高等代數中分類思想的探析與應用實例

摘要：高等代數中蘊含著多種重要數學思想，分類思想是其中之一。該思想的恰當使用有助于高等代數理論知識的記憶、理解和掌握，也有助于一些問題清晰處理和解決。通過探析高等代數理論體系中的分類思想，并借助實例展示分類思想的具體運用，促進對高等代數中的理論和分類思想的理解和掌握。

關鍵詞：高等代數；分類思想；數學教育；數值例子

中圖分類號：O15" " " "文獻標識碼：" A" " " 文章編號：2095-7734（2024）06-0036-06

1前言

高等代數是高等院校數學專業的基礎課程之一，在培養學生數學思維品質方面發揮著重要作用，同時也是數學專業研究生入學考試科目之一。在高等代數理論體系中蘊含多種數學思想，[1][2]如消元思想、換元思想、待定系數思想、[3]函數方程思想、轉化與劃歸思想、歸納演繹思想、[4][5]數形結合思想、分析綜合思想、[6]分類與整合思想等。各數學思想都有其特點、作用和功能。許多學者對高等代數中數學思想方法做過研究，得到一系列的研究成果：其中，姚裕豐在“高等代數中的幾類數學思想方法”中結合教學實踐討論了類比、舉反例等數學思想方法；[2]史秀英在“高等代數中蘊含的數學思想方法”中討論了分解思想和轉化思想等；[7]李斐和郭卉在“高等代數中一般化為特殊的數學思想方法”中總結和歸納了高等代數中一般化為特殊的數學思想的十個方面；[8]陳金萍和劉宇輝在“論高等代數教學中的化歸”中探討了劃歸思想。[9]

分類思想是一種重要的數學思想，其在大、中、小學數學中占有非常重要的地位，涉及分類思想的內容非常多。例如，實系數一元二次方程根的判別方法，就是分類思想的一個典型例子：當△＞0時，方程有兩個不等實根；當△=0時，方程有兩個相等實根；△＜0時，方程有兩個共軛虛根。再比如，平面上直線與圓的位置關系中也存在分類思想：當圓心到直線的距離d＞r時，相離；d=r時，相切；d＜r時，相交.這是中學數學中涉及分類思想的兩個比較典型的情形。同樣，在大學數學中，比如高等代數中的行列式，線性方程組，矩陣等部分內容也有分類思想體現。關于高等代數中的分類思想的研究，一些文獻有所涉及，例如，陳艷凌在“類比思想在高等代數教學中的應用”中討論了高等代數的教學中類比思想的使用；[10]谷偉平在“等價分類思想在二次型教學中的應用”討論了二次型教學中的等價分類思想。[11]分類思想的使用有助于高等代數概念、理論、方法的理解和掌握。本文以北京大學數學與力學系編寫的高等代數教材為基礎，探討其中蘊含的分類思想，介紹分類思想處理的一些理論，并給出運用分類思想處理的實例。

2 理論方面的分類思想

本部分主要探討運用分類思想處理高等代數中一些內容，有助于加深對相關知識的記憶，理解和掌握。

2.1 行列式的計算方法

行列式是高等代數的基礎內容，行列式概念包含按行取元素，按列取元素，和任意取元素做乘積三種定義方式，這里蘊含簡單的分類思想。此外，關于行列式的計算和化簡，除了使用定義外，存在兩種基本方法，其一是化成特殊行列式的方法，通常是化成上三角形行列式或下三角形行列式，另一種是降階方法，使用分類思想可以加強記憶和理解。

2.2 矩陣的初等變換

矩陣的初等變換在高等代數理論中的作用很大，特別是初等行變換，在求矩陣的秩，解線性方程組，找向量組的極大線性無關組，求矩陣的逆等方面都有應用。矩陣的初等行變換分三種類型：換法（換行）變換，倍法（倍乘）變換，消法（倍加）變換，每種線性變換有其特點，使用分類思想并結合例子可以增強對初等行變換的理解和掌握，即：

矩陣的初等行變換換法（換行）變換：將兩行交換位置，倍法（倍乘）變換：用一個非零數c乘上某一行的各元素，消法（倍加）變換：把某一行各元素的k倍對應加到另一行的各元素上。

2.3 線性方程組的解

線性方程組解的判定理論是高等代數理論的重要內容之一，分齊次線性方程組和非齊次線性方程組兩類，在每一類又分多種情況。運用分類思想處理，可加強對判定理論的記憶，區別和理解，即：

