例析有趣的高斯函數(shù)

■向 東

函數(shù)y=[x]稱為高斯函數(shù),也叫取整函數(shù),其中[x]表示不大于x的最大整數(shù),如[1.5]=1,[-2.3]=-3,[3]=3,[5.7]=5。下面就高斯函數(shù)的應(yīng)用進(jìn)行舉例分析,供大家學(xué)習(xí)與參考。

A.偶函數(shù)

B.奇函數(shù)

C.奇函數(shù)也是偶函數(shù)

D.非奇非偶函數(shù)

評注:函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì),且要在函數(shù)的定義域內(nèi)考慮。

例2 不等式4[x]2-12[x]+5≤0 成立的充分不必要條件是( )。

解:因為4[x]2-12[x]+5≤0,所以(2[x]-1)(2[x]-5)≤0,解得。又[x]表示不大于x的最大整數(shù),所以不等式4[x]2-12[x]+5≤0的解為1≤x<3。欲求不等式4[x]2-12[x]+5≤0成立的充分不必要條件,只要求出不等式4[x]2-12[x]+5≤0 解集的一個非空真子集即可,只有[1,2][1,3)成立。應(yīng)選B。

評注:要分清命題p是q的充分不必要條件與命題p的充分不必要條件是q的區(qū)別。

例3 (多選題)以下關(guān)于“高斯函數(shù)”的命題,其中的真命題是( )。

A.?x∈R,x=x[]-1

B.?x∈R,x=x[]+1

C.?x、y∈R,x[]+y[]≤[x+y]

D.若?t∈R,使得[t3]=1,[t4]=2,[t5]=3,…,[tn]=n-2同時成立,則正整數(shù)n的最大值是5

解:對于A,B,當(dāng)x∈Z 時,x=[x];當(dāng)x?Z時,設(shè)k

對于C,由上可知[x]≤x<[x]+1,設(shè)x=[x]+{x},則0≤{x}<1。若0≤{x}+{y}<1,則[x+y]=[x]+[y];若1≤{x}+{y}<2,則[x+y]=[x]+[y]+1。綜上可得,?x、y∈R,[x]+[y]≤[x+y],C正確。

對于D,由題意得1≤t3<2,2≤t4<3,3≤t5<4,…,n-2≤tn

評注:解題時,要理解x=[x]+{x}、{x}+{y}的含義,要注意{x}+{y}的取值范圍。