突出本質，體現綜合，重視應用，彰顯素養

■河南省洛陽市第一高級中學 王偉琪

普通高中數學課程標準將數列內容納入函數主題中,其內容要求為:了解數列的概念;探索并掌握等差數列和等比數列的變化規律,建立通項公式和前n項和公式;能運用等差數列、等比數列解決簡單的實際問題和數學問題;感受數列與函數的共性與差異,體會數學的整體性。

隨著高考評價改革、高中育人方式改革的推進,高考試題的命制也發生了很大的變化。近幾年的高考數學試題全面考查數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析的核心素養,體現基礎性、綜合性、應用性和創新性的考查要求,突出理性思維,發揮數學學科在人才選拔中的重要作用。近幾年高考數學試題的數列部分,能夠準確體現高考內容改革的要求,遵循高中數學課程標準,考查“四基四能”,突出本質,體現綜合,重視應用,彰顯素養。

一、考查數列基本量

此類問題主要考查數列的概念,數列的通項及數列基本量的計算。

例1【2023年新課標Ⅰ卷第7題】記Sn為數列{an}的前n項和,設甲:{an}為等差數列;乙為等差數列,則( )。

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

解析:(方法1)甲:{an}為等差數列,設其首項為a1,公差為d。

兩式相減得an=nan+1-(n-1)an-2tn,即an+1-an=2t,對n=1也成立。

因此,{an}為等差數列,甲是乙的必要條件。

故甲是乙的充要條件,選C。

(方法2)甲:{an}為等差數列,設數列{an}的首項為a1,公差為d,即Sn=na1+

故Sn=nS1+n(n-1)m,Sn-1=(n-1)·S1+(n-1)·(n-2)m。

當n≥2時,以上兩式相減得Sn-Sn-1=S1+2(n-1)m。

于是an=a1+2(n-1)m。

故an+1-an=a1+2nm-[a1+2(n-1)·m]=2m為常數,{an}為等差數列,甲是乙的必要條件。

故甲是乙的充要條件,選C。

二、考查等差數列和等比數列的性質

此類問題靈活考查等差數列和等比數列的基本性質。

例2設等差數列{an}的前n項和為Sn,已知Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=( )。

A.3 B.4 C.5 D.6

解析:(方法1)由題意得:

三、考查{an}與Sn 的關系及數列求和

此類問題主要考查{an}與Sn的關系及數列求和的基本方法,如錯位相減法、裂項法、拆項法等。

例3【2021 年全國乙卷理數第19題】記Sn為數列{an}的前n項和,bn為數列{Sn}的前n項積,已知

(1)證明:數列{bn}是等差數列;

(2)求{an}的通項公式。

(方法2)由已知條件得bn=S1·S2·S3·…·Sn-1·Sn。①

于是bn-1=S1·S2·S3·…·Sn-1(n≥2)。②

四、考查周期數列

例5【全國高中數學聯賽試題】已知數列{xn}滿足xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a,x2=b,記Sn=x1+x2+…+xn,則下列結論正確的是( )。

A.x100=-a,S100=2b-a

B.x100=-b,S100=2b-a

C.x100=-b,S100=b-a

D.x100=-a,S100=b-a

解析:考查周期數列,易得周期T=6。x1=a,x2=b,x3=b-a,x4=-a,x5=-b,x6=a-b,選A。

五、考查數列的應用與數學文化

此類問題考查考生數學建模能力,審題意識和應用意識

例6【2020 年全國新課標Ⅱ卷第4題】如圖1,北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層,上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環繞天心石砌9 塊扇面形石板構成第一環,向外每環依次增加9塊,下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊,向外每環依次也增加9 塊。已知每層環數相同,且下層比中層多729塊,則三層共有( )扇面形石板(不含天心石)。

圖1

A.3 699塊 B.3 474塊

C.3 402塊 D.3 339塊

解析:設第n環天心石塊數為an,第一層共有n環,則{an}是以9為首項,9為公差的等差數列,an=9+(n-1)×9=9n。

設Sn為{an}的前n項和,則第一層,第二層,第三層扇面形石板的塊數分別為Sn,S2n-Sn,S3n-S2n。

因為下層比中層多729 塊,所以S3n-S2n=S2n-Sn+729。

六、考查數列的奇偶項求和問題

此類問題一般難度比較大,考查同學們的觀察能力、運算能力、邏輯推理能力及轉化與化歸意識。

例7【2020 年全國Ⅰ卷文數第16題】數列{an}滿足an+2+(-1)nan=3n-1,前16項和為540,則a1=_____。

解析:當n為偶數時,有an+2+an=3n-1。

故(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)=5+17+29+41=92。

前16項和為540,則a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448。

當n為奇數時,an+2-an=3n-1。

七、考查數列中的最值

此類問題綜合性強,綜合考查函數與方程、化歸與轉化的數學思想方法,考查同學們綜合運用知識的能力,涉及配方法、均值不等式等知識。

例8【2022 年全國甲卷理數第17題】記Sn為數列{an}的前n項和。已知n=2an+1。

(1)證明:{an}是等差數列;

(2)若a4,a7,a9成等比數列,求Sn的最小值。

解析:(1)(證法1)由已知得2Sn+n2=2nan+n。①

同理,2Sn+1+(n+1)2=2(n+1)an+1+n+1。②

②- ①可 得2an+1=2(n+1)an+1-2nan-2n。

整理得an+1=an+1。

由等差數列定義知{an}為等差數列。(證法2)因為,所以2Sn+n2=2nan+n。

則2Sn+1+(n+1)2=2(n+1)an+1+n+1。

2Sn+1+(n+1)2=2(n+1)(Sn+1-Sn)+n+1。

整理得2nSn+1-2(n+1)Sn=n(n+1)。

解得an=a1+n-1,即an-an-1=1,故數列{an}為等差數列。

故(x+6)2=(x+3)(x+8),解得x=-12,即a1=-12。

所以an=-12+(n-1)×1=n-13。

可得a1＜a2＜a3＜…＜a12＜0,a13=0,a14＞0。

故當n=12或者n=13時Sn取最小值,

因此,Sn的最小值為-78。

(方法2)由(1)可得a4=a1+3,a7=a1+6,a9=a1+8。

又a4,a7,a9成等比數列,所以a27=a4·a9,即(a1+6)2=(a1+3)·(a1+8),解得a1=-12。

則an=n-13,所以Sn= -12n+

當n=12或n=13時,(Sn)min=-78。