利用導數的幾何意義的常見題型

■安徽省安慶市洪汪寶名師工作室 洪汪寶

可導函數y=f(x)的圖像在點(x0,f(x0))處切線的斜率等于f'(x0)就是導數的幾何意義,于是可得到可導函數y=f(x)的圖像在點(x0,f(x0))處的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),求解時抓住切點在函數y=f(x)的圖像上,又在切線上,切點處的導數值即為切線斜率這三點即可處理與切線有關的問題。下面結合具體例題歸納利用導數的幾何意義的常見題型。

一、求切線方程

1.1求在某點處的切線方程

1.2求過某點的切線方程

整理得(x0+1)(x0-2)2=0,則x0=-1或x0=2。

故所求切線的方程為4x-y-4=0 或x-y+2=0。

點評：注意在某點處的切線與過某點的切線的區別：在某點處的切線,該點是切點,一定在函數y=f(x)的圖像上；過某點的切線,該點不一定是切點,該點可能在函數y=f(x)的圖像上,也可能不在。

二、已知切線求參數值(或范圍)

例3已知曲線y=ax3與直線6xy-4=0相切,則實數a的值為____。

解析:設切點為(m,n),由y=ax3得y'=3ax2。由題意得解得m=1,n=2,a=2。

例4若直線y=2x+b是曲線y=2alnx的切線,且a＞0,則實數b的最小值是____。

解析:y=2alnx的導數為由于直線y=2x+b是曲線y=2alnx的切線,設切點為(m,n),則又2m+b=2alnm,故b=2alna-2a(a＞0)。

令h(a)=2alna-2a,h'(a)=2(lna+1)-2=2lna。當a＞1時,h'(a)＞0,h(a)單調遞增;當0＜a＜1時,h'(a)＜0,h(a)單調遞減。a=1 為極小值點,也為最小值點,故h(a)的最小值為2ln 1-2=-2。

點評：已知切線求參數值(或范圍),一般先設出切點,利用導數的幾何意義求出切線方程,并與已知的切線方程進行對比,即可建立方程,從而得解。

三、切線條數問題

3.1判斷切線條數

例5已知曲線S:y=3x-x3,則過點P(2,2)可向曲線S引切線,其切線條數為( )。

A.1 B.2 C.3 D.0

解析:設在曲線S上的切點為(t,3tt3)。已知y=3x-x3,則y'=3-3x2。

所以曲線S在點(t,3t-t3)處的切線方程為y-(3t-t3)=(3-3t2)(x-t)。

將點P(2,2)的坐標代入切線方程得t3-3t2+2=0,即(t-1)(t2-2t-2)=0。

解得t1=1,t2=1+ 3,t3=1- 3。

因此過點P(2,2)可向曲線S引3條切線,選C。

3.2已知切線條數求參數值(或范圍)

例6已知過點M(m,0)作曲線C:y=x·lnx的切線有且僅有兩條,則實數m的取值范圍是____。

解析:由題意可知,曲線C:y=x·lnx,定義域為(0,+∞),則y'=lnx+1。

設切點為(x0,y0),則切線斜率k=lnx0+1,切線方程為y-y0=(lnx0+1)·(x-x0)。將M(m,0)代入切線方程得-y0=(lnx0+1)(m-x0)。

又因為y0=x0·lnx0,所以mlnx0+m-x0=0。

顯然m≠0,整理得

由于過點M(m,0)作曲線C:y=x·lnx的切線有且僅有兩條,即有兩個解。

所以當x∈(0,1)時,g'(x)＞0,g(x)單調遞增;當x∈(1,+∞)時,g'(x)＜0,g(x)單調遞減。所以g(x)max=g(1)=1。

所以實數m的取值范圍是(1,+∞)。

點評：設出切點,利用導數的幾何意義求出切線方程,因切線過已知點,得到關于切點橫坐標的方程,切線有幾條轉化為方程有幾個解。例5直接解三次方程,如果方程不便求解,可轉化為判斷函數有幾個零點；例6直接轉化為兩個函數圖像交點有兩個時求參數的取值范圍,注意分離參數。