線性方程組解的情況齊次線性方程組（必有解）秩（A）=n，唯一解，零解，秩（A）＜n，無窮多解，有非零解，非齊次線性方程組（可能無解）秩（A）≠秩（），無解，秩（A）=秩（）=r=n，唯一解，秩（A）=秩（）=r＜n，無窮多解。

2.4 向量組的線性相關性

向量組的線性相關和線性無關概念是高等代數理論中的一個難點。給定一個向量組，則該向量組要么是線性相關的，要么是線性無關的，二者必須選一。線性相關和線性無關概念的定義方也是分情況的。運用分類思想處理，有利于概念的記憶、區別和理解，即：

向量組1，2，…r線性相關齊次線性議程組x11+x22+…+xrr=0有非零解，其中至少存在一個向量能被其余向量線性表示（r≥2），線性無關齊次線性議程組x11+x22+…+xrr=0只有零解，其中任何一個向量均不能被其余向量線性表示（r≥2）

2.5 二次型的規范形

二次型的規范形（或者說對稱矩陣合同于怎樣的簡單對角矩陣）問題是高等代數理論中的重要內容。分復二次型在復數域上的的規范形（含實二次型在復數域上的情形），實二次型在實數域上的規范形。運用分類思想，有利于區分這些情形，即：

二次型化為規范形復（實）二次型在復數域上化為規范形：由二次型的秩決定，實二次型在實數域上化為規范形：由二次型正，負慣性指數決定。

2.6 矩陣間的關系

矩陣是高等代數研究的主要對象，由此產生一些與矩陣相聯系的概念，這些概念涉及的章、節不同，很容易混淆，例如矩陣等價，矩陣相似，矩陣合同。如果使用分類思想處理這些內容，有利于概念的區分，記憶和理解，即：

矩陣之間的關系Amn，Bmn等價：存在可逆矩陣Pm和Qn使得PmAmnQn=Bmn，An，Bn相似：存在可逆矩陣Pn使得Pn-1AnPn=Bn，An，Bn合同：存在可逆矩陣Pn使得PnTAnPn=Bn

2.7 幾類矩陣

在高等代數的理論體系中存在幾類容易混淆的矩陣概念。在二次型部分，兩組變量之間的線性替換涉及線性替換矩陣;在有限維線性空間部分，兩組基之間存在過渡矩陣;在線性變換部分，存在線性變換在一組基上的矩陣;在歐氏空間部分，存在度量矩陣。運用分類思想區分和記憶這些概念比較好，即：

矩陣類型變量x1，x2，…，xn到變量y1，y2，…，yn的線性替換矩陣C：（x1，x2，…，xn）T=C（y1，y2，…，yn）T，基1，2，…，n到基1，2，…，n的過渡矩陣P：（1，2，…，n）=C（1，2，…，n）P，線性變換A在基1，2，…，n下的矩陣A：（A""1，A"琢2，…，A" n）=C（1，2，…，n）A，歐氏空間V的基1，2，…，n的度量矩陣A：A=（ij），ij=（i，j），i，j=1，2，…，n.

2.8 不可約多項式

在多項式部分，運用分類思想也有助于一些知識的記憶和理解。例如，不可約多項式是與數域相聯系的概念，比較抽象，結合實例并運用分類思想加以區別比較好，即：

不可約多項式在復數域上：是一次多項式，在實數域上：是一次多項式和判別式小于零的二次多項式在有理數域上：存在任意次數（≥1）的不可約多項式.，

以上僅從八個方面，歸納和介紹了高等代數中涉及分類思想的內容，可借用分類思想加強記憶、理解、區分的概念、理論和方法等還有很多，例如實對稱矩陣按正定、負定、不定等情況分類；求逆矩陣的方法按定義法，伴隨矩陣法，初等行變換法分類；正定矩陣按判定方法分類；正交變換按判定方法分類等。在教學中，如果教師恰當地使用分類思想對有關內容分進行歸納，有利于教學開展。同樣，如果學生在高等代數學習過程中及時對所學內容進行分類、總結、對比，有利于對知識的理解和掌握。

3 分類思想的數值實例

在高等代數中，除了在概念、理論、方法等方面可借助分類思想加強記憶、理解和掌握外，也存在需要使用分類思想處理的題目。下面給出幾個例題，展示運用分類思想的解題過程，加強對分類思想的理解。

例1 已知矩陣Amn，Bnp滿足Amn，Bnp=O，證明：秩（Amn）+秩（Bnp）≤n.

