整體思想在三角函數中的應用

■吳 艷

三角函數中的公式較多,應用比較靈活,不少同學由于公式使用不當,常常陷入復雜的運算中。在解答某些三角函數問題時,若能仔細觀察題目,注意與已知條件的聯系,實現等價轉化,采用整體思想進行求解,往往能起到很好的效果。

應用1:整體思想在姊妹關系sinx±cosx,sinxcosx 中的應用

解:由(cosα+sinα)2+(cosα-sinα)2=2,直接使用整體思想求解。

提 升:已 知sinx±cosx的 值,求sinxcosx或cos2x的值時,可利用(cosα+sinα)2+(cosα-sinα)2=2,結合cos2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)求解,凸顯整體思想在姊妹關系sinx±cosx,sinxcosx中的應用。

應用2:整體思想在三角函數性質中的應用

提升:解答這類問題,可通過誘導公式或三角恒等變換,將其轉化為y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的形式,結合正余弦函數的圖像與性質求解。

應用3:整體思想在三角函數的最值或值域中的應用

例3 函數y=-sin2x+4cosx-6 的值域是( )。

A.[2,10] B.[0,10]

C.[- 2,10] D.[-10,-2]

解:由sin2x+cos2x=1,可得y=-sin2x+4cosx-6=cos2x+4cosx-7。令cosx=t,則t∈[-1,1],所以原函數等價于函數f(t)=t2+4t-7。

因為二次函數f(t)=t2+4t-7關于直線t=-2 對稱,且圖像的開口向上,所以函數f(t)=t2+4t-7在t∈[-1,1]上單調遞增,所以ymin=f(-1)=(-1)2+4×(-1)-7=-10,ymax=f(1)=12+4-7=-2,所以原函數的值域為[-10,-2]。應選D。