四、公切線問題

4.1求公切線方程

例7已知直線l是曲線f(x)=ln(x+1)和曲線g(x)=ln(e3x)的公切線,則直線l的方程是____。

解析:設直線l的方程為y=kx+b,設直線l與曲線f(x)=ln(x+1)相切于點A(x1,y1),直線l與曲線g(x)=ln(e3x)相切于點B(x2,y2)。

已知f(x)=ln(x+1),則f'(x)=

聯立①②可得k-lnk-1=2-lnk,解得k=3,b=2-ln 3。

故直線l的方程是y=3x+2-ln 3。

4.2已知公切線求參數范圍

例8已知直線l為曲線y=x+1+lnx在A(1,2)處的切線,若直線l與二次曲線y=ax2+(a+2)x+1 也相切,則a=( )。

A.0 B.-4 C.4 D.0或4

解析:因為y=x+1+lnx,所以y'=

因此,曲線y=x+1+lnx在A(1,2)處的切線斜率k=2。

故曲線y=x+1+lnx在A(1,2)處的切線方程為y-2=2x-2,即y=2x。

由于直線l與曲線y=ax2+(a+2)x+1也相切,故:

可得ax2+ax+1=0。

又a≠0,兩線相切有一切點,所以Δ=a2-4a=0,解得a=4 或a=0(舍去)。選C。

例9直線y=kx+b與曲線y=f(x)相切也與曲線y=g(x)相切,則稱直線y=kx+b為曲線y=f(x)和曲線y=g(x)的公切線。已知函數f(x)=x2,g(x)=alnx,其中a≠0,若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)的公切線有兩條,則a的取值范圍為( )。

A.a＜0 B.a＜-1

C.0＜a＜2e D.

解析:設曲線f(x)=x2的切點為(s,s2),則f(x)=x2?f'(x)=2x,所以過該切點的切線斜率為f'(s)=2s。因此過該切點的切線方程為y-s2=2s(x-s)?y=2sxs2。

當t＞ e 時,h(t)＜0,當0＜t＜e,h(t)＞0,函數的圖像大致如圖1所示。

圖1

若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)的公切線有兩條,則a的取值范圍為0＜a＜2e。選C。

4.3已知存在公切線,研究切點性質

例10已知函數f(x)=x2+1,g(x)=lnx,若曲線y=f(x)與y=g(x)的公切線和曲線y=f(x)切于點(x1,y1),則x21-ln(2x1)=。

因此,x21-ln(2x1)=2。

點評：解決公切線問題,若在兩個函數圖像公共點處有公切線,則利用公共點處的函數值相等與導數值相等即可；若切點不同,則分別設出切點,求出兩個切線方程,因為是公切線,對比兩條切線方程,對應系數分別相等即可建立方程。

五、切線的應用

5.1求距離

例11點A在直線y=x上,點B在曲線y=lnx上,則|AB|的最小值為( )。

解析:設平行于直線y=x的直線y=x+b(b≠0)與曲線y=lnx相切。

則兩條平行線間的距離即為|AB|的最小值。設直線y=x+b與曲線y=lnx的切點為(m,lnm),則由切點在直線y=x+b上可得lnm=m+b,由切線斜率等于切點處的導數值可得,聯立解得m=1,b=-1。

