拋物線問題之“一題多解”賞析

■上海市嘉定區安亭高級中學 陳春霞

“一題多解”是一種發散性思維,也是數學解題的最高境界。“一題多解”不僅能建立知識之間的聯系,培養數學探究精神,而且能讓我們感受到數學的神奇與奧妙,激發對數學的熱愛。下面讓我們賞析幾道拋物線問題的“一題多解”。

一、方程問題

例1設拋物線C:y2=2px(p＞0)的焦點為F,點M在拋物線C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點A(0,2),則拋物線C的方程為_____。

思路1:設出點M坐標,利用拋物線定義與兩條直線垂直得到方程組求解。這里利用了直徑所對應的圓周角為直角這一性質。

思路2:由“以MF為直徑的圓與y軸相切”,可得圓心縱坐標為2,M點的縱坐標為4,利用焦半徑公式求解。

圖2

所以y2=4x或y2=16x。

思路3:設出點M的坐標,利用AM,AF的數量積為零,及求解。

解得y0=4,p=8或p=2,所以y2=4x或y2=16x。

思路4:由直線AO與以MF為直徑的圓 相 切 得 到 ∠OAF= ∠AMF,應 用sin ∠OAF=sin ∠AMF求解。

解法4:如圖3所示,易知以MF為直徑的圓與y軸相切,可得切點A的坐標為(0,2),∠OAF=∠AMF。

圖3

在Rt△AOF中,sin ∠OAF

點評：求圓錐曲線的標準方程,常用待定系數法或利用圓錐曲線的定義。本題解法的實質都是待定系數法,不同之處在于對條件的轉化的方向或形式不一樣。解法1與解法2主要從代數的角度考慮,側重于代數的運算,區別在于解法1把直角轉化為斜率之積等于-1。解法3 采用了向量法,體現了向量的“工具性”。解法4 應用三角函數的關系求解,建立了幾何圖形與三角函數之間的聯系。

二、最值問題

例2已知拋物線y2=2px(p＞0)的焦點為F,準線為l,A,B是拋物線上兩動點,且,設線段AB的中點M在l上的投影為點N,則的最大值為( )。

A.4 B.1 C.2 D.3

思路1:將問題聚焦在三角形中,利用拋物線定義、余弦定理及基本不等式求解。

思路2:將問題聚焦在三角形中,利用拋物線的定義、正弦定理,以及三角函數的有界性求解。

點評：解法1 與解法2 將問題聚焦在三角形中,利用正弦、余弦定理,再利用三角函數的有界性和基本不等式求解,這是處理與三角形有關的最值問題的常用解題策略。

三、定點問題

例3已知拋物線y2=2x上兩個動點B,C和定點A(1,- 2),若∠BAC=90°,則直線BC所過的定點的坐標為____。

思路1:設出直線BC的方程x=my+n,及點B,C的坐標,聯立方程組,利用韋達定理將條件中的直角利用向量進行坐標轉化,求出m,n的關系,進而求解所過的定點。

解法1:設直線BC的方程x=my+n,B(x1,y1),C(x2,y2)。

由x=my+n與y2=2x聯立消去x,得y2-2my-2n=0。

所以y1+y2=2m,y1y2=-2n。①

由①②得(y1+y2)(y- 2)=2(x-3),即BC過定點(3,2)。

ii)當直線BC的斜率不存在時,y1+y2=0,亦過點(3,2)。

綜上,直線BC過定點(3,2)。

思路3:利用拋物線上兩點連線的斜率公式求解。

解法3:設B(x1,y1),C(x2,y2),A(x0,y0)。

由①+ ②,得(y1+y2)(y+y0)-2p(x-x0-2p)=0。

令y+y0=0,x-x0-2p=0,得到定點(x0+2p,-y0),代入A點坐標得定點坐標為(3,2)。

點評：解法1 將直線BC的方程與拋物線方程聯立后,利用向量數量積等于0 求出定點坐標,是通法；解法2利用拋物線上兩點B(x1,y1),C(x2,y2)連線的斜率公式k=,以及兩條直線垂直斜率乘積為-1求解；解法3利用拋物線上兩點連線的斜率公式求解。給出一般情況下的解法,同學們以后遇到此類型題目,用兩次結論可以提高解題速度和準確度。