這道題反映的結論非常重要，其證明過程涉及分類思想.由此結論可得其他結論和命題，例如，證明當A2=E時，秩（A+E）+秩（A-E）≤n.

證明：如果秩（Amn）=0，則顯然秩（Amn）+秩（Bnp）=0+秩（Bnp）=秩（Bnp）≤n，即結論成立.

如果秩（Amn）≠0，設秩（Amn）=r，則由AmnBnp=O，可知Bnp的各B1，B2，…，Bp是齊次線性方程組Amnx=0的解向量。因為Amnx=0的基礎解系中含解向量的個數為n-r，因此解向量組B1，B2，…，Bp的秩≤n-r。根據矩陣的秩等于其行秩和列秩，可知

秩（Bnp）≤n-r

因此有

秩（Amn）+秩（Bnp）≤r+（n-r）=n

綜合和，可知結論成立

在這道題中，如果將情況并入，則不需要分類思想，但在齊次線性方程組Ax＝0解的結構的理論中，通常假定秩（A）=r＞0，因此，證明中使用了分類思想，使解題思路比較清晰。

例2 證明：A*=An-1（n≥2），其中Ａ是n×n矩陣，A*表示A的伴隨矩陣。

證明：若A≠0，由AA*=A*A=AE，可得AA*=AA*=AE=An，所以A*=An-1。

若A=0，

如果A=0，則A的各元素的代數余子式Aij=0，i，j=1，2，…，n。

因此A*=0，此時有A*=0=0n-1=An-1。

如果A≠0，則由A*A=AE=O，知齊次線性方程組A*x=0有非零解。

因此有A*=0=0n-1=An-1。

綜合和，可知結論得證。

在這道題中，分類思想運用比較明顯，首先分A≠0和A=0兩種情形。之后對第二種情況需要進一步分類討論。此外，跟A*有關的同樣需要分類思想處理的還有問題，例如，證明

秩（A*）=n，秩（A）=n，1，秩（A）=n-1，0，秩（A）＜n-1。

例3 討論線性方程組

ax1+x2+x3=4，x1+bx2+x3=3，x1+2bx2+x3=4。

解的情況與參數a，b的關系，有解時求出解。

解：對線性方程組的增廣矩陣作初等行變換得

A=a" 1" 1" 41" b" 1" 31 2b" 1" 41" b" 1" 3a" 1" 1" 41 2b" 1" 41" " b" " 1" " 30" 1-ab" 1-a" 4-3a0" " b" " 0" " 11" b" "1" " 30" 1" 1-a" 4-2a0" b" "0" " 11" b" " " 1" " " " 30" 1" " "1-a" " " 4-2a0" 0" "（a-1）b" 1-（4-2a）b.

所以

若（a-1）b=0，而1-（4-2a）b≠0，即a=1且b≠，或a∈R且b=0時，秩（A）=2≠秩（A）=3，方程組無解。

若（a-1）b=0，而1-（4-2a）b=0，即a=1且b=，秩（A）=秩（A）=2lt;3，方程組有無窮多解。將a和b值代入A。

通過初等行變換：A→1" " 1" 30" "1" "0" 20" "0" "0" 01" 0" 1" 20" 1" 0" 20" 0" 0" 0.

得一般解為：x1=-x3+2x2=2，其中x3為自由未知量。

若（a-1）b≠0，即a≠1且b≠0時，秩（A）=秩（A）=3，方程組有唯一解。

1" b" " 1" " " " 30" 1" "1-a" " " 4-2a0" 0" （a-1）b" 1-（4-2a）b 1" b" " 0" " "0" 1" " 0" " " "0" 0" （a-1）b" 1-（4-2a）b" 1" 0" "0" " " 0" 1" "0" " " " 0" 0" "1" " ".

得唯一解為：x1=，x2=，x3=.

綜上所述知：當a=1且b≠，或a∈R且b=0時，方程組無解；當a=1且b=時，方程組有無窮多解；當a≠1且b≠0，方程組有唯一解。

這是使用分類思想處理的比較典型的例子。在把線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣之后，結合非齊次線性方程組解的判定理論，使用分類思想進行討論，使解題思路變得清晰。相反，如果不使用分類思想，處理該問題會容易混亂。

