行顧客且災難清空的幾乎可見M/M/1排隊系統中,任意一類顧客觀察到系統中的顧客數N(t)≤Ne時,選擇進入系統,均衡閾值Ne有如下形式

(16)

證明幾乎可見情形下,在具有兩類平行顧客且災難清空的排隊系統中,第一二類顧客的到達率分別為λ1和λ2,因此考慮一個到達的顧客,該顧客為兩類顧客中第一類顧客的概率為λ1/(λ1+λ2),為第二類顧客的概率為λ2/(λ1+λ2).令E(W)表示到達顧客進隊的平均逗留時間,顯然,E(W1)=E(W2)=E(W).根據式(1),可知到達顧客進隊獲得的平均收益為

根據式(4)和式(5),整理得到顧客的平均收益為

(17)

顯然,Sa(n)是關于n的單調遞減函數,所以顧客的均衡閾值Ne唯一.令顧客的平均收益Sa(n)=0,則可得兩類顧客的均衡閾值Ne.

接下來求系統的平穩分布.在幾乎可見情形下,當到達的顧客觀察到系統中的顧客數N(t)≤Ne時進入系統,令{P(0,0)}∪{P(n,1),n=0,1,…,Ne+1}表示系統的穩態概率,可列出系統穩態平衡方程

(18)

(λ+ξ)P(0,1)=ηP(0,0)+μP(1,1),

(19)

(λ+μ+δ)P(n,1)=λP(n-1,1)+μP(n+1,1),n=1,2,…,Ne,

(20)

(μ+ξ)P(Ne+1,1)=λP(Ne,1).

(21)

解上述平衡方程可得下述結論.

定理5在具有兩類平行顧客且災難清空的幾乎可見M/M/1排隊系統中,當系統中到達的顧客均以均衡閾值Ne作為止步策略時,系統的平穩分布為

(22)

定理6在具有兩類平行顧客且災難清空的幾乎可見M/M/1排隊系統中,當任意到達的顧客均以閾值Ne作為止步策略時,系統單位時間的平均社會收益為

(23)

其中,

證明由圖2可得到兩類顧客的有效到達率分別為

因到達的顧客不知道自身所屬的顧客類型,則兩類顧客有相同的閾值策略,且兩類顧客接受服務或被迫退隊的概率相同.同樣對于任意一個到達的顧客,其接受服務的概率為

由系統穩態分布可知,兩類顧客的平均隊長分別為

根據式(14),可分別得到幾乎可見下兩類顧客單位時間的平均社會收益,整理可得式(23).

4 數值分析

本節基于上述研究結果,在完全可見和幾乎可見兩種信息精度下,分析了兩類顧客個體均衡閾值和系統單位時間的平均社會收益對災難到達率ξ的敏感度.

設Rs1=9,Rs2=7,Rf=6,C1=7,C2=6,μ=4,圖3表明完全可見情形下兩類顧客的均衡閾值Nj隨災難到達率ξ的變化趨勢.首先,個體的均衡閾值與兩類顧客的到達率無關.其次,在完全可見情形下,顧客以均衡閾值進隊需滿足條件ξ≥Cj/Rf,因而由圖3可以看出,隨著災難到達率的增大,兩類顧客的均衡閾值在逐漸減小,說明此時顧客因災難獲得的補償小于在系統中等待付出的成本,則新到達的顧客不愿意進入系統,若要增加系統中的顧客數,系統管理者需要提高對顧客的補償.

設Rs1=8,Rs2=7,Rf=6,C1=7,C2=6,μ=4,η=2,λ1=1,λ2=2,圖5為幾乎可見情形下兩類顧客的均衡閾值Ne與災難到達率ξ的相關關系圖.當兩類顧客不知自身顧客類型時,有相同的均衡閾值.總體閾值在ξ=1處取得極值,在ξ=1左側閾值隨災難到達率的增加而增加,在ξ=1右側閾值隨災難到達率的增加而減小.

5 結 語

本文研究了在具有兩類平行顧客的災難清空排隊系統中顧客均衡策略行為.在完全可見和幾乎可見兩種信息精度下,基于顧客收益-損失函數,得到了個體均衡閾值策略和系統單位時間的平均社會收益.最后,通過數值算例得到了災難到達率對顧客閾值策略和系統平均社會收益的影響,可為相關災難清空排隊系統的優化提供一定參考.