一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測(cè)試卷（A 卷）參考答案與提示

一、單選題

1.B 2.D 3.C 4.A 5.C 6.D

7.A 提示:f'(x)=5x4+an+1cosx-(2an+3),易知函數(shù)f'(x)為偶函數(shù)。

又f'(x)有唯一零點(diǎn),則必有f'(0)=an+1-(2an+3)=0,即an+1=2an+3。

整理得an+1+3=2(an+3)。

所以數(shù)列{an+3}是以2為公比的等比數(shù)列。又a1=1,則an+3=4×2n-1,an=2n+1-3。

所以a10-a4+a2=2 045-29+5=2 021。

所以cos 1-1≈-0.46。

二、多選題

所求不等式的整數(shù)解為1或2。

當(dāng)x=1時(shí)取得最大值

當(dāng)x=e時(shí)取得最大值

作出兩個(gè)函數(shù)的圖像,如圖1所示。

圖1

由,得x2=aex2,故選項(xiàng)A 正確。

11.BC 提示:對(duì)于A 選項(xiàng),構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)+x=xlnx+x,定義域?yàn)?0,+∞),則g'(x)=lnx+2。

對(duì)于D 選項(xiàng),當(dāng)a=0時(shí),方程f(x)=0只有一個(gè)根x=1,D 選項(xiàng)錯(cuò)誤。

12.ABC 提示:已知f(x)=f(2)+f(4-x),令x=2,則f(2)=f(2)+f(2),解得f(2)=0。

所以f(x)=f(4-x),函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱,A 正確。

因?yàn)閒(x-2 024)+f(2 024-x)=0,所以f(x)+f(-x)=0,f(x)為奇函數(shù)。

則f'(x)-f'(-x)=0,即g(-x)=f'(-x)=f'(x)=g(x),故g(x)為偶函數(shù),B正確。

由f(x)=f(4-x)得,f'(x)=-f'(4-x),即g(x)=-g(4-x),所以g(x)的圖像關(guān)于(2,0)對(duì)稱,且g(2)=0。

又因?yàn)間(x)為偶函數(shù),所以g(4-x)=g(x-4)。

g(x)=-g(4-x)=-g(x-4),則g(x)=g(x-8),g(x)是以8為周期的周期函數(shù),故g(2 022)=g(-2)=g(2)=0。C正確。

因?yàn)閒(x)=f(4-x)=-f(x-4),所以f(x)=f(x-8),f(x)是以8 為周期的周期函數(shù)。

所以f(2 023)=f(-1)=-f(1)=-2 023,D 錯(cuò) 誤。

三、填空題

13.2 提示:已知等式兩邊同時(shí)乘以x整理 得,2xf(x)+x2f'(x)=2x2cos 2x+2xsin 2x+2x,即[x2f(x)]'=(x2sin 2x+x2)'。

故x2f(x)=x2sin 2x+x2+c。

當(dāng)x=π時(shí),π2f(π)=π2×sin 2π+π2+π2,解得f(π)=2。

14.0 提示:因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x,y滿足ex=ylnx+yln

y=yln(xy),所 以xex=xyln(xy)=eln(xy)·ln(xy)。

構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex,則f(x)=f(ln (xy)),f'(x)=(x+1)ex。

當(dāng)x＞0時(shí),f'(x)＞0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

故f(x)=f(ln(xy))?x=ln(xy)。

ax2-(2a+1)x,函數(shù)定義域?yàn)镽,可得f'(x)=ex-1+2ax-(2a+1)。

易知f'(1)=1+2a-(2a+1)=0。

不妨設(shè)g(x)=ex-1+2ax-(2a+1),函數(shù)定義域?yàn)镽,可得g'(x)=ex-1+2a。

①當(dāng)2a≥0時(shí),g'(x)＞0恒成立,g(x)在R 上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f'(x)=ex-1+2ax-(2a+1)在R 上單調(diào)遞增。

