三維 Brinkman-Forchheimer 方程解的漸近穩(wěn)定性

2024-01-27 11:33:06宋雪麗謝曉甜

河南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版) 2024年1期

宋雪麗,謝曉甜

(西安科技大學(xué) 理學(xué)院,西安 710054)

本文研究了如下三維Brinkman-Forchheimer方程全局解的漸近穩(wěn)定性

(1)

其中Ω表示R3中具有光滑邊界的有界開區(qū)域,u=(u1,u2,u3)表示流體的速度向量,p表示流體的壓力項,f是外力項,ν>0是Brinkman系數(shù),r>0是Darcy系數(shù),b>0,c>0是Forchheimer系數(shù),β>1是一個常數(shù).

宋雪麗等[10]使用Fourier分解方法研究了當(dāng)β>10/3時三維全空間上Brinkman-Forchheimer方程弱解的L2衰減性,并討論了在大初值擾動下弱解的漸近穩(wěn)定性.MOHAN[11]研究了兩時間尺度隨機對流Brinkman-Forchheimer方程解的大偏差行為.YU[12]討論了三維不可壓縮對流Brinkman-Forchheimer方程軸對稱解的存在及唯一性.

目前,關(guān)于流體方程原始方程組解的穩(wěn)定性研究得到廣泛關(guān)注.如,文獻[13]討論了三維具有非線性阻尼項的Navier-Stokes方程的解與對應(yīng)的廣義穩(wěn)態(tài)橢圓方程的解之間當(dāng)t→∞時的收斂性.文獻[14]討論了柱形區(qū)域上帶震蕩隨機力的大尺度海洋三維原始方程組的連續(xù)依賴性,證明了解對黏性系數(shù)的連續(xù)依賴性.文獻[15]利用微分不等式技巧和能量估計的方法證明了大尺度海洋大氣動力學(xué)三維黏性原始方程的解連續(xù)依賴于邊界參數(shù).

由于三維Brinkman-Forchheimer方程與三維具有非線性阻尼項的Navier-Stokes方程(更多Navier-Stokes方程理論可參看文獻[16-17])物理背景相似,受文獻[13]的啟發(fā),本文將研究t→∞時,方程(1)的解與下述廣義穩(wěn)態(tài)橢圓方程的解之間的關(guān)系.

(2)

其中f∞與t無關(guān),可以看作時間t趨于無窮時f(x,t)的極限.同時,受文獻[14-15]的啟發(fā),也將討論方程(1)的解關(guān)于初值及Brinkman系數(shù)ν的連續(xù)依賴性.

1 預(yù)備知識

在本節(jié)中,主要對接下來要用到的符號及函數(shù)空間做一簡單說明.

H和V是可分的Hibert空間,H=H′,H′是H的對偶空間,V′是V的對偶空間.‖·‖和〈·,·〉分別表示V′中的范數(shù)和對偶積.字母C是正常數(shù),在不同行,甚至在同一行可能表示不同的值.

2 方程(1)與方程(2)的解之間的收斂性

2.1 方程(2)平穩(wěn)解的存在唯一性

定義1設(shè)f∞∈V′,若u*∈V∩Lβ+1(Ω)滿足νa(u*,υ)+r(u*,υ)+b(|u*|u*,υ)+c(|u*|β-1u*,υ)=〈f∞,υ〉,對于所有的υ∈V∩Lβ+1(Ω),則稱函數(shù)對(u*(x),p*(x))是方程(2)的一個弱解.此外,若弱解u*滿足u*∈D(A),稱(u*,p*)為方程(2)的一個強解.

定理1考慮廣義的穩(wěn)態(tài)橢圓方程(2),有

(i)對于所有的f∞∈V′,β≥1,方程(2)存在一個弱解(u*,p*);

(ii)如果f∞∈L2(Ω),β≥1,那么(u*,p*)是一個強解;

(iii)方程(2)有唯一弱解.

(3)

下面應(yīng)用Brouwer固定點定理(文獻[18]中定理4.3)來證明式(3)存在一個解.

設(shè)ξ={ξ},對于1≤i≤m,記

(4)

記P(ξ)=∶η={ηi},可以得到

(5)

容易驗證對充分大的ρ,

(P(ξ),ξ)≥0,在|ξ|=ρ上,

(6)

(7)

這意味著

(8)

這里C是一個常數(shù)與m無關(guān).

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

當(dāng)m→+∞時,有u*∈V∩Lβ+1∩L3.

應(yīng)用文獻[18]中的引理1.3并且結(jié)合式(9)、(13)和(14),能得到ζ=|u*|β-1u*,η=|u*|u*.因此,對式(3)兩端取極限,得到u*是方程(2)的一個弱解.

(15)

(16)

通過簡單計算,有

(17)

故

(18)

因此

(19)

故u*∈D(A)是方程(2)的強解.

(iii)設(shè)u1和u2是方程(2)的兩個弱解,有

νa(u1-u2,υ)+r(u1-u2,υ)+b(|u1|u1-|u2|u2,υ)+c(|u1|β-1u1-|u2|β-1u2,υ)=0.

(20)

對?υ∈V∩Lβ+1(Ω).取υ=u1-u2,有

(21)

2.2 方程(1)與方程(2)弱解之間的指數(shù)收斂性

定理2對于任意的T>0,β≥1,假設(shè)初值u0∈H,f∈L2(0,+∞;V′),且存在f∞∈V′,使得對于足夠小的μ>0,有

(22)

(23)

假設(shè)u(x,t)是方程(1)的弱解在下文用u(t)表示,初值為u0,外力項為f,u∞是方程(2)對于外力項為f∞的唯一弱解.則存在兩個足夠小的正常數(shù)C和λ(C僅依賴于ν,λ僅依賴于λ1,ν和μ)使得

(24)

證明記ω=u(t)-u∞,易得:

c(|u|β-1u-|u∞|β-1u∞,ω)=〈f-f∞,ω〉.

(25)

由式(25)可得:

(26)

對于任意固定的λ>0,

(27)

應(yīng)用Poincaré不等式,有

(28)

對于任意的0<λ<λ1ν對式(28)關(guān)于時間變量t進行積分,得到:

(29)

對于足夠小的0<λ<λ1ν,限制λ<μ,得到:

(30)

兩邊同時除以eλt,得到:

(31)

定理得證.

3 方程(1)強解對初值及系數(shù)的連續(xù)依賴性

假設(shè)u和υ是方程(1)的解,滿足:

令?=u-υ,α=ν1-ν2則?滿足下面的初邊值問題:

(32)

從文獻[9]中知道當(dāng)方程(1)的初值在V中取值時,方程強解在H,V,Lβ+1(Ω)及(H2(Ω))3中均存在有界吸收集,這里1<β<5.為了下面討論方便,假設(shè)強解在(H2(Ω))3中的有界吸收集為B.由于VH,Lβ+1(Ω)V,(H2(Ω))3V,因此B也是強解在H,V和Lβ+1(Ω)中的有界吸收集.故對?u0∈B,|u(t)|2≤A1,|u(t)|2≤A2,|u(t)|β+1≤A3,|Δu(t)|2≤A4,A1,A2,A3,A4均為正常數(shù).

定理3設(shè)初值u0,υ0∈B,1<β<5,則問題(32)的解滿足下面不等式: