聚焦構(gòu)造函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題的常見題型

■廣東省汕頭市澄海鳳翔中學(xué) 徐春生

高考中有這樣一類題型,題目中不給出具體的函數(shù)解析式,而是給出函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)滿足的條件,需要同學(xué)們據(jù)此條件構(gòu)造抽象函數(shù),再根據(jù)條件得出構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性,應(yīng)用單調(diào)性解決問題,該類試題具有一定的難度。

一、只含f'(x)

例1已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿足f(2)=1,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)＜1,則f(x)＞x-1的解集為( )。

A.(-2,2)

B.(-∞,-2)∪(2,+∞)

C.(-∞,2)

D.(2,+∞)

解析:設(shè)g(x)=f(x)-(x-1),則g'(x)=f'(x)-1＜0,所以g(x)在R 上單調(diào)遞減。因為f(2)=1,所以g(2)=f(2)-(2-1)=0。由f(x)＞x-1,得g(x)＞0,解得x＜2。所以f(x)＞x-1 的解集為(-∞,2),選C。

點評：若f'(x)＞k(或＜k)(k≠0),則構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-kx或F(x)=f(x)-kx+b。

例2(多選題)設(shè)f(x),g(x)是定義域為R 且恒大于0的可導(dǎo)函數(shù),若f'(x)·g(x)-f(x)g'(x)＜0,則當a＜x＜b時有( )。A.f(x)g(x)＞f(b)g(b)B.f(x)g(b)＞f(b)g(x)C.f(x)g(a)＜f(a)g(x)D.f(x)g(x)＜f(a)g(a)

二、含f'(x)±f(x)

例3已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x)＜-f'(x),則下列式子成立的是( )。

A.f(2 023)＞ef(2 024)

B.f(2 023)＜ef(2 024)

C.ef(2 023)＞f(2 024)

D.ef(2 023)＜f(2 024)

解析:依題意得f(x)+f'(x)＜0,設(shè)g(x)=exf(x),則g'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]＜0在R上恒成立,所以函數(shù)g(x)=exf(x)在R上單調(diào)遞減。

因為2 023＜2 024,所 以g(2 023)＞g(2 024),即e2023f(2 023)＞e2024f(2 024),也 即f(2 023)＞ef(2 024),故選A。

點評：若f'(x)+nf(x)＞0(或＜0),則構(gòu)造函數(shù)F(x)=enxf(x),其中當n=1時,構(gòu)造函數(shù)F(x)=exf(x)。

例4若函數(shù)y=f(x)的定義域為R,對于?x∈R,f'(x)＜f(x),且f(x+1)為偶函數(shù),f(2)=1,則不等式f(x)＜ex的解集為( )。

A.(2,+∞) B.(0,+∞)

C.(-∞,0) D.(-∞,2)f'(x)＜f(x),得f'(x)-f(x)＜0,g'(x)＜0,所以函數(shù)g(x)在R 上單調(diào)遞減。由f(x+1)為偶函數(shù),得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱。

因為f(2)=1,所以f(0)=1,g(0)=

不等式f(x)＜ex整理得,即g(x)＜g(0),所以x＞0。

所以不等式f(x)＜ex的解集為(0,+∞),選B。

三、含xf'(x)±f(x)

點評：若xf'(x)+nf(x)＞0(或＜0),則構(gòu)造函數(shù)F(x)=xnf(x),其中當n=1時,構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x)。

例6已知定義域為R 的奇函數(shù)f(x)的 導(dǎo) 函 數(shù) 為f'(x),當x＞0 時,xf'(x)-f(x)＜0,若,b=,則a,b,c的大小關(guān)系正確的是( )。

A.a＜b＜cB.b＜c＜a

C.a＜c＜bD.c＜a＜b

四、含f'(x)tan x±f(x)

五、含f'(x)±f(x)tan x

例8(多選題)已知定義在上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且f(0)=0,f'(x)cosx+f(x)sinx＜0,則下列判斷中正確的是( )。

故選CD。

點評：若f'(x)-f(x)tanx＞0(或＜0),則構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)cosx；若f'(x)+f(x)tanx＞0(或＜0),則構(gòu)造函數(shù)F(x)