多次變形，巧妙放縮
———基本不等式的應(yīng)用

■尤麗華

含有多元變量的代數(shù)式的最值(或取值范圍)問(wèn)題,是一種常見(jiàn)的題型,也是高考命題的熱點(diǎn)之一。此類問(wèn)題的形式多樣,變化多端,解法靈活多變,較難把握。

一、兩步基本不等式的放縮

例1 已知a>0,b>0,則的最小值為_(kāi)___。

分析:利用基本不等式分兩步放縮與處理,第一步消去參數(shù)a,第二步消去參數(shù)b,可得代數(shù)式的最值;也可以通過(guò)巧妙配湊,利用基本不等式分兩步放縮與處理,可得代數(shù)式的最值。

評(píng)析:分步消參法中,抓住代數(shù)式的基本特征,通過(guò)兩步走,合理消參,從而確定最值;分拆放縮法中,抓住代數(shù)式的基本特征,巧妙借助基本不等式進(jìn)行放縮,從而確定最值。從不同的思維視角入手,都可以實(shí)現(xiàn)基本不等式的放縮與代數(shù)式最值的求解。

分析:對(duì)于含有兩個(gè)變量的三角函數(shù)式,利用基本不等式分兩次進(jìn)行放縮,達(dá)到求解最值的目的。

評(píng)析:根據(jù)三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,先消參處理,再齊次化應(yīng)用,兩次利用基本不等式進(jìn)行放縮處理,最后求得最值。

例3 已知a,b,c是正實(shí)數(shù),且b+c=6,則的最小值為_(kāi)___。

分析:通過(guò)恒等變形與轉(zhuǎn)化,先利用基本不等式進(jìn)行合理分拆與消元處理,再結(jié)合代數(shù)式的配湊與放縮,得到代數(shù)式的最值;也可以利用常值代換,結(jié)合基本不等式進(jìn)行放縮,得到代數(shù)式的最值。

評(píng)析:兩次利用基本不等式進(jìn)行放縮處理,使得問(wèn)題圓滿解決。兩種解法,兩種思維,有效地提高了發(fā)散思維能力。

二、三步基本不等式的放縮

評(píng)析:解題時(shí),要注意放縮過(guò)程中,不等式的方向的正確判斷,以及不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用。