例4" 求多項式f（x）=x3+px+q∈C[X]有重根的條件。

解：f ′（x）=3x2+p∈C[X]，由多項式的輾轉相除法得：

x-=q2（x）3x2+p=f'（x）x3+px+q=f（x）

在復數域C上，f（x）有重根的充要條件是（f（x），f ′（x））≠1，而且x=a是f（x）的重根當且僅當x=a是（f（x），

f ′（x））的根。在多項式輾轉相除法過程中：

若r1（x）=0，即p=0，q=0時，（f（x），f ′（x））=x2≠1，f（x）=x3有3重根x=0。

若r1（x）≠0，則有p≠0.否則（f（x），f ′（x））=1，f（x）無重根，與題意不符。

因此，為確定f（x）有重根條件，輾轉相除法需繼續進行：

當r2（x）=0，即4p3+27q2=0時，（f（x），f ′（x））=r1（x）=x+≠1，f（x）在復數域上有一次的重因式x+，因此f（x）有重根x=-。

當r2（x）≠0，即4p3+27q2≠0時，得（f（x），f ′（x））=1，f（x）無重根，與題意不符。

綜合和，其中的條件可并入中的條件，因此4p3+27q2=0是f（x）有重根的條件。

此題因為涉及最大公因式，常規思路是使用輾轉相除法。根據重根存在的充要條件，在輾轉相除過程中，最后整除時，倒數第二個余式是f（x）和f ′（x）一個最大公因，該余式不應該是常數，但什么時候整除，需要分情況討論，這就涉及分類思想。解題過程中先后兩次運用分類思想，該問題比較復雜。

以上只給出使用分類思想處理的幾個例子，高等代數中類似的例題還有很多。有些題目在求解的開始階段就需要分類思想（如例1，例2），而有些題目是在解題的過程需要分類思想（例3，例4）。分類思想的使用過程中，最容易出現的問題是，漏掉一些類，導致解答不全面（例如，例1中的情形，例2中的情形，例4中的情形和情形中的，在討論中都容易漏掉）。分類思想非常重要，但要用好分類思想處理問題不容易，需要以高等代數的理論、方法、技巧等作為基礎。例如，在例3中，如果對線性方程組的增廣矩陣使用初等行變換化為階梯型矩陣不熟悉，后面的分類思想就沒辦法展開；同樣，在例4中，如果對多項式的輾轉相除法不熟悉或關于輾轉相法整除之后，關于倒數第二余式為最大公因式的結論沒掌握，分類思想也是沒法進行的。另外，可以看出有些題目使用分類思想是以理論的分類為前提的，例如，在例3中，分類討論是以非齊次線性方程組解的理論分類為基礎的。

4 結語

本文探討了高等代數中運用分類思想的一些情形，包括理論方面，也包括數值例子?？梢钥闯?，在教學中，教師根據高等代數一些概念、方法、理論的特點，恰當運用分類思想，便于記憶、區分、理解和掌握相關知識，運用分類思想對教學有輔助作用。學生在高等代數的學習過程中如果能時常運用分類思想對所學知識進行分類、總結、歸納十分有益。在數值例子方面，一些題目中蘊含分類思想，必須使用分類思想處理，才能使解答清晰明了。分類思想是一種處理問題的思路或構想，要解決實際問題，需要具體的理論、方法、技巧等作為支撐。離開理論、方法、技巧等，分類思想無法順利展開。另一方面，理論、方法、技巧等如果僅停留在論述層面，無法全面體現出它們的意義和價值。借助分類思想把一些理論、方法、技巧等應用實際問題的處理，恰是理論聯系實際的體現。分類思想的運用既需要嚴謹的邏輯思維，也需要全面地分析問題，更需要扎實的理論作為基礎。分類思想的培養既需要教師提倡和引導，也需要學生獨立歸納、總結和實踐。

參考文獻：

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[9]" 劉瑞香.高等代數中的待定系數法[J].中國高新技術企業，2009，（20）：174-175.

[10] 陳艷凌.類比思想在高等代數教學中的應用[J].高師理科學刊，2017，30（04）：64-67.

[11] 谷偉平.等價分類思想在二次型教學中的應用[J].廣西師范學院學報：自然科學版，2018，35（04）：131-135.

Exploration and Application of Classification Thought in Advanced Algebra

FANG" Ximing

（Zhaoqing University， Zhaoqing 526000， Guangdong， China）

Abstract：There are many important mathematical thoughts in advanced algebra， and classification is one of them. Proper use of classification thought is not only conducive to memorizing， understanding and mastering some knowledge theories in advanced algebra， but also conducive to dealing with some problems clearly. This paper analyzes the classification thoughts in the theoretical system of advanced algebra， and shows the concrete applications of classification thoughts with examples， so as to promote researchers to understand and master the theory and classification thoughts in advanced algebra.

Keywords： advanced algebra; classification thought; mathematics education; numerical examples