當(dāng)x＜1時(shí),f'(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x＞1時(shí),f'(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增。所以x=1是f(x)的極小值點(diǎn),不符合題意。

②當(dāng)a＜0時(shí),令g'(x)=ex-1+2a=0,解得x=1+ln (-2a)。

當(dāng)x＜1+ln (-2a)時(shí),g'(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x＞1+ln (-2a)時(shí),g'(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增。

故f'(x)min=f'(0)+ln(-2a)。

又f'(1)=0,且x=1不是f(x)的極值點(diǎn),所以1+ln (-2a)=1,解得

當(dāng)t＞1 時(shí),u'(t)＞0,函數(shù)u(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增;

當(dāng)0＜t＜1 時(shí),u'(t)＜0,函數(shù)u(t)在(0,1)上單調(diào)遞減。

故當(dāng)t=1時(shí),函數(shù)u(t)取得極小值即最小值,u(1)=2＞0,h'(t)＞0恒成立。

故函數(shù)h(t)在t∈(0,+∞)上單調(diào)遞增。

又原不等式等價(jià)于h(e2kx)≥h(x2),則e2kx≥x2,即2kx≥2lnx,也即恒成立。

四、解答題

18.設(shè)矩形在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),根據(jù)矩形和橢圓的對(duì)稱性可得,將該矩形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圓柱體的母線長(zhǎng)l=2y0,底面圓的半徑r=x0。

a的取值范圍是(2e-2,+∞)。

21.(1)f(x)=ax-xlnx的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=a-1-lnx。

令f'(x)=0,得x=ea-1。

當(dāng)x∈(0,ea-1)時(shí),f'(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈(ea-1,+∞)時(shí),f'(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減。

①當(dāng)ea-1≤1(即a≤1)時(shí),f(x)在[1,e]上單調(diào)遞減,f(x)max=f(1)=a。

②當(dāng)ea-1≥e(即a≥2)時(shí),f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,f(x)max=f(e)=ae-e。

③當(dāng)1＜ea-1＜e(即1＜a＜2)時(shí),f(x)在[ea-1,e]上單調(diào)遞減,f(x)在[1,ea-1]上單調(diào)遞增。

所以f(x)max=f(ea-1)=aea-1-ea-1·(a-1)=ea-1。

(2)由(1)知在(0,+∞)上,f(x)max=f(ea-1)=ea-1。

設(shè)g(a)=f(ea-1)-a=ea-1-a。

由題意,應(yīng)使g(a)≤0,g'(a)=ea-1-1。令g'(a)=0,得a=1。

所以當(dāng)a∈(-∞,1)時(shí),g'(a)＜0,g(a)單調(diào)遞減;

當(dāng)a∈(1,+∞)時(shí),g'(a)＞0,g(a)單調(diào)遞增。

g(a)min=g(1)=0。

所以使g(a)≤0的實(shí)數(shù)a只有a=1。

22.(1)依題意知,x1,x2(0＜x1＜x2)是函數(shù)y=f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)。

設(shè)x2=tx1,因x2＞x1＞0,故t＞1。

(2)因曲線C:y=m-kx2與曲線y=f(x)有唯一的公共點(diǎn),故方程m-kx2=2lnx-x有唯一解,即方程kx2+2lnx-x=m有唯一解。

令g(x)=kx2+2lnx-x,x＞0,則

當(dāng)1-16k≤0,即時(shí),g'(x)≥0,函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞增。

易知g(x)與y=m有且只有一個(gè)交點(diǎn),滿足題意。

故兩根一個(gè)大于4,一個(gè)小于4,此時(shí)函數(shù)g(x)先增后減再增,存在一個(gè)極大值和一個(gè)極小值。

要使kx2+2lnx-x=m有唯一實(shí)數(shù)根,則m大于g(x)的極大值或小于極小值。

綜上,要使對(duì)?k＞0,曲線C:y=mkx2與曲線y=f(x)都有唯一的公共點(diǎn),m的取值范圍為[4ln 2-3,+∞)。