2023 年高考充要條件問題聚焦

■石漢榮

2023 年高考對充要條件的考查主要圍繞“充要條件與等式或不等式、充要條件與三角函數(shù)”的交匯,凸顯充要條件的工具性。充要條件主要用來區(qū)分命題的條件和結論之間的關系,下面聚焦2023年高考中的充要條件問題,供大家學習與參考。

聚焦1:充要條件與等式或不等式的交匯問題

例1 (2023年新高考天津卷)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的( )。

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解:由a2=b2,即(a+b)(a-b)=0,解得a=-b或a=b。由a2+b2=2ab,即(ab)2=0,解得a=b。由a2=b2不能推出a2+b2=2ab,即充分性不成立。

由a2+b2=2ab能推出a2=b2,即必要性成立。

故“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要而不充分條件。應選B。

體驗:判斷充要條件時,先看由條件能否推出結論,再看由結論能否推出條件,能推出一定要說明原因,推不出一定要舉出反例,只有這樣才能避免出錯。充要條件與等式或不等式的交匯,既考查充要條件的意義,又考查等式或不等式的性質。變式1:若xy≠0,則“x+y=0”是的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

提示:(方法1)因為xy≠0,且-2,所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,也即(x+y)2=0,所以x+y=0,即必要性成立。反之,由x+y=0,即x=-y,容易得到,即充分性成立。

故“x+y=0”是的充要條件。應選C。

(方法2)因為xy≠0,且x+y=0,所以x=-y,所以1=-2,所以充分性成立。因為xy≠0,且,所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,也即(x+y)2=0,所以x+y=0,所以必要性成立。

故“x+y=0”是的充要條件。應選C。

聚焦2:充要條件與三角函數(shù)的交匯問題

例2 (2023 年 高 考 全 國 卷)“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”的( )。

A.充分條件但不是必要條件

B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件

D.既不是充分條件也不是必要條件

解:充分性不成立,舉反例,當sin2α+sin2β=1 時,如但sinα+cosβ≠0,可知sin2α+sin2β=1 推不出sinα+cosβ=0,即充分性不成立。

當sinα+cosβ=0 時,sin2α+sin2β=(-cosβ)2+sin2β=1,可知sinα+cosβ=0能推出sin2α+sin2β=1,即必要性成立。

綜上 可 知,sin2α+sin2β=1 是sinα+cosβ=0成立的必要不充分條件。應選B。

體驗:判斷充要條件常用的兩種方法是定義法和集合法。若p?q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件;若p?q且q?/p,則p是q的充分不必要條件;若p?/q且q?p,則p是q的必要不充分條件;若p?q,則p是q的充要條件;若p?/q且q?/p,則p是q的既不充分也不必要條件。

變式2:設x∈R,則“sinx=1”是“cosx=0”的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

提示:因為sin2x+cos2x=1,所以當sinx=1時,可得cosx=0,即充分性成立。

當cosx=0時,可得sinx=±1,即必要性不成立。故當x∈R 時,sinx=1是cosx=0的充分不必要條件。應選A。

1.已知α,β∈R,則“存在k∈Z 使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的( )。

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

提示:當存在k∈Z,使得α=kπ+(-1)kβ時,若k為偶數(shù),則sinα=sin(kπ+β)=sinβ,若k為奇數(shù),則sinα=sin(kπ-β)=sin[(k-1)π+π-β]=sin(π-β)=sinβ。

當sinα=sinβ時,α=β+2mπ,m∈Z 或α=π-β+2mπ,m∈Z,即α=kπ+(-1)kβ(k=2m)或α=kπ+(-1)kβ(k=2m+1),亦即存在k∈Z,使得α=kπ+(-1)kβ。故“存在k∈Z 使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的充要條件。應選C。

2.設函數(shù)f(x)=cosx+bsinx(b為常數(shù)),則“b=0”是“f(x)為偶函數(shù)”的( )。

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

提示:當b=0 時,由f(x)=cosx+bsinx=cosx,可知f(x)為偶函數(shù),即充分性成立。

當f(x)為偶函數(shù)時,可得f(-x)=f(x)對任意的x恒成立,即cosx+bsinx=cosx-bsinx對任意的x恒成立,也即bsinx=0對任意的x恒成立,所以b=0,即必要性成立。故“b=0”是“f(x)為偶函數(shù)”的充要條件。應選C。

3.“x為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的( )。

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

提示:當x為整數(shù)時,2x+1 必為整數(shù)。當2x+1 為整數(shù)時,x不一定為整數(shù),如當2x+1=2時,。故“x為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的充分而不必要條件。應選A。

4.已知a∈R,則“a>6”是“a2>36”的( )。

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

提示:若a>6,則a2>36,即充分性成立。若a2>36,則a>6或a<-6,這時不一定推出a>6,即必要性不成立。故“a>6”是“a2>36”的充分而不必要條件。應選A。