由平行線間的距離公式可得|AB|的最小值為,選A。

例12已知a-lnb=0,c-d=1,求(a-c)2+(b-d)2的最小值____。

解析:依題意得a=lnb,d-c+1=0。

則(b,a)是曲線y=lnx上的點,(d,c)是直線x-y+1=0上的點。

所以(a-c)2+(b-d)2可看成曲線y=lnx上的點到直線x-y+1=0上點的距離的平方。

直線x-y+1=0 的斜率為1,由y=

點(1,0)到直線x-y+1=0 的距離為

因此(a-c)2+(b-d)2的最小值為(2)2=2。

點評：例11 與例12 中兩點間的距離直接不好求,結合函數圖像利用數形結合轉化為兩條平行線間的距離,注意利用導數的幾何意義求出切線方程,問題即可迎刃而解。

5.2方程問題

例13已知方程有且僅有兩個不同的實數解θ,φ(θ＞φ),則以下有關兩根關系的結論正確的是( )。

A.cosφ=φsinθ

B.sinφ=-φcosθ

C.cosθ=θcosφ

D.sinθ=-θsinφ

分別作出y=|cosx|,y=kx的圖像。

由圖2可知,y=kx與y=-cosx相切時符合題意。

圖2

設f(x)=-cosx, 則f'(x)=sinx。

因為θ＞φ,所以θ為切點橫坐標,且φ是直線y=kx與y=cosx交點的橫坐標。

因為切線過原點,所以切線斜率k=,選A。

5.3恒成立問題

例14已知函數f(x)=ax+lnx+1-xe2x對任意的x＞0,f(x)≤0恒成立,則實數a的取值范圍為( )。

A.(-∞,0] B.(-∞,2]

C.(-∞,1] D.(-∞,3]

解析:函數y=ex在點(0,1)處的切線方程為y=x+1。

構造函數g(x)=ex-x-1,對其求導得g'(x)=ex-1。于是,當x∈(-∞,0)時,g'(x)＜0,函數g(x)單調遞減;當x∈(0,+∞)時,g'(x)＞0,函數g(x)單調遞增。所以當x=0 時,g(x)min=g(0)=0,因此ex≥x+1。

于是f(x)=ax+lnx+1-xe2x=ax+lnx+1-e2x+lnx≤ax+lnx+1-(2x+lnx+1)=(a-2)x≤0恒成立,所以a-2≤0,解得a≤2,選B。

點評：借助切線進行整體放縮簡化了整個求解過程,注意利用對數恒等式b=alogab(a＞0 且a≠1,b＞0)進行變形,同時注意ex≥x+1,ex-1≥x,ex≥ex,x-1≥lnx等重要不等式的積累與應用。

5.4證明不等式

例15已知函數f(x)=x3-x,設a＞0,如果過點(a,b)可作曲線y=f(x)的三條切線,求證:-a＜b＜f(a)。

證明:設切點為(t,t3-t),對函數求導得f'(x)=3x2-1。

于是得切線方程為y-(t3-t)=(3t2-1)(x-t),整理得y=(3t2-1)x-2t3。

又因為切線過點(a,b),所以b=(3t2-1)a-2t3。

因為過點(a,b)可作曲線y=f(x)的三條切線,則方程2t3-3at2+a+b=0有三個相異的實數根。

記g(t)=2t3-3at2+a+b,則g'(t)=6t2-6at=6t(t-a)。

當t變化時,g(t),g'(t)的變化情況如表1所示。

表1

由g(t)的單調性知,當極大值a+b＜0或極小值b-f(a)＞0時,方程g(t)=0 最多有一個實根;

當a+b=0 時,解方程g(t)=0 得t=,即方程g(t)=0只有兩個相異的實數根;

當b-f(a)=0時,解方程g(t)=0得t,即方程g(t)=0只有兩個相異的實數根。

綜上,如果過(a,b)可作曲線y=f(x)的三條切線,即g(t)=0有三個相異的實數根,則即-a＜b＜f(a),得證。

例16已知函數f(x)=aex-lnx-1,證明:當時,f(x)≥0。

證明:構造函數g(x)=ex-x-1,對其求導得g'(x)=ex-1。

于是,當x∈(-∞,0)時,g'(x)＜0,函數g(x)單調遞減;當x∈(0,+ ∞)時,g'(x)＞0,函數g(x)單調遞增。

所以當x=0時,g(x)min=g(0)=0。

因此,ex≥x+1,于是ex-1≥x。

同時g(lnx)≥0,可得x≥lnx+1。

點評：例15中的切線有三條轉化為方程有三個根,再轉化為三次函數圖像與x軸有三個不同的交點,分析其極大值與極小值即可得到所要證明的不等式；例16借助切線進行兩次放縮,技巧性比較強,對同學們分析問題和解決問題的能力要求比較高。