巧用“1”解題

■黃 煒

“1”是最小的正整數,巧用“1”的代換,可以解決有些數學問題,且能使運算由繁變簡。

一、巧用“1”求值

例1 (lg5)2+2lg2-(lg2)2=____。

原式=(lg5)2+(2-lg2)·lg2=(lg5)2+(1+lg5)lg2=(lg5)2+lg2·lg5+lg2=(lg5+lg2)·lg5+lg2=lg5+lg2=1。

評注:熟記lg2+lg5=1是解答本題的關鍵。

二、巧用“1”求最值

三、巧用“1”求三角函數的值

由題意可知,cosα≠0,所以2cos2α-3sinαcosα=

四、巧用“1”比較大小

例4 設a=log20.30.4,c=0.40.3,則a,b,c的大小關系為( )。

A.a

C.b

因為log20.31。因為0<0.40.3<0.40=1,所以0

評注:若對數的底數與真數都不同,則常借助“1”“0”等中間量進行比較大小。

五、巧用“1”證明等式

評注:證明時,可從左向右證,也可從右向左證,無論哪種方法都需要利用“1”的代換。