幾類擴大設計的均勻性模式

田杰中,張詩嫻,柏啟明,李洪毅

(吉首大學 數學與統計學院,湖南 吉首 416000)

均勻設計是由我國方開泰教授和王元院士共同提出的一種空間填充設計,它要求試驗點均勻地分布在試驗區域內,其理論和設計表被廣泛應用于國防軍事、社會經濟等諸多領域,并取得了顯著的社會效益和經濟效益.偏差作為設計的均勻性度量,已在許多文獻中進行討論,常用的偏差有中心化L2-偏差(CD), 可卷型L2-偏差(WD)和混合偏差(MD). 一個設計經過因子的水平置換后可能具有不同的幾何結構和空間填充性質.文獻[1]考慮因子的水平置換, 基于CD,建立了平均偏差和字長型模式之間的解析聯系,通過遍歷所有的水平置換找到最小偏差的設計.文獻[2]將這一結果推廣到任意水平的對稱設計.文獻[3]在偏差和最大最小距離準則下討論部分因析設計的空間填充性質, 并給出了三、四和五水平空間填充設計的構造方法, 理論結果顯示因子的水平置換可改進空間填充性質. 文獻[4]基于水平置換的思想構造了在WD下非對稱均勻設計.

折疊反轉是消除因子別名效應的一種有效手段, 折疊反轉設計因具有良好的幾何對稱結構和統計性質,在優良設計的構造中得到廣泛應用.文獻[5]基于水平置換和折疊反轉,利用doubling方法構造二水平Double設計, 并表明若初始設計是一個分辨度為IV的二水平正規部分因析設計,其Double設計的分辨度仍為IV.文獻[6]以水平置換作為折疊反轉方式提出用tripling方法構造三水平Triple設計,構造了一系列具有最小低階混雜的三水平因析設計.隨后,四水平、五水平、二三混水平及二四混水平擴大設計的結構被文獻[7-10]給出,并獲得了當初始設計是一個均勻設計時,其對應的擴大設計也是一個均勻設計. 由于擴大設計的試驗次數和因子數與初始設計相比,都進行了翻倍,而根據效應稀疏原則, 低階效應往往比高階效應更重要,因此有必要考慮擴大設計的投影均勻性.文獻[11] 最早提出了均勻性模式的概念, 給出了二水平設計均勻性模式與廣義字長型之間的解析關系.文獻[12]基于MD定義了任意水平對稱設計的均勻性模式和最小投影均勻性準則,并給出均勻性模式的一個下界,該下界作為一個基準用于評價設計的投影均勻性.文獻[13]基于CD建立了Triple設計和初始設計的均勻性模式之間的關系.針對四水平、五水平、二三混水平及二四混水平擴大設計的均勻性模式是一個值得研究的問題.

1 基本概念和符號

距離分布Hk1k2(G)通過MacWilliams變換為

(1)

(2)

廣義最小低階混雜(GMA)準則要求序貫最小化向量(R1(G),…,Rs1+s2(G)).

根據Krawtchouk多項式的正交性可得

(3)

(4)

2 非對稱設計的均勻性模式

本節將基于WD給出任意水平非對稱設計的均勻性模式,并建立其與字長型模式之間的解析聯系.

根據平均WD與Hamming距離的關系[4]及Hamming距離與距離分布之間的關系,可獲得投影設計Gu的平均WD與距離分布之間的解析聯系,

(5)

(6)

(7)

(8)

其中N={(v1,v2):v1=0,…,g1,v2=0,…,g2,(v1,v2)≠(0,0)},g2=g-g1.

證明根據式(3)、(5)和(7),

(9)

3 幾類擴大設計的均勻性模式與初始設計的字長型模式之間的關系

(10)

證明結合式(8)和文獻[9]中的定理3即可得到定理3.

(11)

證明結合式(8)和文獻[10]中的定理3.1即可得到定理4.

(12)

證明結合式(9)和文獻[7]中的定理3即可得到定理5.

(13)

證明結合式(9)和文獻[15]中的定理4.7即可得到定理6.

定理3～6給出了幾類擴大設計的均勻性模式與其初始設計的字長型模式之間的解析聯系,這些聯系表明擴大設計的均勻性模式可通過其初始設計的字長型模式計算得到.

4 數值例子

本節通過數值例子驗證本文的理論結果.

由式(1)可得Rt1t2(G23)值,根據式(2)可獲得初始設計G23的字長型模式Rt(G23),具體結果見表1.(注:“-”表示空).

表1 例1的數值結果Tab. 1 Numerical results of Example 1

由式(1)可得Rt1t2(G24),根據式(2)可得初始設計G24的字長型模式Rt(G24),具體結果見表2.

表2 例2的數值結果Tab. 2 Numerical results of Example 2

5 總 結

本文基于WD定義了非對稱設計的均勻性模式,建立了非對稱設計的均勻性模式與字長型模式之間的解析聯系,并分別給出了幾類擴大設計的均勻性模式與其初始設計的字長型模式之間的解析聯系,即擴大設計的均勻性模式可以通過初始設計的字長型模式計算獲得,這將大大減小直接計算擴大設計均勻性模式的復雜程度.