打造“模特”函數，巧解抽象函數

■趙榮濤

巧妙構造滿足抽象函數的結構特征的具體函數,是解決抽象函數問題的一種巧技妙法。借助抽象函數的基本結構特征,選取與之相吻合的“模特”函數(基本上以高中階段所學的基本初等函數為主,如一次函數、指數函數、對數函數,以及三角函數等),結合系數的配湊處理,實現抽象函數問題的圓滿解決。

一、一次函數模型

例1 定義在R 上的函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),且當x>0 時,有f(x)<0成立,則不等式f(5-x2)+f(3x-x2)<0的解集為( )。

分析:由f(x+y)=f(x)+f(y),類比并聯想到一次函數模型,考慮“模特”函數為正比例函數,利用條件確定正比例函數中k的取值,代入對應的不等式進行求解。

解:由f(x+y)=f(x)+f(y),構建特殊函數模型f(x)=kx,k≠0。

由條件知當x>0 時,f(x)<0,取k=-1,則f(x)=-x,所以不等式f(5-x2)+f(3x-x2)<0 可化為-(5-x2)-(3xx2)<0,整理得2x2-3x-5<0,解得-1<故不等式f(5-x2)+f(3x-x2)<0的解集為。應選B。

一次函數模型f(x)=kx+b(k≠0),滿足f(x+y)=f(x)+f(y)。解題時,抓住函數的單調性、函數值的取值情況,確定系數k的值,為問題的進一步求解奠定基礎。

二、指數函數模型

例2 已知定義域為R 的函數f(x)滿足:①對任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y)恒成立;②若x≠y,則f(x)≠f(y)。以下選項表述不正確的是( )。

A.f(x)在R 上是嚴格增函數

B.若f(3)=10,則f(6)=100

C.若f(6)=100,則f(-3)=

D.函數F(x)=f(x)+f(-x)的最小值為2

分析:由f(x+y)=f(x)f(y),類比并聯想到指數函數模型,考慮“模特”函數為指數函數,結合指數函數的圖像與性質進行分析與判斷。

解:由f(x+y)=f(x)f(y),構建特殊函數模型f(x)=ax,a>0且a≠1。

當0

指數函數模型f(x)=ax,a>0 且a≠1,滿 足f(x+y)=f(x)f(y)。解題時,先利用函數的單調性、模型函數的取值,確定函數的值,再結合基本不等式進行分析與處理。

三、對數函數模型

例3 (多選題)定義在(0,+∞)上的函數f(x)滿足如下條件:①f(xy)=xf(y)+yf(x);②當x>1 時,f(x)>0。下列結論中正確的是( )。

A.f(1)=0

B.f(xy)=f(x)f(y)

C.f(x)在(1,+∞)上單調遞增

分析:由f(xy)=f(x)+f(y),類比并聯想到對數函數模型,考慮“模特”函數為對數函數,再結合題意進行分析與處理。

對數函數模型f(x)=logax,a>0 且a≠1,滿 足f(xy)=f(x)+f(y)。需要注意的是,在構建函數模型時,經常要對相應的關系式進行恒等變形轉化為熟悉的關系式,這樣方便聯系與類比對應的特殊函數模型。

四、三角函數模型

例4 (多選題)函數f(x)為定義在R上的偶函數,f(0)=1,且f(x-1)+f(x+1)=f(x)。下列結論中正確的是( )。

分析:利用抽象函數的結構特征,類比聯想三角函數,結合偶函數的基本性質,考慮“模特”函數為余弦函數,再利用具體函數來解決客觀問題。

解題時,借助函數的奇偶性選取三角函數,利用三角函數的周期關系得到相應的系數。